可變模糊理論與模糊粗糙集在地下水污染評估中的應(yīng)用

馬 榮，石建省，劉繼朝

中國地質(zhì)科學(xué)院水文地質(zhì)環(huán)境地質(zhì)研究所，石家莊 050061

可變模糊理論與模糊粗糙集在地下水污染評估中的應(yīng)用

馬 榮，石建省，劉繼朝

中國地質(zhì)科學(xué)院水文地質(zhì)環(huán)境地質(zhì)研究所，石家莊 050061

傳統(tǒng)的地下水污染評估方法需檢測多項(xiàng)地下水化學(xué)變量，成本較高且無法考慮水質(zhì)指標(biāo)區(qū)間量值的影響。為此，筆者利用可變模糊理論對地下水污染進(jìn)行綜合評估，在此基礎(chǔ)上通過模糊粗糙集理論挖掘關(guān)鍵變量，并利用生成的最小決策規(guī)則庫對樣品點(diǎn)的污染綜合指數(shù)進(jìn)行預(yù)測。將該方法應(yīng)用于洛陽盆地，對其有效性進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果表明：As、Hg、Se、I、NH3－N對研究區(qū)地下水污染分類起控制作用。通過與實(shí)測的13種化學(xué)變量所計(jì)算的地下水污染綜合指數(shù)相比，測試數(shù)據(jù)中7組樣品的相對誤差為0.104 0～0.172 5；剩余15組樣品的相對誤差為0.001 5～0.093 7，基本滿足地下水污染評估的要求?？勺兡：c模糊粗糙集理論能夠通過較少的化學(xué)變量對污染綜合指數(shù)進(jìn)行預(yù)測，從而降低地下水污染評估成本，為后續(xù)的地下水污染控制與修復(fù)提供可靠的數(shù)據(jù)來源。

地下水；化學(xué)變量；污染；模糊；誤差

0 引言

近年來，地下水污染問題已引起人們的普遍關(guān)注，國內(nèi)外許多學(xué)者對污染物在地下水中的運(yùn)移［1－3］、控制和修復(fù)［4－8］等進(jìn)行了大量研究。但上述研究均是建立在研究人員對地下水污染狀況有著深刻認(rèn)識基礎(chǔ)之上的，如果沒有大量實(shí)測的地下水化學(xué)變量數(shù)據(jù)，關(guān)于地下水污染研究的成果也難以令人滿意［9］；故在理論上應(yīng)該對地下水體的所有化學(xué)組分進(jìn)行檢測，綜合評定地下水的總體污染效果。但對某一地區(qū)而言，污染物往往集中在一項(xiàng)或幾項(xiàng)指標(biāo)上，如果對所有元素進(jìn)行系統(tǒng)的測試與分析，不但浪費(fèi)不必要的人力和物力，且使研究人員在后續(xù)的地下水污染防治中面臨眾多化學(xué)變量，從而增加計(jì)算量，有時(shí)甚至?xí)挂恍┙?jīng)典數(shù)值計(jì)算方法（如遺傳算法和模擬退火算法等）的解在局部無法收斂［10－12］。

通過模糊粗糙集來挖掘?qū)Φ叵滤廴痉诸惼痍P(guān)鍵作用的化學(xué)變量，刪除冗余屬性，降低污染監(jiān)測和計(jì)算成本，對地下水污染評估研究有重要意義。Dubois等［13］的研究表明，決策屬性對于模糊粗糙集屬性約簡效率有重要影響，在本次研究中決策屬性即為地下水污染綜合指數(shù)。在地下水污染評估時(shí)，《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》［14］是重要的評估依據(jù)，但其對于各個(gè)化學(xué)變量的水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)為區(qū)間形式的量值；而在傳統(tǒng)的模糊綜合評價(jià)中，模糊子集的隸屬函數(shù)形式由研究人員選擇確定，一般采用較簡單的對稱線性分布，如梯形、三角形和專家打分等，其分布函數(shù)所表示的隸屬度都是論域中的變量隸屬于某一化學(xué)變量標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的隸屬度［15］，無法考慮水質(zhì)指標(biāo)區(qū)間形式的量值。因此應(yīng)用現(xiàn)有的模糊子集分布函數(shù)來進(jìn)行模糊綜合評價(jià)是不合適的，需要研究一種基于標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間值模糊子集分布函數(shù)的模糊評價(jià)方法。

基于以上原因，利用可變模糊理論對地下水污染進(jìn)行綜合評價(jià)，作為模糊粗糙集的決策屬性?？勺兡：碚摰囊肽軌蛟诘叵滤廴驹u估中充分利用地下水分類指標(biāo)區(qū)間形式的量值來對地下水污染進(jìn)行分類，建立關(guān)于各個(gè)不同區(qū)間相對隸屬度的概念；該理論克服了傳統(tǒng)隸屬度在確定過程中基于某一標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)所建立的缺陷，在考慮多個(gè)水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間的基礎(chǔ)上對地下水污染進(jìn)行綜合評估。模糊粗糙集能夠分析隱藏在數(shù)據(jù)中的事實(shí)而不需要關(guān)于數(shù)據(jù)的任何附加信息，具有較好的客觀性和實(shí)用性等特點(diǎn)［16］，故在建立相對隸屬度矩陣的基礎(chǔ)上可利用其在地下水化學(xué)變量和污染綜合指數(shù)間建立最小決策規(guī)則庫，挖掘出對地下水污染綜合指數(shù)起控制作用的關(guān)鍵因子。地下水化學(xué)變量中關(guān)鍵因子的挖掘不僅可以顯著減少地下水污染評估成本，且能夠降低后續(xù)地下水污染控制與修復(fù)的計(jì)算成本。

1 理論方法

1.1 可變模糊理論

可變模糊集理論是建立在工程模糊集理論基礎(chǔ)之上的，是一個(gè)比較系統(tǒng)的可變模糊集體系［17］。設(shè)論域U為研究區(qū)所有地下水樣品的集合，模糊概念表示《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》［14］中某一水質(zhì)分類等級。對U中的任意地下水樣u，其在相對隸屬函數(shù)的連續(xù)數(shù)軸任意點(diǎn)上對表示吸引性質(zhì)A的相對隸屬度為對表示排斥性質(zhì)的槇相對隸屬度為

式中：i＝1，2，…，m，m為地下水水質(zhì)評價(jià)指標(biāo)數(shù)；r＝1，2，…，C；C為地下水水質(zhì)的分類等級。點(diǎn)值矩陣Mir選取在區(qū)間［air，bir］中樣品點(diǎn)相對于第r分類其隸屬度等于1的值。

x為X區(qū)間內(nèi)任意采樣點(diǎn)評價(jià)指標(biāo)的濃度值，則x落入M點(diǎn)左側(cè)時(shí)的相對差異函數(shù)模型為x落入M點(diǎn)右側(cè)時(shí)的相對差異函數(shù)模型為

公式（5）－（7）中，β為非負(fù)指數(shù)。為了得到各指標(biāo)的綜合相對隸屬度，應(yīng)用如下公式構(gòu)建可變模糊評價(jià)模型：

式中：uhj為綜合隸屬度；wi為指標(biāo)權(quán)重；p為聚類參數(shù)；k為模型優(yōu)化準(zhǔn)則參數(shù)，k＝1時(shí)優(yōu)化準(zhǔn)則為加權(quán)最小一乘方準(zhǔn)則，k＝2時(shí)優(yōu)化準(zhǔn)則為最小二乘方準(zhǔn)則。公式中參數(shù)k和p可有4種組合：（k，p）＝｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，在計(jì)算過程中，可以通過改變參數(shù)k和p進(jìn)行模糊綜合評判，以獲得穩(wěn)定的評價(jià)結(jié)果。

1.2 模糊粗糙集

在模糊粗糙集中，由于引入了模糊集合理論，條件屬性和決策屬性都可以是模糊的，屬性對應(yīng)的是相似關(guān)系，連續(xù)值屬性的離散化過程被屬性模糊化過程所代替，也就是將實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的隸屬度，因此能更客觀地表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的模糊性和隨機(jī)性［18］。模糊粗糙集屬性約簡方法在于把對象抽象成為一個(gè)模糊信息系統(tǒng)，表示為FIS＝（U，T，E，V，f）。其中：U＝｛x1，x2，x3，…，xn｝，是n個(gè)對象的非空有限集合，稱為論域，xi＝（hi1，hi2，…，hiq）；T＝｛T1，T2，…，Tq｝，是一組模糊條件屬性，q為條件屬性個(gè)數(shù)，屬性Ti可表示為g個(gè)模糊語言項(xiàng)的集合FLTi＝｛ti1，ti2，…，tij，…，tig｝（1≤i≤q；1≤j≤g）；E是一組模糊決策屬性，可表示為s個(gè)模糊語言項(xiàng)的集合FLE＝｛e1，e2，…，es｝；T和E均是U上的模糊劃分［19］，如公式（11）、（12）所示；，其中VTi（1≤i≤q）為屬性集合的值域；f：U×T→為信息函數(shù)

其中：tkij（1≤i≤q；1≤j≤g；1≤k≤n）為條件屬性隸屬度；e（k）l（1≤l≤s；1≤k≤n）為決策屬性隸屬度［20］。

設(shè)屬性集T下的模糊等價(jià)關(guān)系為RT，屬性集Q下的模糊等價(jià)關(guān)系為RQ，則屬性集Q相對屬性集T的條件熵定義為

2 實(shí)例分析

在利用可變模糊理論耦合模糊粗糙集挖掘?qū)Φ叵滤廴酒鹂刂谱饔玫幕瘜W(xué)變量過程中，主要包括以下3個(gè)步驟：1）利用可變模糊理論對收集到的302組地下水化學(xué)樣品進(jìn)行模糊綜合評價(jià)，并根據(jù)其綜合指數(shù)進(jìn)行污染等級分類，即模糊粗糙集的決策屬性離散化；2）利用模糊粗糙集理論中的信息熵約簡算法挖掘?qū)Φ叵滤廴痉诸惼鹂刂谱饔玫幕瘜W(xué)變量，從而在地下水化學(xué)變量與污染綜合指數(shù)間建立決策規(guī)則庫；3）根據(jù)訓(xùn)練好的決策規(guī)則庫對測試數(shù)據(jù)的地下水污染綜合指數(shù)進(jìn)行預(yù)測，并對其進(jìn)行誤差分析，來驗(yàn)證本文所提出的新方法的有效性。

2.1 研究區(qū)概況

洛陽盆地總面積達(dá)5 360km2，地勢西高東低，南北高中間低，由中心至周邊，地形逐次升高，且整體由西向東傾斜。伊洛河沖積平原區(qū)淺層地下水埋藏淺，水量豐富，洛陽及鄭州市生活及工農(nóng)業(yè)用水多以開采盆地內(nèi)淺層地下水為主。研究區(qū)共采集了淺層地下水樣品302組（圖1），檢測了28項(xiàng)地下水化學(xué)變量，其中包括Mn、Fe、Cu、Zn、Ba、K、Ni、Be、Co、Cd、Pb、As、Hg、Se、NO3、F、Mo、Cl、NO2、CN、Cr、PO4、I、NH3－N、化學(xué)需氧量（chemical oxygen demand，COD）、溶解性總固體（total dissolved solids，TDS）的質(zhì)量濃度，總硬度（total hardness，TH）和pH。所有樣品均由中國地質(zhì)科學(xué)院水文地質(zhì)測試中心完成。在本次研究中，樣品的采集與測試是進(jìn)行分析研究的關(guān)鍵，根據(jù)研究區(qū)的實(shí)際情況，依據(jù)《地下水污染調(diào)查評價(jià)規(guī)范》［22］和美國環(huán)境保護(hù)局的《地下水水樣采集要求》［23］制定了污染物分析水樣的采集、保存和送檢技術(shù)要求。其中電導(dǎo)率（electrical conductivity，EC）、溫度和pH均在現(xiàn)場測試完成，原水樣均用2.5L聚乙烯塑料瓶裝樣，體積達(dá)到容器的99%，不加保護(hù)劑。為保證最終檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性與有效性，在所有的采樣點(diǎn)每次均取2個(gè)樣品進(jìn)行測試研究。

2.2 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

本次研究共采集302組淺層地下水化學(xué)樣品，檢測28項(xiàng)化學(xué)變量，但由于Mn、Cu和K等離子的質(zhì)量濃度遠(yuǎn)低于《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》［14］中的二類水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)，且其在整個(gè)研究區(qū)的質(zhì)量濃度分布較為均一，對地下水污染分類無明顯影響，故在本文中只選取Ba、As、Hg、Se、NO3、F、COD、I、TH、TDS、NH3－N、pH和Fe離子13種化學(xué)變量作為模糊粗糙集的條件屬性集；通過可變模糊理論對302組水化學(xué)樣品進(jìn)行綜合評價(jià)，并根據(jù)其污染綜合指數(shù)進(jìn)行分類，作為模糊粗糙集的決策屬性。在此基礎(chǔ)上，將收集到的地下水化學(xué)樣品分為2組：選取其中的280組樣品為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，構(gòu)建決策規(guī)則庫；將剩余的22組樣品作為測試數(shù)據(jù)，利用其對決策規(guī)則庫進(jìn)行檢測，來驗(yàn)證該方法的有效性。

2.3 地下水污染綜合評價(jià)

對研究區(qū)302組地下水化學(xué)樣品進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并結(jié)合《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》［14］，利用可變模糊理論對樣品點(diǎn)進(jìn)行綜合評價(jià)，詳細(xì)計(jì)算過程如下：

1）根據(jù)式（1）－（3）建立地下水污染評價(jià)可變集合的吸引域矩陣lab、范圍域矩陣lcd（表1，2）以及點(diǎn)

2）利用lab、lcd和Mir判斷樣本特征值xij在M點(diǎn)的左側(cè)還是右側(cè)，據(jù)此選擇公式（5）、（6）或公式（7）、（8）計(jì)算水質(zhì)樣本對每個(gè)指標(biāo)的相對差異度和相對隸屬度，并利用熵權(quán)法［25］求得上述13個(gè)化學(xué)變量的權(quán)值：

圖1 研究區(qū)及采樣分布圖Fig.1 Study area and sample location

wi＝｛0.070 0，0.070 7，0.071 1，0.084 1，0.075 7，0.070 9，0.069 8，0.090 0，0.069 8，0.070 6，0.103 2，0.068 2，0.085 9｝，由公式（10），分別采用｛k＝1，p＝1；k＝1，p＝2；k＝2，p＝1；k＝2，p＝2｝4種參數(shù)變換模型計(jì)算各個(gè)樣品的地下水污染綜合指數(shù)，結(jié)合洛陽盆地水文地質(zhì)條件與水化學(xué)背景對綜合指數(shù)進(jìn)行分類，為模糊粗糙集提供決策屬性（表3）。

2.4 建立決策規(guī)則庫

在本文所構(gòu)建的模糊信息系統(tǒng)決策表中，條件屬性集為ρ（Ba）、ρ（As）和ρ（Hg）等13種化學(xué)變量；決策屬性集E為地下水污染綜合指數(shù)。其中條件屬性為模糊值，取值｛μ11，μ12｝表示達(dá)到第Ⅲ類水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)的隸屬度為μ11，未達(dá)到第Ⅲ類水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)的隸屬度為μ12，依次建立13種地下水化學(xué)變量的模糊值。

在建立模糊信息系統(tǒng)決策表的基礎(chǔ)上，利用信息熵求取該決策表的最小屬性約簡，挖掘?qū)ρ芯繀^(qū)地下水污染分類起控制作用的化學(xué)變量，具體的計(jì)算過程如下。

1）對每條屬性利用Extended Jaccarad量度計(jì)算對象間的模糊相似度，從而建立模糊相似矩陣［26］，在此基礎(chǔ)上利用傳遞閉包法計(jì)算出各個(gè)條件屬性的模糊等價(jià)矩陣。

2）令y＝T，根據(jù)公式（13）計(jì)算條件屬性集y相對決策屬性集E的信息熵：H（RE｜Ry）＝1.994 4。

3）對條件屬性集中每一條屬性Ti（i＝1，2，…，13），計(jì)算其相對決策屬性E的條件信息熵：

4）若H（RE｜Ry）＝H（RE｜Ry＼Ti），說明屬性Ti相對決策屬性E是不必要的，刪除屬性Ti所在的列，并將重復(fù)的行進(jìn)行合并，且令y＝y(tǒng)＼Ti。

5）重復(fù)步驟3），直到條件屬性集合不再發(fā)生變化為止，求得本次研究的模糊信息系統(tǒng)決策表的最小約簡為｛ρ（As），ρ（Hg），ρ（Se），ρ（I），ρ（NH3－N）｝，由上述5種化學(xué)變量歸納出的規(guī)則即為地下水污染分類的決策規(guī)則庫（表4）。

表3 地下水污染綜合評價(jià)結(jié)果Table 3 Comprehensive evaluation results of groundwater pollution

2.5 規(guī)則測試

將測試數(shù)據(jù)中的22組水質(zhì)分析樣品帶入上述的決策規(guī)則集中預(yù)測其相對應(yīng)的污染綜合指數(shù)。在本次計(jì)算中，共獲取265條決策規(guī)則，為了能夠在預(yù)測過程中充分應(yīng)用所有的決策規(guī)則，利用模糊推理技術(shù)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測［27］。以測試數(shù)據(jù)集中1號樣品為例，其具體的計(jì)算過程如下。

表4 地下水污染決策規(guī)則庫Table 4 Decision rule database of groundwater pollution

式中：vi（i＝1，2，…，22）為測試數(shù)據(jù)；zj（j＝1，2，…，265）為模糊粗糙集的決策規(guī)則；n為參與計(jì)算的5個(gè)化學(xué)變量；wk為各化學(xué)變量的權(quán)重，在本文中，主要根據(jù)其在模糊粗糙集中相對于決策屬性E的信息熵計(jì)算而得。

2）在求得1號樣品點(diǎn)與各決策規(guī)則貼近度的基礎(chǔ)上，將其作為權(quán)系數(shù)，帶入公式（15）即可求得樣品點(diǎn)處的地下水污染綜合指數(shù)：1）利用公式（14）計(jì)算出1號樣品與上述最小決策規(guī)則庫中各規(guī)則的海明貼近度：

式中：i＝1，2，…，22為測試樣品號；Ej（j＝1，2，…，265）為各決策規(guī)則所對應(yīng)的污染綜合指數(shù)。

根據(jù)此方法即可求出測試數(shù)據(jù)中22組地下水樣品的污染綜合指數(shù)（表5）。

表5 測試數(shù)據(jù)中地下水污染綜合指數(shù)Table 5 Prediction value of groundwater pollution synthetic index in testing data

通過可變模糊理論對洛陽盆地地下水污染進(jìn)行綜合評價(jià)，污染綜合指數(shù)為1.521 7～3.606 7（表3中省略了部分?jǐn)?shù)據(jù)），其中洛陽市澗西區(qū)地下水污染綜合指數(shù)較高，這主要是由于該區(qū)集中了洛陽市主要的工礦企業(yè)，污染較為嚴(yán)重；這表明可變模糊理論能夠真實(shí)刻畫地下水污染狀況。在此基礎(chǔ)上利用模糊粗糙集理論，挖掘?qū)ρ芯繀^(qū)地下水污染分類起控制作用的5個(gè)化學(xué)變量（ρ（As）、ρ（Hg）、ρ（Se）、ρ（I）、ρ（NH3－N）），并構(gòu)建出265條決策規(guī)則，通過上述的最小決策規(guī)則對測試數(shù)據(jù)集中地下水化學(xué)樣品的綜合指數(shù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測值為1.557 9～3.916 6；通過與實(shí)測的13種化學(xué)變量所計(jì)算的地下水污染綜合指數(shù)相比，其中7組樣品（1、2、5、7、8、11、15、22）的相對誤差為0.104 0～0.183 9，剩余15組樣品的相對誤差為0.001 5～0.093 7（表5），計(jì)算結(jié)果基本令人滿意。故基于可變模糊集與模糊粗糙集理論可以應(yīng)用于實(shí)際的地下水污染評估。

3 結(jié)論

1）將可變模糊理論應(yīng)用于洛陽盆地地下水污染綜合評估中，通過相對隸屬度函數(shù)的引入，在評估過程中充分考慮不同水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間量值的影響，從而使得地下水污染評估更加科學(xué)與準(zhǔn)確，為后續(xù)的模糊粗糙集理論提供良好的決策屬性，在一定程度上保證了本次研究具有較高的計(jì)算精度。

2）地下水污染綜合評估是后續(xù)地下水污染運(yùn)移、控制與修復(fù)研究的基礎(chǔ)，通過模糊粗糙集理論，只需檢測洛陽盆地地下水中5種化學(xué)變量即可求得任意點(diǎn)處的污染綜合指數(shù)；這極大地降低了地下水污染評估成本，使研究人員能夠在有限的時(shí)間與資金內(nèi)獲取更多的監(jiān)測數(shù)據(jù)，從而為后續(xù)的污染研究提供可靠的數(shù)據(jù)支撐。

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Application of Variable Fuzzy Set Theory and Fuzzy－Rough Set to Groundwater Pollution Assessment

Ma Rong，Shi Jian－sheng，Liu Ji－chao

The Institute of Hydrogeology and Environmental Geology，Shijiazhuang 050061，China

Many hydrochemical variables were required to test in tradition methods in order to assess groundwater pollution，the cost was higher.More importantly，these methods could not consider the effect of interval water quality target limit on synthesis assessment.A new method was introduced in this paper：first the variable fuzzy set theory was employed to assess groundwater pollution；and then application of fuzzy rough set to evacuate critical variable，the min－decision rules were used to forecast groundwater pollution synthesis index，which was yield by fuzzy－rough set.This method was applied in Luoyang basin to evaluate its validity，the result indicated：there were five hydrochemical variables（As，Hg，Se，I，NH3－N）played a controlled role in groundwater pollution classification.In testing data，7 groups of samples＇relative error was 0.104 0－0.172 5；the surplus 15groups samples’relative error was 0.001 5－0.093 7.Therefore，the groundwater pollution synthesis index could be predicted by variable fuzzy sets and fuzzy－rough set theory according to the above five hydrochemical variables，which could make the monitoring cost decrease and provide reliable data source for groundwater pollution control andremediation.

groundwater；hydrochemical variable；pollution；fuzzy；errors

book=2012,ebook=541

P641

A

1671－5888（2012） 04－1130－09

2011－10－25

國家“973”計(jì)劃項(xiàng)目（2010CB428800）

馬榮（1982－），男，博士，主要從事地下水污染方面的研究，E－mail：margroundwater＠gmail.com

石建?。?962－），男，研究員，主要從事水文地質(zhì)評價(jià)方面的研究，E－mail：tiger7886＠263.net。