基于純各向異性擴散和四階PDE 的混合去噪方法研究

喬林峰，王 俊

(陸軍軍官學(xué)院，安徽 合肥 2300311)

近年來，關(guān)于利用偏微分方程方法進行圖像處理方面的研究已在多個不同領(lǐng)域顯有成效，在圖像去噪、圖像分割、圖像復(fù)原等方面都提出了很多經(jīng)典模型及算法.這些模型在圖像處理方面都取得了非常不錯的成績.

本文針對四階PDE模型過多損失邊緣信息和純各向異性擴散模型在平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)的缺點，提出了一種新的模型.該模型適用于去除高斯噪聲和椒鹽噪聲，并在有效去除噪聲的同時，既抑制了階梯效應(yīng)又很好地保持了圖像的邊緣和紋理細節(jié)信息，同時該模型的算法實現(xiàn)簡單，穩(wěn)定性也很好.

1 純各向異性擴散模型

Perona和Malik于1990年在文獻［1］中提出了P－M擴散方程:

該方程在圖像去噪的過程中能很好保持邊緣信息.式中g(shù)稱為傳導(dǎo)函數(shù)，一般取為:

式中，k為一臨界參考值.

圖像處理的很多應(yīng)用領(lǐng)域?qū)υ撃Ｐ驮趫D像特性信息的保護作用都有所關(guān)注，然而該模型的初值問題可能會出現(xiàn)“病態(tài)”問題［2］，同時，該模型對椒鹽類噪聲和強邊緣附近的其它噪聲的處理不是很好.

Alvarez和Morel對P－M擴散方程進行了改進，并提出了一種“純”各向異性擴散方程［3］:

進一步，有:

這樣，方程(2)的擴散項轉(zhuǎn)化為ξ方向上的擴散項.在運算過程中，為了避免圖像中平坦區(qū)域的梯度值可能為零，該模型采用了參數(shù)提升梯度，即

進一步，利用有限差分格式對方程(2)進行離散化，令迭代次數(shù)為k，空間步長為h，時間步長為 Δt，u(i，j)=ui，j，u0(i，j)=u0i，j，則

得該方程的離散顯示差分方程為:

該模型擴散只是沿著垂直于圖像的梯度矢量方向進行，可以看出其具有較強的邊緣保護和去除椒鹽類噪聲的能力.

2 四階PDE圖像去噪模型

Yu－Li和 M.Kaveh等人在文獻［4］中提到了一個四階PDE.此方程克服了低階PDE在圖像處理中存在的一些缺點，既有效保持了去噪的效果，又在一定程度上保持了圖像的細節(jié)和紋理特征.方程如下:

其中，f是正的非增函數(shù)，文獻中取其為:

其中λ為常數(shù).

在這里，我們?nèi)圆捎糜邢薏罘指袷綄ζ潆x散化.令迭代次數(shù)為k，空間步長為h，時間步長為Δt ，u(i，j)=ui，j，u0(i，j)=u0i，j，則得到該四階PDE的顯示差分格式為:

該四階PDE模型能避免產(chǎn)生“階梯”效應(yīng)，并能在很大程度上恢復(fù)和保護平滑區(qū)域信息和細小紋理.

3 基于純各向異性擴散和四階PDE的混合模型

3.1 模型提出

針對以上純各向異性擴散模型和四階PDE模型在圖像去噪的特點討論，我們提出了混合的偏微分去噪模型:

式中，θ∈［0，1］為權(quán)重函數(shù).設(shè)m，n分別為純各向異性擴散模型和四階PDE的解，則凸組合

即為(6)式的解.由圖像處理的實際情況可知，對于邊緣和平坦區(qū)域，應(yīng)突出純異性擴散的作用，故θ應(yīng)趨于1;對于漸變區(qū)域，應(yīng)突出四階PDE的作用，故θ應(yīng)趨于0.所以，權(quán)函數(shù)的遞歸表達式我們構(gòu)造如下:

其中u=θkm+(1-θk)n，c為正數(shù).

3.2 求模型的數(shù)值解

本文所提出的模型數(shù)值解的算法步驟為:

1)初始化:令 θ∈［0，1］，c和 p(收斂精度)，記m0=ur，n0=ur，其中ur為加入了混合噪聲的圖像，其大小為M×N.

2)循環(huán)計算:k=0，執(zhí)行如下過程.

3)根據(jù)(3)式計算

4)根據(jù)(5)式計算

5)根據(jù)(8)式計算θk+1.

6)根據(jù)(7)式進行凸組合:uk+1= θk+1mk+1+(1- θk+1)nk+1.

7)mk+1=uk+1，nk+1=uk+1.

9)結(jié)束.

4 仿真實驗及其結(jié)果分析

為了有效驗證本文的方法，測試對象我們選取了256×256的圖像，對本文提出的混合模型以及四階PDE模型和純各向異性擴散模型在不同強度的高斯噪聲、椒鹽噪聲下的去噪效果進行了仿真實驗并做了比較.在這里，我們用信噪比(SNR)和歸一化的均方誤差(NMSE)作為其評價指標:

u(x，y)和u'(x，y)分別代表處理前的圖像和處理后的圖像.

利用數(shù)學(xué)軟件Matlab，我們對原始圖像添加了方差為0.02的高斯噪聲和密度為0.1﹪的椒鹽噪聲，然后用純各向異性擴散模型、四階PDE模型和本文混合去噪模型進行了去噪處理.三種模型的去噪效果比較圖如圖1所示.

圖1 三種模型的去噪效果比較圖

從圖1可以看出，純各向異性擴散模型盡管對混合噪聲去除得比較徹底，但圖像的紋理細節(jié)卻受到較大破壞，與原始圖像中的河流和街道區(qū)域進行對比可以發(fā)現(xiàn)，有一部分的細節(jié)信息已經(jīng)丟失;四階PDE模型雖然對圖像的紋理細節(jié)起到了一定程度的保護，但圖中仍殘留著去噪后留下的一些麻點和椒鹽噪聲，對視覺效果有一定的影響.本文提出的混合去噪模型，既對椒鹽噪聲和高斯噪聲起到了很好的抑制，又保持了原始圖像中的細節(jié)信息和大量紋理.

與此同時，我們在測試圖像中分別加入4種不同強度的高斯和椒鹽混合噪聲，再利用純各向異性擴散模型、四階PDE模型以及本文提出的混合去噪模型進行處理，然后對去噪后圖像的歸一化均方誤差和信噪比進行統(tǒng)計(見表1)，其中M表示椒鹽噪聲密度，F(xiàn)表示高斯噪聲方差.從表1中數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的算法對于處理加入不同強度噪聲的圖像，客觀效果均好于其他兩個模型，且算法的穩(wěn)定性也比較好.

表1 三種模型處理圖像中不同混合噪聲的歸一化均方誤差和信噪比統(tǒng)計比較

［1］Perona P，Malik J.Scale － space and edge detection using anisotropic diffusion［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence，1990，12(7):629－639.

［2］Catte F，Lion J，Morel M.Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，1992(29):182 －193.

［3］Alvarez L，Morel JM.Formalization and computational aspects of image analysis［M］.United States of America:Cambridge University Press，1994:1 －59.

［4］Whitaker R，Pizer S.A multi－ scale approach to nonuniform diffusion［J］.Computer Vision，Graphics，and Image Processing:Image Understanding，1993，57(1):99－110.

［5］張亶，陳剛.基于偏微分方程的圖像處理［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［6］陸君安，尚濤，謝進，等.偏微分方程的 Matlab解法［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2004.

［7］岡薩雷斯.數(shù)字圖像處理:第2版［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2002:1－3.

［8］陳祖墀.偏微分方程［M］.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002.