關(guān)于GA－凸函數(shù)的Hadamard型不等式的一個注記

時統(tǒng)業(yè)，吳 涵

(海軍指揮學(xué)院浦口分院，南京 211800)

1 引理

定義 1［1］設(shè) f(x)是定義在區(qū)間 I?(0，+ ∞)上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意 a，b∈I和 t∈(0，1)，有

則稱f(x)在區(qū)間I是GA－下凸的。如果式(1)的不等號反向，則稱f(x)在區(qū)間I上是GA－上凸的。

文獻［2－4］給出關(guān)于GA－凸函數(shù)的Hadamard型不等式，見定理1。

定理 1［3－4］設(shè) f(x)是［a，b］上的 GA － 下凸函數(shù)，則

如果f(x)是［a，b］上的GA－上凸函數(shù)，則式(2)的不等式反向。當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數(shù)。

注1 由定理1的證明過程易知

引理1［1］設(shè)f(x)是定義在［a，b］?(0，∞)上的函數(shù)，則f(x)是［a，b］上的GA －下凸函數(shù)的充要條件為f(ex)為［lna，lnb］上的下凸函數(shù)。

引理 2［5］設(shè) f(x)是［a，b］上的下凸函數(shù)，則對任意 x，y∈［a，b］，有

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dx時等號成立，c、d是常數(shù)。

引理3 設(shè)f(x)是定義在［a，b］?(0，∞)上的GA－下凸函數(shù)，則

1)x f'－(x)和 x f'+(x)在(a，b)單調(diào)不減。

2)對任意 x，y∈［a，b］，有

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數(shù)。

證明 令h(x)=f(ex)，那么

因為 f(x)是［a，b］?(0，∞)上的 GA －下凸函數(shù)，由引理1知，h(x)是［lna，lnb］上的下凸函數(shù)。根據(jù)下凸函數(shù)的性質(zhì)知h'－(x)與h'+(x)在(a，b)單調(diào)不減，也即 xf'－(x)和xf'+(x)在(a，b)單調(diào)不減。又由引理 2 知，對任意 u，v∈［lna，lnb］，有

在式(3)中取u=lny，v=lnx，則引理3結(jié)論2)得證。

引理4 設(shè)f(x)是定義在［a，b］?(0，+∞)上的連續(xù)的GA－下凸函數(shù)，則有

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數(shù)。

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數(shù)。

證明 對任意 x∈［a，b］，有

由GA－下凸函數(shù)的定義得式(4)。式(4)在［a，b］上取積分得式(5)。

設(shè) f(x)是定義在(a，b)上的可導(dǎo)的下凸函數(shù)，對于任意 x1，x2∈［a，b］，x1＜x2，文獻［6］證明了下面結(jié)果:

本研究將仿照文獻［6］的方法，將上述結(jié)果移植到GA－下凸函數(shù)。設(shè)0＜x1＜x2，λ∈(0，1)，引入記號

本研究的主要結(jié)果:

定理2 設(shè) f(x)是定義在(a，b)上的可導(dǎo)的 GA －下凸函數(shù)，對于任意 x1，x2∈(a，b)，x1＜x2，有

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數(shù)。

2 定理2的證明

由引理4得

式(7)、(8)兩式相加得:

則式(6)的左端部分得證。

由Cauchy中值定理，存在τ∈(x1，x2)，使得

由引理3 知，對于任意 x∈［x1，x2］，有

式(13)的兩邊對x在［x1，x2］上積分得

式(6)得證。

當(dāng)f(x)=c+dlnx(c、d是常數(shù))時，經(jīng)簡單計算可知式(6)中的3項都為零，所以等號成立。反之，若式(6)的等號成立，則由上面的證明過程可知，必有式(14)等號成立，由引理4知，f(x)=c+dlnx(c、d是常數(shù))。

推論1 設(shè) f(x)是定義在(a，b)上的可導(dǎo)的 GA －下凸函數(shù)，對于任意 x1，x2∈(a，b)，x1＜x2，有

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=c+dlnx時等號成立，c、d是常數(shù)。

［1］吳善和.GA－凸函數(shù)與琴生不等式［J］.貴州師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版 ，2004，22(2):52-55.

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