引入權(quán)重因子的Fisher判別法的研究

趙麗娜

(東北林業(yè)大學(xué))

0 引言

費(fèi)歇(Fisher)判別法是二十世紀(jì)三十年代由Fisher提出的.它的基本思想是投影，特點(diǎn)是將高維數(shù)據(jù)點(diǎn)投影到低維空間上，使數(shù)據(jù)點(diǎn)變得比較密集進(jìn)而可以克服由于維數(shù)高引起的“維數(shù)禍根”.根據(jù)類間距離最大、類內(nèi)距離最小的原則確定判別函數(shù)，在根據(jù)建立的判別函數(shù)判定待定樣品的類別.

由于Fisher判別分析方法不需要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，而且有一定的正確率，因此，在實(shí)際中它得到了廣泛的應(yīng)用，如:魯立強(qiáng)等利用Fisher判別方法對(duì)蘋果的品質(zhì)鑒別進(jìn)行判別取得了良好的成果;鐘紹軍等利用Fisher判別法，對(duì)未知乳房腫瘤性質(zhì)的病例進(jìn)行了成功的診斷，使得費(fèi)歇判別法在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用;葛和平利用Fisher判別分析對(duì)我國(guó)上市公司財(cái)務(wù)困境進(jìn)行了分析研究，取得重要成果.近年來，F(xiàn)isher在人臉識(shí)別技術(shù)、公司信用評(píng)價(jià)以及肉質(zhì)寒熱性等更多的領(lǐng)域得到發(fā)展研究.

1 預(yù)備知識(shí)

現(xiàn)考慮在Rp中將m組的p維數(shù)據(jù)向量投影到某個(gè)具有最佳方向的α上，也就是說，投影到α上的點(diǎn)能最大限度的體現(xiàn)出各組之間的差異.令來自總體中的p維觀測(cè)值為xpq，q=1，2，…，np，p=1，2，…，m，把他們都投影到p維常數(shù)向量 α上，得到的投射點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)線性組合ypq=α'xpq，q=1，2，…，np，p=1，2，…，m.用 yp表示一組中ypq的均值，y表示所有組ypq的總均值.即yp=其中假定各組的協(xié)方差矩陣相等，即.則組間平方和= α'Qα，其中'為組間平方和.ypq的組內(nèi)平方和= αFα其中E=為組內(nèi)平方和.Q和F分別表示類之間和類內(nèi)部的差異.根據(jù)判別函數(shù)找到一組c1，c2，…，cp使得Q最大而F最小，從而使組間差別最大組內(nèi)離差最小.于是可得模型，要達(dá)到最大值，就是求F-1Q的最大特征根.取，其中β為的最大特征根對(duì)應(yīng)的特征向量.

兩個(gè)總體的判別準(zhǔn)則:一般取y0為y(1)與y(2)的加權(quán)平均值，即則判別準(zhǔn)則為:對(duì)于一個(gè)新樣品X=(x1，…，xp)T代入判別函數(shù)中去所得值記為y，若y＞y0，則判定X∈G1;y＜y0，則判定X∈G2.如果y(1)＜y(2)，則建立判別準(zhǔn)則為:若y＞y0，則判定X∈G2;若y＜y0，則判定X∈G1.該文只考慮多總體的情況.

多總體的判別準(zhǔn)則:假設(shè)把總體分成p個(gè)類，若|yp-y1|＜|yp-yq|，(p，q=1，2，…，m，q≠1)，則yp屬于第1個(gè)類.

定理1［1］若A是p階對(duì)稱矩陣，B是p階正定矩陣，μ1≥μ2≥…≥μp是B-1A的p個(gè)特征值，則

2 主要結(jié)果

把費(fèi)歇判別法改進(jìn)主要是在原判別函數(shù)建立的情況下改進(jìn)判別函數(shù)，引入權(quán)重因子，于是原模型由改為=ρC'QC-(1-ρ)C'FC，化簡(jiǎn)為Ⅰmax=C'［ρ(Q+F)-F］C，易知這是標(biāo)準(zhǔn)的二次型，由定理1可知模型的解C為ρ(Q+F)-F的最大特征根對(duì)應(yīng)的特征向量.因此ρ取0到1之間的數(shù)值代入模型可得到多個(gè)不同的解，根據(jù)回判率來確定ρ的最佳取值，得到最佳的判別函數(shù).

權(quán)重因子:權(quán)重因子ρ是衡量個(gè)體在總體中的比重的指標(biāo)，所以ρ越大說明這個(gè)個(gè)體的比重就越大，常將權(quán)重因子取值在(0，1)之間，可以通過調(diào)整ρ的取值來調(diào)整組間距與組內(nèi)距在模型中的比重大小.

3 實(shí)例分析

例1 從癌癥患者、萎縮性胃炎患者和非胃炎患者中分別抽取五個(gè)病人進(jìn)行四項(xiàng)生化指標(biāo)的化驗(yàn):血清銅蛋白(X1)、藍(lán)色反應(yīng)(X2)、尿吲哚乙酸(X3)和中性硫化物(X4)，具體數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)［2］中7.7.

用SPSS軟件得到的分析結(jié)果如下:

對(duì)這些數(shù)據(jù)用原來判別函數(shù)模型，可得:

判據(jù)為-78.9512，回判率為96.3%.

再用改進(jìn)的引入權(quán)重因子的判別模型，分別取ρ=0，1，0.2，…，0.9，可得:

通過 SPSS 軟件得出ρ在［0.1，0.2］區(qū)間內(nèi)回判率最佳，即回判率100%.將原判別模型下的回判率(96.3%)與改進(jìn)后的模型下的回判率100%比較，不難發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的模型下的回判率有了顯著的提高.

例2 對(duì)全國(guó)30個(gè)省市自治區(qū)1994年影響各地區(qū)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)差異的制度變量:X1表示經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率，X2表示非國(guó)有化水平，X3表示開放度，X4表示市場(chǎng)化程度.數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)［3］.

分別取ρ=0.1，0.2，…0.9，通過 SPSS 軟件可得:

通過軟件發(fā)現(xiàn)在［0.5，0.9］區(qū)間內(nèi)回判率比較好.由文獻(xiàn)［3］我們可知在原費(fèi)歇判別模型下，此問題的回判率是92.5%，通過改進(jìn)后的模型計(jì)算發(fā)現(xiàn)回判率有所提高為96.3%.

4 結(jié)論

與Fisher原判別模型相比，引入權(quán)重的進(jìn)而得到改進(jìn)的費(fèi)歇爾判別法在作判別時(shí)，只需要變換ρ的取值，就可以得到多種結(jié)果，進(jìn)而找到最好的判別模型和最佳的判別效果，這樣判別更準(zhǔn)確，而且得到的判別模型也更加穩(wěn)定.雖然ρ多次取值，增加了計(jì)算難度，但在計(jì)算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，完全可以解決這個(gè)問題.所以，認(rèn)為引入權(quán)重因子的Fisher原判別方法更準(zhǔn)確，效果更好.

［1］ 王學(xué)民，方開泰.多元統(tǒng)計(jì)分析引論［M］.北京:科學(xué)出版社，1999.

［2］ 管宇.實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析［M］.杭州:浙江大學(xué)出版社，2011.10.

［3］ 于秀林，任雪松.多元統(tǒng)計(jì)分析［M］.北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999.

［4］ 游華，郭福星.最優(yōu)組合因子 Fisher判別法［J］.福州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2001(3):1-4