有限維Jacobi 算子特征值的連續(xù)依賴性

杜保營(yíng)

(宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 宜賓 644000)

Jacobi算子是一類非常重要的差分算子，有關(guān)Jacobi算子的譜理論的研究起步較早并且理論也基本完善成熟，但有關(guān)算子的逆譜理論的研究卻相對(duì)來(lái)說(shuō)起步較晚且有待完善.本文對(duì)一類比較簡(jiǎn)單的 Jacobi算子——有限維 Jacobi算子的逆譜理論的一個(gè)側(cè)面進(jìn)行探討，即對(duì)有限維Jacobi算子特征值的連續(xù)依賴性進(jìn)行探討.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］設(shè)Z為整數(shù)集，I?Z，M是一數(shù)域，符號(hào)l(I，M)表示從I到M-值序列，即:

當(dāng)M=C時(shí)，M可以省略.即

l(I)=l(I，C).

若M是Banach空間，我們引入如下定義:

定義2［1］設(shè)1≤p ＜ ∞ ，則:

當(dāng)M是Hillbert空間時(shí)，在l2(Z，M)上引入以下內(nèi)積:

按照以上定義的內(nèi)積，則l2(Z，M)也是一Hillbert空間.

定義3［2］設(shè) {an}∈l∞(Z，R)，an≠0 ，n∈Z;{bn}∈l∞(Z，R)，n∈Z，則差分算子H:

稱為Jacobi算子.其中，H如下定義:

其中，數(shù)列{an}、{bn}稱為 Jacobi算子 H的系數(shù).

定義 4［3］設(shè) n1＜ n2，定義在 l2［n1+1，n2-1］且在端點(diǎn)處滿足齊次Dirichlet邊值條件的Jacobi算子稱為有限維Jacobi算子，記為 Hn1，n2，即:

引理1［2］任何一個(gè)差分算子R(不妨設(shè)定義在空間 l2(Z)上)都對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)矩陣(R(m，n))m，n∈Z.這里 R(m，n)=Rδn(m)=〈δm，Rδn〉. 其 中， δn(m) = δ(m，n) =是空間l2(Z)上的標(biāo)準(zhǔn)基.

引理2［2］有限維Jacobi算子是有界自伴隨算子.

引理3［3］若H是Hillbert空間上的有界自伴隨算子，則H的所有特征值是實(shí)的.

2 有限維Jacobi算子特征值的連續(xù)依賴性

定理1 有限維Jacobi算子Hn1，n2的特征值連續(xù)依賴于{an}、{bn}.其中，{an}、{bn}是有限維 Jacobi算子 Hn1，n2的系數(shù).

證明 對(duì)于有限維 Jacobi算子 Hn1，n2，為了表示的簡(jiǎn)單，不妨設(shè)n1=0，n2=N+1，則:

則由引理1知H0，N+1對(duì)應(yīng)的矩陣為:

顯然，J0，N+1為N階方陣，對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為:，(I為N階單位矩陣).

由代數(shù)基本定理知［4］:該特征多項(xiàng)式有N個(gè)根(特征多項(xiàng)式是一個(gè)關(guān)于λ的N次多項(xiàng)式).由引理2和引理3知:的這N個(gè)根均為實(shí)根，不妨設(shè)為λ1≤λ2≤…≤λN.

其中，g0，g1，…，gN-1是實(shí)數(shù)域上的2N-1元連續(xù)函數(shù).又由于λ1，…，λN是特征多項(xiàng)式的N個(gè)根，所以該特征多項(xiàng)式的系數(shù)可以用λ1，…，λN來(lái)表示，即

其中，f0，f1，…，fN-1是實(shí)數(shù)域上的 N元連續(xù)函數(shù).所以

構(gòu)造N個(gè)3N-1元連續(xù)函數(shù)Fi(x1，…，xN-1，y1，…，yN，z1，…，zN).其中:

顯然，F(xiàn)i是實(shí)數(shù)域上的3N-1元連續(xù)函數(shù)，且函數(shù) Fi在點(diǎn) P(a1，…，aN-1，b1，…，bN，λ1，…，λN)處的函數(shù)值為零.即:

又由于函數(shù)Fi在點(diǎn)P的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(Fi是實(shí)數(shù)域上的3N-1元連續(xù)函數(shù))，且

所以，由隱函數(shù)存在定理［5］知在點(diǎn)P的某鄰域內(nèi)存在唯一一組函數(shù):

其中:

hk(a1，…，aN-1，b1，…，bN)= λk，k=1，…，N;并且函數(shù) hk(k=1，…，N)在點(diǎn) (a1，…，aN-1，b1，…，bN)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，所以λk(k=1，…，N)連續(xù)依賴于 a1，…，aN-1，b1，…，bN.即:有限維Jacobi算子的特征值具有連續(xù)依賴性，連續(xù)依賴于該Jacobi算子的系數(shù).

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于無(wú)窮維Jacobi算子的特征值的連續(xù)依賴性，本文沒(méi)有做探討，不過(guò)，無(wú)窮維Jacobi算子的特征值的連續(xù)依賴性和本文所探討的有限維Jacobi算子其特征值具有連續(xù)依賴性有相似之處，不過(guò)也有自身的特點(diǎn)和難度，這有待于在以后的研究中解決.

［1］張恭慶，林源渠.泛函分析講義［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1986:78-80.

［2］Eschl G T.Jacobi operators and completely intergrable nonlinear lattices［J］.Math.Surv and Mon，Amer.Math.，2002，72.

［3］Diplomarbeit zur Erlangung.Trace formulas and inverse spectral theory for finite Jacobi operators［M］.Eingereicht von Johanna Michor Betreut von.Univ.Prof.Gerald TeschlWien，im Mai，2002.

［4］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，1987:26-27.

［5］劉玉蓮，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義［M］.北京:高等教育出版社，2001:217-218.