非參數(shù)固定效應(yīng)Panel Data模型的分位數(shù)回歸推斷

呂秀梅

非參數(shù)固定效應(yīng)Panel Data模型的分位數(shù)回歸推斷

呂秀梅

（重慶工商大學(xué)財(cái)政金融學(xué)院，重慶400067）

利用分位數(shù)回歸方法，討論了非參數(shù)固定效應(yīng)Panel Data模型的估計(jì)和檢驗(yàn)問題，得到了參數(shù)估計(jì)的漸近正態(tài)性及收斂速度。同時(shí)，建立一個(gè)秩得分（rank score）統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷墓潭ㄐ?yīng)，并證明了這個(gè)統(tǒng)計(jì)量漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

分位數(shù)回歸；漸近正態(tài)；固定效應(yīng)；Panel Data模型

一、引 言

Panel Data是指相同截面上的個(gè)體在不同時(shí)點(diǎn)重復(fù)觀測的數(shù)據(jù)，基于Panel Data的回歸模型稱為Panel Data模型，Hsiao等都對Panel Data模型作了詳細(xì)的闡述［1－3］。近幾年，Panel Data模型的研究主要集中在非參數(shù)和半?yún)?shù)模型的估計(jì)和檢驗(yàn)上。Lin等使用平滑樣條估計(jì)和核估計(jì)方法研究非參數(shù)Panel Data模型，推導(dǎo)出了樣條估計(jì)量與核估計(jì)量的漸近偏差和協(xié)方差［4］；Li和Stengos借助工具變量對半?yún)?shù)線性Panel Data模型進(jìn)行估計(jì)，并且證明當(dāng)T很小，N很大時(shí)，估計(jì)量以槡N一致收斂［5］；Li和Hsiao給出半?yún)?shù)Panel Data模型三個(gè)檢驗(yàn)序列相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量，并且證明這些統(tǒng)計(jì)量分別漸近服從正態(tài)分布或卡方分布［6］。與此同時(shí)，非參數(shù)與半?yún)?shù)Panel Data模型的廣泛應(yīng)用使它備受理論界和實(shí)務(wù)界的重視，得到了統(tǒng)計(jì)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)家在理論和應(yīng)用上的深入研究，并且在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用逐漸被經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)家所推廣。

現(xiàn)有的大多數(shù)文獻(xiàn)都是使用最小二乘法或Profile似然法對Panel Data模型進(jìn)行估計(jì)和檢驗(yàn)，但是上述方法嚴(yán)重依賴于隨機(jī)誤差項(xiàng)方差的結(jié)構(gòu)，而分位數(shù)回歸對這一要求較弱，它只要求隨機(jī)誤差項(xiàng)的τ∈［0，1］分位數(shù)存在，因此本文采用分位數(shù)回歸方法來研究非參數(shù)固定效應(yīng)Panel Data模型。以分位數(shù)回歸方法來研究統(tǒng)計(jì)或經(jīng)濟(jì)模型已經(jīng)成為研究的熱點(diǎn)。李育安介紹了分位數(shù)回歸法的概念、算法及主流統(tǒng)計(jì)軟件R和SAS計(jì)算時(shí)的語法，并通過實(shí)例與線性回歸進(jìn)行了對比，展現(xiàn)了分位數(shù)回歸的巨大魅力［7］；Kim使用分位數(shù)回歸研究變系數(shù)模型的估計(jì)和檢驗(yàn)，得出了參數(shù)估計(jì)的漸近理論和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的分布性［8］；Wang H．X．J．和Wang L．使用加權(quán)分位數(shù)方法研究坍塌回歸模型，給出了參數(shù)估計(jì)的一致性和漸近正態(tài)性［9］；Cai和Xu研究了非參數(shù)動(dòng)態(tài)光滑系數(shù)模型的非參數(shù)分位數(shù)估計(jì)，給出估計(jì)的正態(tài)性及估計(jì)量在邊界上的漸近行為［10］；張濤通過分位數(shù)回歸方法，利用CHNS 2006年的數(shù)據(jù)，從教育回報(bào)率、性別和工作部門的差異三個(gè)方面對中國工資收入差異進(jìn)行研究［11］。

本文考慮如下非參數(shù)固定效應(yīng)Panel Data模型：

其中（yit，xit）是第i個(gè)個(gè)體在t時(shí)刻因變量與自變量的觀測值，αi是固定效應(yīng)，f（·）是未知的光滑函數(shù)。εit是獨(dú)立同分布的誤差項(xiàng)，滿足零均值，并且假定對任意的i，t，εit與αi，xit相互獨(dú)立。為了模型的可識別，本文要求αi滿足

對于模型（1），Hendersona等運(yùn)用非參數(shù)估計(jì)迭代法對該模型進(jìn)行估計(jì)，并把這種估計(jì)方法運(yùn)用于固定效應(yīng)半?yún)?shù)模型，同時(shí)對非參數(shù)Panel Data模型里的固定效應(yīng)進(jìn)行了零假設(shè)檢驗(yàn)，但是文中并沒有給出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布性［12］；Su和Ullah運(yùn)用Profile似然估計(jì)方法，給出了估計(jì)量的收斂速度和漸近正態(tài)性，但并沒有解決固定效應(yīng)的檢驗(yàn)問題［13］；魏傳華和吳喜之采用Profile最小二乘法討論了該模型的估計(jì)與檢驗(yàn)方法，得到固定效應(yīng)與非參數(shù)部分的估計(jì)［14］，同時(shí)給出了計(jì)算檢驗(yàn)P值的F分布逼近法，但是文中只給出了一些估計(jì)方法，并沒有獲得參數(shù)估計(jì)的漸近理論，也沒有推導(dǎo)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布性。本文應(yīng)用分位數(shù)回歸方法，不僅得出了參數(shù)估計(jì)的收斂速度和正態(tài)性，而且建立了一個(gè)檢驗(yàn)固定效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，并證明了這個(gè)統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

二、分位數(shù)估計(jì)

定義模型（1）的τ分位數(shù)為：

這里假定隨機(jī)項(xiàng)εit的τ分位數(shù)等于0。

由于fτ（xit）是一個(gè)未知光滑函數(shù)，因此本文假定fτ（xit）有如下形式的級數(shù)展式：

其中｛Pl，τ（xit）是定義在RK空間上的基函數(shù)｛θl｝K

l＝1對應(yīng)的參數(shù)。

分位數(shù)估計(jì)參數(shù)（ατi，θτl）是通過極小化

得到的，這里ρτ（a）＝a（τ－I（a≤0）），并且I（A）是一個(gè)定義在集合A上的示性函數(shù)。

為了表達(dá)方便，令：

PK，τ（xit）＝（P1，τ（xit），…，PK，τ（xit））′

這里“′”定義為矩陣或向量的轉(zhuǎn)置運(yùn)算。同時(shí)定義：

這里

在給出模型（1）的分位數(shù)估計(jì)的漸進(jìn)理論時(shí)，需要以下假設(shè)條件［8－9，15］。

條件1 fεit（0）＞0且fεit（s）在零的領(lǐng)域Lipschitz連續(xù)。

條件2 非參數(shù)函數(shù)fτ（xit）有如下分解式：

條件3 ρτ（s）是一個(gè)凸函數(shù)，并且滿足E（ψ（eit））＝0，E（ψ（eit））2＜∞，這里ψτ（a）＝τ－I（a≤0）。

條件4 存在正常數(shù)c2，c3和c4，使得

E（ψτ（eit＋s）－ψ（eit））2≤c2｜s｜

并且｜ψτ（v＋s）－ψτ（v）｜≤c3，對所有｜s｜≤c4成立，這里s，v∈R。

在介紹定理1前，先給出兩個(gè)有用的引理，它們的證明與Cai和Xu的方法類似［10］。

引理1 如果一個(gè)向量函數(shù)Vn（Δ）滿足

（1）－Δ′Vn（λΔ）≥－Δ′Vn（Δ），對任意的λ≥1；

（

2）sup‖Vn（Δ）＋DΔ－An‖＝o（1），這里

‖Δ‖≤M‖An‖＝o（1），0＜M＜∞且D是非隨機(jī)矩陣；

（3）Δn是一個(gè)滿足‖Vn（Δn）‖＝o（1）的向量，則‖Δn‖＝o（1）且Δn＝D－1An＋o（1）。

引理2 當(dāng)假設(shè)條件1～4成立時(shí)，對向量函數(shù)QN，T（Δ1，Δ2），有

‖QN，T（Δ1，Δ2）－QN，T（Δ1，0）－E（QN，T（Δ1，Δ2）－QN，T（Δ1，0））‖＝o（1）

及

‖E［QN，T（Δ1，Δ2）－QN，T（Δ1，0）］＋Φ珦NΔ2‖＝o（1）

其中

并且

這里Δ1＝bτij并且Δ2＝δτ。

定理1 在假設(shè)條件1～4成立時(shí)，有：

其中W＝diag｛fεit（0）｝和PK，τ（x）是一個(gè)N×T矩陣，其第i，j個(gè)元素為｛PK，τ（xij）｝。

證明：首先

AN，T＝QN，T（Δ1，0）

由條件1知：

接著考慮

因此可以得到：

＝ΦN

并且

三、假設(shè)檢驗(yàn)

在固定效應(yīng)Panel Data模型中，一個(gè)實(shí)際問題就是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械墓潭ㄐ?yīng)是否對模型產(chǎn)生影響，因此建立了一個(gè)基于分位數(shù)檢驗(yàn)的秩得分（rank score）統(tǒng)計(jì)量，來檢驗(yàn)原假設(shè)固定效應(yīng)不會在模型中產(chǎn)生影響，即H0∶αi＝0。

首先作如下定義：

PK，τ（xi）＝（PK，τ（xi1），…，PK，τ（xiT））′

PK，τ（x）＝（PK，τ（x1），…，PK，τ（xN））′

ψτ（＾ei）＝（ψτ（＾εi1），…，ψτ（＾εiT））′

ψτ（εi）＝（ψτ（εi1），…，ψτ（εiT））′

ΣNT＝E（P′K，τ（x）PK，τ（x））

定理2 在假設(shè)條件1～4及原假設(shè)H0成立時(shí)，有

證明：令γ＊＝P′K，τ（x）γτ，＾γ＊＝P′K，τ（x）＾γτ，珘γ＝＾γ＊－γ＊，Γit＝PK，τ（xit）／PK，τ（x），并且對任意的常數(shù)L定義γ☆L＝｛γ＊｜γ＊∈RNT，｜γ＊｜≤LK1／2｝。

類似Kim的做法［8］，在設(shè)條件1～4成立時(shí)有：

由此可得，P｛｜＾γ＊－γ＊｜≤LK1／2｝＞1－ε，即｜＾γ＊－γ＊｜2＝O（K）。故｜＾γτ－γτ｜2＝O（K／（NT））。

因此只需證明＾SN，T→SN，T即可。事實(shí)上，對任意的ζ＞0和一個(gè)足夠大的常數(shù)C＜∞，可以得到：

由Chebychev不等式及假設(shè)條件4可知，式（3）不大于

因此，由假設(shè)條件2和定理2可知，式（4）不大于O（K2／T）O（K／（NT））＝O（1／）＝o（1），于是結(jié)論成立。

［1］ Hsiao C．Analysis of Panel Data［M］．2nd ed．Cambridge：Cambridge University Press，2002．

［2］ Baltagi B H．Econometrics Analysis of Panel Data［M］．2nd ed．New York：Wiley，2005．

［3］ 白仲林．面板數(shù)據(jù)模型的設(shè)定、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和新進(jìn)展［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2010，25（10）．

［4］ Lin X，Wang N，Welsh，et al．Equivalent Kernels of Smoothing Splines in Nonparametric Regression for Clustered／Longitudinal Data［J］．Biometrika，2004，91（1）．

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［6］ Li Q，Hsiao C．Testing Serial Correlation in Semiparametric Panel Data Models［J］．Journal of Econometrics，1998，87（2）．

［7］ 李育安．分位數(shù)回歸及應(yīng)用簡介［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2010，25（3）．

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［9］ Wang H X J，Wang L．Locally Weighted Censored Quantile Regression［J］．Journal of the American Statistical Association，2009，104（487）．

［10］Cai Z W，Xu X P．Nonparametric Quantile Estimation for Dynamic Smooth Coefficient Models［J］．Journal of the American Statistical Association，2009，104（485）．

［11］張濤．工資收入差異的解釋：基于分位數(shù)回歸的經(jīng)驗(yàn)研究［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2011，26（11）．

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［14］魏傳華，吳喜之．非參數(shù)固定效應(yīng)Panel Data模型的統(tǒng)計(jì)推斷［J］．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2009，28（4）．

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Inference for Quantile Regression in Nonparametric Panel Data Model with Fixed－Effects

LV Xiu－mei
（School of Finance，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

Using quantile regression methods，a nonparametric panel data model with fixed－effects is estimated and tested，the convergence rates and asymptotic normality of estimated parameters are obtained．Moreover，a test statistic named rank score is proposed for the fixed－effects and is proved to obey standard normal distribution．

quantile regression；asymptotic normality；fixed－effects；panel data model

book=28,ebook=47

O212．7

A

1007－3116（2012）06－0028－05

（責(zé)任編輯：崔國平）

2011－12－04

教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目《非線性粘性Boussinesq系統(tǒng)的適應(yīng)性與數(shù)值解研究》（109140）

呂秀梅，女，四川德陽人，經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，講師，研究方向：金融計(jì)量，經(jīng)濟(jì)模型識別。