帶常利率相依風險模型的有限時破產(chǎn)概率

王開永 林金官

(1東南大學數(shù)學系，南京 210096)

(2蘇州科技學院數(shù)理學院，蘇州 215009)

帶常利率相依風險模型的有限時破產(chǎn)概率

王開永1，2林金官1

(1東南大學數(shù)學系，南京 210096)

(2蘇州科技學院數(shù)理學院，蘇州 215009)

為了得到帶常利率相依風險模型的風險度量，用概率極限理論及隨機過程的方法得到了上述模型有限時破產(chǎn)概率的漸近估計.采用有限時破產(chǎn)概率的加權(quán)表達式、加權(quán)和的一致漸近性質(zhì)及相依結(jié)構(gòu)的處理方法研究了索賠額之間的相依性、索賠來到時間間隔的相依性及索賠額的分布對帶常利率風險模型的有限時破產(chǎn)概率的影響.結(jié)果表明:對于索賠額的分布屬于控制變化尾分布族、索賠額之間具有類似漸近獨立的相依結(jié)構(gòu)及索賠來到時間間隔具有寬相依結(jié)構(gòu)時，帶常利率的風險模型的有限時破產(chǎn)概率呈現(xiàn)出一定的漸近性質(zhì)，此漸近性質(zhì)與索賠額的分布、常利率、初始資本及時間范圍有關.當考慮的時間范圍及索賠量變大時，將增加有限時破產(chǎn)概率的上下界;當常利率及初始資本變大時，將減小有限時破產(chǎn)概率的上下界.但索賠額及索賠來到時間間隔的相依性對有限時破產(chǎn)概率的影響不大.

相依風險模型;有限時破產(chǎn)概率;控制變化尾;漸近性

在風險理論的研究中，人們建立了各種不同的風險模型來刻畫各種保險業(yè)務，本文將重點考慮帶常利率的風險模型.早期的研究大都考慮獨立的風險模型，但隨著研究的深入及實際問題的出現(xiàn)，人們逐漸開始研究相依的風險模型，本文則考慮一類比較寬泛的相依結(jié)構(gòu).在上述模型下，本文將給出有限時破產(chǎn)概率的漸近估計.

1 相依重尾風險模型

1.1 帶常利率風險模型

本文將考慮一帶常利率的風險模型.在此模型中，索賠額Xk，k≥1為一列同分布的隨機變量，它們具有共同的分布F及某一相依結(jié)構(gòu).索賠來到的時間間隔θk，k≥1為另一列同分布的隨機變量，它們具有另一相依結(jié)構(gòu)且θ1非退化于0點.索賠陸續(xù)來到的時刻構(gòu)成一個準更新記數(shù)過程，其中，1A為事件A的示性函數(shù).記更新函數(shù)為λ(t)=EN(t)，t≥0，且假設對任意0＜t＜∞，λ(t)＜∞.設Λ={t:λ(t)＞0}.

到時刻t≥0為止總保費記為C(t)，其為一個非負不降的隨機過程，其中約定C(0)=0且對任意0≤t＜∞，C(t)＜∞幾乎處處成立(a.s.).假設{Xk，k≥1}，{θk，k≥1}及{C(t)，t≥0}是彼此獨立的.設0≤δ＜∞為一個常利率，即時間t以后資本y會變?yōu)閥eδt.設0≤x＜∞為一保險公司的初始資本.從而，到時刻0≤t＜∞為止總的儲備記為Uδ(x，t)，滿足

式中為到時刻0≤t＜∞為止的總索賠量，當N(t)=0時約定S(t)=0.因此，對任給定的T≥0，在時間段［0，T］內(nèi)的有限時破產(chǎn)概率定義為［1］

本文將在索賠額Xk，k≥1和索賠來到的時間間隔θk，k≥1分別具有某一相依結(jié)構(gòu)且索賠額分布F屬于控制變化尾時，討論有限時破產(chǎn)概率ψ(x，T)的漸近性.為此，下面將介紹一些隨機變量的相依結(jié)構(gòu)及一些常見重尾分布族，然后給出本文主要結(jié)果.

1.2 隨機變量的相依結(jié)構(gòu)

Wang 等［2］在討論 ψ(x，T)的漸近性時，介紹了一類比較寬泛的隨機變量的相依結(jié)構(gòu).

定義1 對于隨機變量{ξn，n≥1}，若存在一有限實數(shù)列{gU(n)，n≥1}使得對每一個n≥1及所有xi∈(－ ∞ ，∞)，1≤i≤n，有

則稱隨機變量{ξn，n≥1}為寬上象限相依(WUOD);若存在一有限實數(shù)列{gL(n)，n≥1}使得對每個n≥1 及所有xi∈(－ ∞，∞)，1≤i≤n，有

則稱隨機變量{ξn，n≥1}為寬下象限相依(WLOD);進而，若{ξn，n≥1}既為 WUOD 又為WLOD，則稱隨機變量{ξn，n≥1}為寬象限相依(WOD).

在式(2)、(3)中，若gU(n)=gL(n)≡1，n≥2，則分別稱隨機變量{ξn，n≥1}為負上象限相依(NUOD)及負下象限相依(NLOD);若隨機變量{ξn，n≥1}既為 NUOD 又為 NLOD，則稱隨機變量{ξn，n≥1}為負象限相依(NOD)［3-4］.若對所有正整數(shù)i≠j，隨機變量 ξi與 ξj為 NOD，則稱隨機變量{ξn，n≥1}為兩兩負象限相依(NQD)或兩兩NOD［5］.

由WUOD及WLOD的定義，文獻［2］給出了關于WUOD及WLOD隨機變量的一些性質(zhì).

命題11)設隨機變量{ξn，n≥1}為 WLOD(或 WUOD)，若{fn(·)，n≥1}為非降函數(shù)，則{fn(ξn)，n≥1}仍為 WLOD(或 WUOD);若{fn(·)，n≥1}為非增函數(shù)，則{fn(ξn)，n≥1}為WUOD(或 WLOD).

2)若{ξn，n≥1}為非負 WUOD 隨機變量，則對每一個n≥1，

本文將考慮索賠額滿足如下相依結(jié)構(gòu)，它是由Geluk 和 Tang［6］引入的.

假設1 對于隨機變量{ξn，n≥1}，對所有1≤i≠j＜∞，

此概念與 Maulik和 Resnick［7］所提出的漸近獨立有關.由定義可發(fā)現(xiàn)，非負WUOD隨機變量及兩兩NOD隨機變量都滿足假設1.

1.3 常見重尾分布族

本文將考慮索賠額分布為重尾分布的情形.為此，本節(jié)將介紹一些常見的重尾分布族.

1.4 主要結(jié)果

在上述帶利率的風險模型中，當索賠額Xk，k≥1及索賠來到時間間隔θk，k≥1分別為獨立同分布的隨機變量時，此帶利率風險模型已經(jīng)得到了廣泛研究［1，12-13］.

當索賠額Xk，k≥1及索賠來到時間間隔θk，k≥1分別具有某種相依結(jié)構(gòu)時，對有限時破產(chǎn)概率ψ(x，T)也有一些相關研究.Li等［14］考慮了索賠額Xk，k≥1為兩兩NOD隨機變量，其共同的分布，索賠來到時間間隔 θk，k≥1為NLOD且過程{C(t)，t≥0}為一線性過程的情形.

對于一般的隨機過程{C(t)，t≥0}及{N(t)，t≥0}是一延遲更新計數(shù)過程時，Yang和 Wang［15］的Theorem 2.1也得到了上述結(jié)果.

Kong 和 Zong［16］則考慮了索賠額Xk，k≥1 為NOD隨機變量，其共同的分布，索賠來到時間間隔θk，k≥1為獨立同分布的隨機變量且具有共同指數(shù)分布的情形.

文獻［2］則考慮了索賠額Xk，k≥1為 WUOD隨機變量，其共同的分布，且索賠來到時間間隔θk，k≥1為WLOD隨機變量的情形，得到了有限時破產(chǎn)概率ψ(x，T)的一致漸近性.

本文將考慮如下2個方面的問題:

1)由于假設1包含了非負WUOD隨機變量及兩兩NOD隨機變量，本文將對索賠額Xk，k≥1滿足假設1的情形討論有限時破產(chǎn)概率ψ(x，T)的漸近性.

2)文獻［2］討論了索賠額分布有限時破產(chǎn)概率ψ(x，T)的漸近性.但

的 真 子 集 (見 Embrechts 等［17］的 Example 1.4.2).本文則考慮的情形.

對上述2個問題，本文所得主要結(jié)果如下.

定理1 在上述風險模型中，設索賠額Xk，k≥1為滿足假設1的隨機變量，其共同的分布F∈且，索賠來到時間間隔θk，k≥1為WLOD隨機變量且滿足對任意ε＞0，

注1 1)定理1將文獻［2］中的Theorem 1.1的索賠額Xk，k≥1的相依結(jié)構(gòu)推廣到了滿足假設1的情形.同時將索賠額分布F的范圍由

又設對某個0＜T0＜∞有p0=P(Y1≤T0)＞0，則對任T≥T0，族推廣到了族，但僅得到了有限時破產(chǎn)概率ψ(x，T)的弱漸近等價表達式.

2)定理1推廣了文獻［14］的Theorem 1中F∈的情形的結(jié)果.

2 定理1的證明

首先給出一些引理.對任n(n≥1)個實數(shù).對于下面的引理，文獻［2］的Lemma 2.3討論了WUOD隨機變量且分布屬于∩的情形.

引理1 設n為一正整數(shù)，ξk，1≤k≤n為非負隨機變量，滿足對任 1≤i≠j≤n，式(4)成立.a，b為任給定的正常數(shù)且a≤b，則

又若ξk，1≤k≤n為同分布的隨機變量，其共同的分布，則

證明 由式(4)知，對任 ε＞0，存在y0＞0使得對任 1≤i≠j≤n，當xi＞y0且xj＞y0時，

從而由式(10)知，對任1≤i≠j≤n，當x/b＞y0時，對一致有

從而由Bonferroni不等式知

另一方面，取一正數(shù)L使得L/((n－1)b)＞y0.從而對任x＞0，

從而，由式(11)～(13)知式(9)成立.

由引理1可得下面的引理.對于此引理，文獻［1］的Lemma 3.6討論了索賠額為獨立的情形;文獻［15］的 Lemma 3.5則討論了索賠額為兩兩NOD的情形.下面的引理討論了索賠額滿足假設1的情形.

引理2 在上述風險模型中，若索賠額Xk，k≥1為滿足假設1的隨機變量，其共同的分布F∈.Z為任一非負隨機變量且與所有隨機變量獨立，則對任0＜T＜∞及任給定k≥1，

而由文獻［15］的式(3.15)～(3.17)知對任1≤j≤k及充分大x，有

從而由式(15)可知式(14)成立.

下面證明定理1.

證明 將采用文獻［1］的方法證明ψ(x，T)的下界.由條件知對任從而，由式(1)、引理2 及Fubini定理知，對任待定的正整數(shù)m0，當x充分大時，

而由Markov不等式及命題1知，對任x＞0，

由于 θ1非退化于 0 點，則 0 ＜Ee－θ1＜1.從而由式(7)知，對任 ε ＞0，存在m0＞0，使得

所以，對任x＞0及上述m0，

從而，由式(16)、(17)及ε的任意性知

下面證明ψ(x，T)的上界.對任待定的正整數(shù)n0，任0＜θ＜1/2及x＞0，

先估計J3(x).將采用Chen 和Ng［18］的方法證明.對任正整數(shù)n，使得，有

類似地，當x＞D1時，

從而，由式(7)知

從而，由式(19)～(21)知

由于p0=P(Y1≤T0)＞0，從而對任T≥T0，

從而對任 ε ＞0，由式(22)、(23)及F∈知，存在n0＞0，對充分大x有

所以，在式(18)中取式(24)中的n0，當x充分大時，

對于J2(x)，由引理1知，當x充分大時

所以，由式(18)、(25)、(26)及 ε 的任意性知

［1］Wang D.Finite-time ruin probability with heavy-tailed claims and constant interest rate［J］.Stochastic Models，2008，24(2):41-57.

［2］ Wang K，Wang Y，Gao Q.Uniform asymptotics for the finite-time ruin probability of a dependent risk model with a constant interest rate［J/OL］.Methodology and Computing in Applied Probability，2011.http://www.springerlink.com/content/q62g3v36033270n8/.

［3］ Ebrahimi N，Ghosh M.Multivariate negative dependence［J］.Communications in Statistics，1981，10(2):307-337.

［4］Block H W，Savits T H，Shaked M.Some concepts of negative dependence［J］.Annals of Probability，1982，10(3):765-772.

［5］ Lehmann E L.Some concepts of dependence［J］.Annals of Mathematical Statistics，1966，37(2):1137-1153.

［6］ Geluk J，Tang Q.Asymptotic tail probabilities of sums of dependent subexponential random variables［J］.J Theor Probab，2009，22(4):871-882.

［7］ Maulik K，Resnick S.Characterizations and examples of hidden regular variation［J］.Extremes，2004，7(2):31-67.

［8］Bingham N H，Goldie C M，Teugels J L.Regular variation［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1987:135-142.

［9］ Cline D B H，Samorodnitsky G.Subexponentiality of the product of independent random variables［J］.Stochastic Process and Their Applications，1994，49(2):75-98.

［10］Wang Y，Wang K，Cheng D.Precise large deviations for sums of negatively associated random variables with common dominatedly varing tails［J］.Acta Mathematica Sinica:English Series，2006，22(2):1725-1734.

［11］Tang Q，Tsitsiashvili G.Precise estimates for the ruin probability in finite horizon in a discrete-time model with heavy-tailed insurance and financial risks［J］.Stochastic Process and Their Applications，2003，108(3):299-325.

［12］Kl¨uppelberg C，Stadtim¨uller U.Ruin probabilities in the presence of heavy-tails and interest rates［J］.Scandinavian Actuarial Journal，1998，1998(1):49-58.

［13］Kalashnikov V，Konstantinides D.Ruin under interest force and subexponential claims:a simple treatment［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2000，27(3):145-149.

［14］Li J，Wang K，Wang Y.Finite-time ruin probability with NQD dominated varying-tailed claims and NLOD inter-arrival times［J］.Journal of System Science and Complexity，2009，22(3):407-414.

［15］Yang Y，Wang Y.Asymptotics for ruin probability of some negatively dependent risk models with a constant interest rate and dominatedly-varying-tailed claims［J］.Statistics and Probability Letters，2010，80(3/4):143-154.

［16］ Kong F，Zong G.The finite-time ruin probability for ND claims with constant interest force［J］.Statistics and Probability Letters，2008，78(4):3103-3109.

［17］Embrechts P，Kl¨uppelberg C，Mikosch T.Modelling extremal events for insurance and finance［M］.Berlin:Springer，1997:41-42.

［18］Chen Y，Ng K W.The ruin probability of the renewal model with constant interest force and negatively dependent heavy-tailed claims［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2007，40(4):415-423.

Finite-time ruin probability of dependent risk model with constant interest rate

Wang Kaiyong1，2Lin Jinguan1

(1Department of Mathematics，Southeast University，Nanjing 210096，China)
(2School of Mathematics and Physics，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou 215009，China)

In order to obtain the risk measure of a dependent risk model with a constant interest rate，the asymptotic estimates of the finite-time ruin probability are obtained for the above model by using the probability limiting theory and stochastic process.Applying the weighted formula of the finite-time ruin probability，the uniform asymptotics of the weight sums and the way dealing with the dependence structures，the effects of the dependence of the claim sizes，the dependence of the inter-arrival times and the distribution of the claim sizes on the finite-time ruin probability of the risk model with a constant interest rate are investigated.The obtained results show that when the claim sizes have a dominated varying-tailed distribution and a dependence structure similar to the asymptotic independence and the inter-arrival times have a wide dependence structure，the finite-time ruin probability of the risk model with a constant interest rate has some asymptotic properties.These asymptotics have relations with the distribution of the claim sizes，the constant interest rate，the initial capital，and the time range.With the increase in the time range and the claim sizes，the upper and lower bounds of the finite-time ruin probability will increase;with the increase in the constant interest rate and the initial capital，the upper and lower bounds of the finite-time ruin probability will decrease.However，the dependence structures of the claim sizes and the inter-arrival times have little effect on the finite-time ruin probability.

dependent risk model;finite-time ruin probability;dominated varying tail;asymptotics

O211.4

A

1001－0505(2012)06-1243-06

10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.06.040

2012-06-20.

王開永(1979—)，男，博士，講師;林金官(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導師，jglin@seu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(11071182，11171065)、國家自然科學基金數(shù)學天元基金資助項目(11226211)、江蘇省自然科學基金資助項目(BK2012165，BK2011058)、中國博士后科學基金資助項目(2012M520963)、蘇州科技學院院科研基金資助項目.

王開永，林金官.帶常利率相依風險模型的有限時破產(chǎn)概率［J］.東南大學學報:自然科學版，2012，42(6):1243-1248.［doi:10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.06.040］