Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子和應(yīng)變能釋放率的關(guān)系

劉夢和，王向東，邵 兵

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098)

斷裂力學(xué)是以含裂縫構(gòu)件為研究對象，分析在各種外界因素(荷載、腐蝕和溫變等)作用下裂縫穩(wěn)定擴(kuò)展或失穩(wěn)擴(kuò)展的規(guī)律，研究含裂縫構(gòu)件安全性的學(xué)科［1］。目前在線彈性范圍內(nèi)，對裂縫的安全性評估主要采用應(yīng)力強(qiáng)度因子K和應(yīng)變能釋放率G兩個(gè)物理量。

實(shí)際工程中，評價(jià)大壩等結(jié)構(gòu)中裂縫的安全性時(shí)，K及其判據(jù)［2-3］廣泛應(yīng)用于裂縫的穩(wěn)定性分析。鄧愛民等［4］對混凝土進(jìn)行拉剪斷裂試驗(yàn)，得到了考慮斷裂過程區(qū)的Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫的斷裂K判據(jù)。近十幾年來，饒秋華等［5-8］一直著力于研究混凝土和巖石等多種材料的斷裂參數(shù)，得到了它們的Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂縫的斷裂韌度及相應(yīng)的測試方法。

在線彈性斷裂力學(xué)中，對單一型裂縫的K與G的關(guān)系已有完善的研究和相應(yīng)的理論公式［9］;對復(fù)合型裂縫的K與G的關(guān)系研究在國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)中很少見到。而在實(shí)際工程中，大部分裂縫都是復(fù)合型裂縫，僅將單一型裂縫的應(yīng)變能釋放率疊加得到復(fù)合型裂縫的G，不能很好地反映各單一型裂縫對復(fù)合型裂縫結(jié)果的影響。因此，有必要從理論上對復(fù)合型裂縫K和G的關(guān)系進(jìn)行研究，并在此關(guān)系基礎(chǔ)上建立復(fù)合型裂縫的斷裂G判據(jù)，以此更好地評價(jià)工程結(jié)構(gòu)中裂縫的穩(wěn)定性。

Jones等［10－12］認(rèn)為結(jié)構(gòu)的復(fù)合型裂縫問題可簡化為平面裂縫問題，有利于進(jìn)行理論分析及有限元、邊界元模擬分析。因此，本文采用平面板裂縫模型，從線彈性斷裂力學(xué)理論的能量法入手，以單一型裂縫K與G的關(guān)系為基礎(chǔ)，指導(dǎo)Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫的K與G的關(guān)系，并應(yīng)用有限元模擬計(jì)算對所得公式進(jìn)行驗(yàn)證。

1 Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫K與G關(guān)系公式的理論推導(dǎo)

Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫的G，并不是將Ⅰ型和Ⅱ型裂縫的G簡單疊加。Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫的K與G的關(guān)系，可以按照裂縫閉合單位面積所做的功等于裂縫擴(kuò)展單位面積所釋放的能量的方法進(jìn)行研究。

Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫閉合單位面積所做的總功等于Ⅰ型和Ⅱ型裂縫閉合單位面積所做功的和。根據(jù)材料力學(xué)中功的互等原理，采用先加載正應(yīng)力σ、再加載剪應(yīng)力τ的方法計(jì)算總內(nèi)力功ΔU，與采用先加載剪應(yīng)力τ、再加載正應(yīng)力σ的方法計(jì)算結(jié)果相同。本文采用第一種加載方式，如圖1所示，假設(shè)原半長為a的裂縫，在正應(yīng)力 σ的單獨(dú)作用下，擴(kuò)展微小長度Δa，擴(kuò)展角為0°;在剪應(yīng)力τ的單獨(dú)作用下，擴(kuò)展微小長度Δb，擴(kuò)展角為 θ;在先加正應(yīng)力σ、再加剪應(yīng)力τ的作用下將擴(kuò)展微小長度 Δc，擴(kuò)展角為θ0。在線彈性情況下，Δa和Δb可合成為Δc。

圖1 Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫擴(kuò)展方向

通過對Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫的加荷載過程分析，在線彈性范圍內(nèi)，Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫的總功ΔU的計(jì)算與加載順序無關(guān)。因此可先分別計(jì)算正應(yīng)力σ單獨(dú)作用下裂縫擴(kuò)展所做的功 ΔUⅠ及剪應(yīng)力 τ單獨(dú)作用下裂縫擴(kuò)展所做的功ΔUⅡ，再計(jì)算Ⅰ型和Ⅱ型裂縫的應(yīng)力場在Ⅱ型和Ⅰ型裂縫的位移場上所做的功ΔUⅠ，Ⅱ，三者的總和即為Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫在正應(yīng)力σ及剪應(yīng)力τ共同作用下的總功ΔU。

式中:B為板的厚度;u和v分別是x和y方向的位移分量;σx，σy，，τxy為應(yīng)力分量;E′為彈性系數(shù)，平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，E′=E/(1－ν2)，平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，E′=E，其中E為彈性模量，ν為泊松比;KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型裂縫的應(yīng)力強(qiáng)度因子;a12為與泊松比ν有關(guān)的量。

Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫擴(kuò)展所做總功為

裂縫擴(kuò)展面積ΔA=BΔc，由三角形正弦定理簡化得Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫的應(yīng)變能釋放率GⅠ－Ⅱ?yàn)?/p>

圖2是KⅠ不同時(shí)，GⅠ－Ⅱ與KⅡ的關(guān)系。從圖2中可以看出，KⅠ一定時(shí)，GⅠ－Ⅱ隨著KⅡ的增大而增大，GⅠ－Ⅱ近似為KⅡ的二次函數(shù)。當(dāng)KⅡ一定時(shí)，GⅠ－Ⅱ也隨著KⅠ的增大而增大，GⅠ－Ⅱ也近似為KⅠ的二次函數(shù)。從式(5)可見，KⅠ和KⅡ這兩個(gè)變量在公式中具有一定的對稱性，即交換KⅠ和KⅡ的次序，并不影響其結(jié)果，這也能驗(yàn)證了G與加載次序無關(guān)的結(jié)論。

圖2 不同 KⅠ時(shí) GⅠ－Ⅱ與 KⅡ的關(guān)系

2 Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫K與G關(guān)系公式的驗(yàn)證

2.1 公式的退化驗(yàn)證

根據(jù)最大應(yīng)力準(zhǔn)則，Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫的擴(kuò)展方向是沿周向應(yīng)力最大的方向，由此可以計(jì)算出Ⅰ型和Ⅱ型裂縫的擴(kuò)展角:Ⅰ型裂縫，KⅡ=0，擴(kuò)展角 θ1=0°;Ⅱ型裂縫，KⅠ=0，擴(kuò)展角 θ2=θ=－70.5°。由式(5)得到K與G的關(guān)系:

式(6)表明式(5)同樣適用于單一型裂縫K與G的關(guān)系。

2.2 公式的有限元驗(yàn)證

以一帶中裂縫的平板為研究對象，應(yīng)用有限元分析軟件Abaqus建立Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫計(jì)算模型。荷載和約束情況如圖3所示，板的底邊x和y方向的位移均約束，在板的上表面加上正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ，兩側(cè)邊加上切應(yīng)力τ，σ=τ=2 MPa。圖4為平板模型有限元網(wǎng)格，模型中裂縫的長度為平板寬度的1/14，半裂縫長a=2.3 cm，材料的彈性模量E=21 GPa，泊松比ν=0.3。圖5為裂縫尖端周圍區(qū)域網(wǎng)格的放大圖，每個(gè)裂縫尖端附近都定義了16個(gè)奇異單元。=0.474 MPa·m1/2，KⅡ=0.427MPa·m1/2代入公式(5)，計(jì)算得到Ⅰ－Ⅱ復(fù)合

圖3 平板荷載及約束情況

圖4 平板模型有限元網(wǎng)格

圖5 裂縫尖端周圍有限元網(wǎng)格

將Abaqus建模計(jì)算所得KⅠ型裂縫的應(yīng)變能釋放率GⅠ－Ⅱ=19.9 N/m，有限元直接計(jì)算出的應(yīng)變能釋放率GⅠ－Ⅱ=19.4 N/m，二者的絕對誤差為0.5N/m，相對誤差為2.5%，小于5%，驗(yàn)證了所推導(dǎo)公式的合理性。

3 結(jié)論

a.通過線彈性斷裂力學(xué)理論推導(dǎo)出Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫K與G的關(guān)系公式，KⅠ和KⅡ這兩個(gè)變量具有對稱性;Ⅰ型和Ⅱ型裂縫產(chǎn)生的GⅠ和GⅡ在Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫產(chǎn)生的GⅠ－Ⅱ中所占比例在公式中得以反映;此外Ⅰ型和Ⅱ型裂縫之間的相互作用產(chǎn)生的應(yīng)變能釋放率在GⅠ－Ⅱ公式中也有所體現(xiàn)。

b.Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫K與G的關(guān)系式可以簡化為單一型裂縫的K與G的關(guān)系式。

c.通過有限元計(jì)算得到的Ⅰ－Ⅱ復(fù)合型裂縫的應(yīng)變能釋放率與公式計(jì)算結(jié)果吻合較好，誤差僅為2.5%，驗(yàn)證了推導(dǎo)公式的合理性。

:

［1］白二雷，許金余，姚煥忠，等.基于斷裂力學(xué)的混凝土裂縫數(shù)值分析［J］.空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，5(2):81-84.

［2］李子陽，李季，向衍.基于三維 J積分的裂紋穩(wěn)定性仿真計(jì)算［J］.水利水電科技進(jìn)展，2010，30(2):1-4.

［3］邵勇，王向東.基于斷裂力學(xué)的高拱壩底縫穩(wěn)定性分析［J］.水電能源科學(xué)，2008，26(5):80-82.

［4］鄧愛民，徐道遠(yuǎn).混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型拉剪斷裂試驗(yàn)研究［J］.河海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，38(4):428-432.

［5］RAO Qiuhua，SUN Z Q，STEPHANSSON O，et al.Shear fracture(mode Ⅱ)of brittle rock［J］.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences，2003，40(3):355-375.

［6］KHAN K，AI-SHAYEA N A.Effect of specimen geometry and testing method on mixed mode Ⅰ-Ⅱ fracture toughness of a limestone rock from Saudi Arabia［J］.Rock Mechanics and Rock Engineering，2000，33(3):179-206.

［7］KRISHNAN G R，ZHAO X L，ZAMAN M，et al.Fracture toughness of a soft sandstone ［J］.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts，1998，35(6):695-710.

［8］孫宗頎，饒秋華，王桂堯.剪切斷裂韌度(KⅡC)確定的研究［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2002，21(2):199-203.

［9］王鐸.斷裂力學(xué)［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)出版社，1989.

［10］JONES R，MOLENT L，PITT S.Study of multi-site damage of fuselage lap joints［J］. Theoretical and Applied Fracture Mechanics，1999，32(1):81-100.

［11］ LUCAS F M，GONCALVES J P，OLIVEIRA F M，et al.Multiple-site damage in riveted lap-joints:experimental simulation and finite element prediction［J］. International Journal of Fatigue，2000，22(4):319-338.

［12］SHIELDS E B.Fracture prediction of hole patterns with multiple cracks using the finite element method［J］.International Journal of Fatigue:Materials Structures，2001，23(1):13-20.