隨機(jī)有限元法在橋梁地震隨機(jī)響應(yīng)分析中的應(yīng)用

陳 兵，廖光明，王遂瀘，龔 鋮，陳思孝

(1.四川大學(xué)建筑與環(huán)境學(xué)院，四川成都 610065;2.四川蜀渝石油建筑安裝工程有限公司，四川成都 610017;3.中國(guó)中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司土木建筑設(shè)計(jì)研究二院，四川成都 610031)

地震作用下橋跨結(jié)構(gòu)響應(yīng)的隨機(jī)性主要源于兩方面:結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性和地震激勵(lì)的隨機(jī)性。對(duì)于確定性線性結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)作用下的響應(yīng)——隨機(jī)振動(dòng)研究，已經(jīng)有了較為成熟的分析方法［1］。在結(jié)構(gòu)參數(shù)靜力分析以及穩(wěn)定性分析的隨機(jī)性響應(yīng)方面，也取得了較大的進(jìn)展［2］。近年來，關(guān)于具有隨機(jī)參數(shù)的結(jié)構(gòu)受隨機(jī)激勵(lì)的動(dòng)力響應(yīng)分析——雙隨機(jī)問題或復(fù)合隨機(jī)問題，日益受到重視，并且逐漸出現(xiàn)了一些研究方法。如Igusa和Kiureghian假定結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)分布概率密度已知，將結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)歸結(jié)為可靠度分析并用近似的方法計(jì)算了概率積分［3］，但該方法較為復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用;Lee和Singh將激勵(lì)的幅值作為隨機(jī)變量，研究了參數(shù)隨機(jī)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)問題［4］，但其激勵(lì)的時(shí)間變化規(guī)律還是確定性的，不能算作通常意義上的隨機(jī)激勵(lì)。

目前理論上較為成熟的隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析方法主要有Monte Carlo隨機(jī)模擬法、隨機(jī)參數(shù)攝動(dòng)法和隨機(jī)有限元方法。Monte Carlo數(shù)值模擬法隨著所取樣本數(shù)的增加，理論上可以達(dá)到任意高的精度，但即使對(duì)于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，也要花費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間，計(jì)算效率比較低，一般用來評(píng)估計(jì)算方法的精度，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中應(yīng)用較少。隨機(jī)參數(shù)攝動(dòng)法是在確定性參數(shù)攝動(dòng)法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，最初用于解決動(dòng)力特征值問題，后來拓展到動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題。隨機(jī)有限元方法是在傳統(tǒng)有限元方法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的隨機(jī)數(shù)值分析方法，是隨機(jī)分析理論與有限元方法相結(jié)合的產(chǎn)物，能較為有效地解決具有隨機(jī)參數(shù)的結(jié)構(gòu)受隨機(jī)激勵(lì)的動(dòng)力響應(yīng)分析問題，在巖土工程、復(fù)合材料、水工非桿系混凝土結(jié)構(gòu)工程設(shè)計(jì)及可靠性分析等領(lǐng)域得到了一些應(yīng)用［5-7］，然而，隨機(jī)有限元法在橋梁等復(fù)雜結(jié)構(gòu)地震隨機(jī)響應(yīng)分析方面的研究和應(yīng)用成果還很少。本文應(yīng)用隨機(jī)有限元方法，采用程序開發(fā)工具C++Builder編制了能分析計(jì)算具有隨機(jī)參數(shù)的橋梁結(jié)構(gòu)在隨機(jī)地震激勵(lì)下的響應(yīng)程序，計(jì)算了一座高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋梁的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)。

1 隨機(jī)有限元方法

采用隨機(jī)有限元方法分析具有隨機(jī)參數(shù)的橋跨結(jié)構(gòu)在隨機(jī)地震激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)，主要涉及到隨機(jī)場(chǎng)的離散和隨機(jī)有限元?jiǎng)恿Ψ匠痰慕⒓扒蠼鈨蓚€(gè)方面的問題。

1.1 隨機(jī)場(chǎng)的離散

1.1.1 局部平均隨機(jī)場(chǎng)

橋梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)不確定性可以用隨空間分布的隨機(jī)場(chǎng)或隨時(shí)間分布的隨機(jī)過程加以描述。隨機(jī)場(chǎng)的空間離散方法主要有:中點(diǎn)離散法、局部平均法、形函數(shù)插值法、最優(yōu)線性估值法、局部積分法等。局部平均法對(duì)原始數(shù)據(jù)要求較低、收斂快、精度較高，是較為常用的隨機(jī)場(chǎng)離散方法［8］。對(duì)于一維和二維的連續(xù)平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)，局部平均理論可以比較方便地描述其隨機(jī)特性，故本文采用局部平均理論和文獻(xiàn)［9］提出的“空間桿系分離隨機(jī)場(chǎng)模型”來離散橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)場(chǎng)。“空間桿系分離隨機(jī)場(chǎng)模型”將空間三維隨機(jī)場(chǎng)簡(jiǎn)化為僅沿桿件長(zhǎng)度方向分布的一維均勻隨機(jī)場(chǎng)，在桿件長(zhǎng)度方向不重合的桿件之間，其隨機(jī)場(chǎng)彼此無關(guān)，相關(guān)函數(shù)可表示為

不同長(zhǎng)度方向桿件的一維隨機(jī)場(chǎng)就構(gòu)成了結(jié)構(gòu)的空間桿系分離隨機(jī)場(chǎng)模型，每個(gè)分離的一維隨機(jī)場(chǎng)都采用局部平均理論描述。

根據(jù)隨機(jī)有限元理論，隨機(jī)變量在任意兩個(gè)長(zhǎng)度分別為Ti和Tj單元上的局部平均隨機(jī)場(chǎng)分別為［10］

這兩個(gè)隨機(jī)場(chǎng)單元的幾何尺寸如圖1所示。

圖1 一維局部平均單元

它們之間的協(xié)方差為

式中，σ2為原隨機(jī)場(chǎng)方差，γ(T)為方差函數(shù)，可按文獻(xiàn)［11］建議的近似公式式(4)計(jì)算

式中，θ為相關(guān)偏度，可按式(5)計(jì)算［12］∞

式中，ρ(τ)為隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)函數(shù)。

1.1.2 有效正交隨機(jī)變量

按局部平均處理的隨機(jī)場(chǎng)的離散化隨機(jī)變量{α}的協(xié)方差矩陣B=［cov(αi，αj)］一般是N×N階滿秩矩陣，計(jì)算量較大，給隨機(jī)分析帶來不便。為了減少計(jì)算量，可以利用隨機(jī)變量的特征正交化方法［10］，將其轉(zhuǎn)換為對(duì)角的方差矩陣Λ =［Var(βi)］，其中{β}為一N維分量互不相關(guān)的構(gòu)造隨機(jī)向量。

由隨機(jī)向量協(xié)方差的性質(zhì)可知，其協(xié)方差矩陣B為對(duì)稱正定陣，因此必然存在一個(gè)正交矩陣Φ，使得B與對(duì)角陣Λ相似

其中Λ的對(duì)角元素為協(xié)方差矩陣B的特征值，Φ的列向量為對(duì)應(yīng)的特征向量。構(gòu)造一個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)向量{β}，使其滿足

式中B'為{β}的近似協(xié)方差矩陣，‖B‖、‖B'‖為協(xié)方差陣B和B'的范數(shù)。給定誤差限δ后，由式(9)迭代即可求出保證計(jì)算精度所需隨機(jī)變量{β}的元素個(gè)數(shù)n。

1.2 隨機(jī)有限元法列式

1.2.1 隨機(jī)有限元?jiǎng)恿Ψ匠?/p>

隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程按隨機(jī)變分原理表示為

式中，ci為對(duì)角陣Λ中對(duì)角元素，也就是協(xié)方差矩陣B的特征值。則{α}與{β}的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為

用相互獨(dú)立的隨機(jī)向量{β}代替{α}后，隨機(jī)有限元的計(jì)算量將大為降低。實(shí)際上，只要取{β}中部分分量就可以近似表征 {α}。用{β}=(β1，β2，…，βn)近似替代 {α}=(α1，α2，…，αN)(n ＜ N)后，協(xié)方差矩陣的誤差可用式(1)估計(jì)

求解方程(11)～(13)，即可得出結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)具有二階精度的均值為［·］i表示對(duì)隨機(jī)變量βi求偏導(dǎo)數(shù)。

與確定性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程相比，隨機(jī)有限元法多了一階和二階變異方程，零階方程與之相同，且遞推方程等式左邊的矩陣［M］(0)、［C］(0)和［K］(0)與確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程中對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同。

按隨機(jī)有限元方法得出的零階、一階和二階變異方程實(shí)際上已經(jīng)變成確定性的遞推方程組，故可采用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中各種確定性方程的解法求解。對(duì)于多自由度體系，一般用時(shí)域內(nèi)的直接積分法，如Wilson-θ法或頻域內(nèi)的振型疊加法求解。

1.2.2 地震激勵(lì)的隨機(jī)性

在平穩(wěn)隨機(jī)地震作用下，隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程式(10)右端地震激勵(lì)可表示為

式中，{E}為由0和1構(gòu)成的慣性指標(biāo)向量，Ag(t)為地面運(yùn)動(dòng)加速度。因此，隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的各階荷載項(xiàng)為

具有一階精度的方差為

式(11)～(15)中，［·］(0)、［·］(1)及［·］(2)分別為對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量{β}的均值處的零階、一階和二階變異量，

將(17)式帶入隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元分析的零階、一階和二階遞推方程的式(11)～式(13)，即可解出隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)具有二階精度的均值和具有一階精度的方差。

2 算例

2.1 方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所運(yùn)用理論及編制程序的正確性和有效性，分別采用隨機(jī)有限元法和Monte Carlo方法計(jì)算了圖2所示具有隨機(jī)參數(shù)的懸臂梁在隨機(jī)地震激勵(lì)下的響應(yīng)。懸臂梁長(zhǎng)L=1.0m，橫截面積A=1×10-4m2，扭轉(zhuǎn)慣矩J=1.41×10-7m4，彎曲慣矩Iy=Iz=8.3×10-6m4，彈性模量 E=2.1×1011Pa，泊松比 μ=0.3，隨機(jī)質(zhì)量密度ρ=7 800 kg/m3，假定服從高斯分布，變異系數(shù)為0.1，地震激勵(lì)時(shí)程為El Centro波，加速度峰值0.5g，加速度放大系數(shù)的變異系數(shù)0.1。采用Monte Carlo的Latin Hypercube抽樣方法，樣本數(shù)為2 000，時(shí)間步長(zhǎng)0.02 s。隨機(jī)有限元局部平均單元取10個(gè)，有效隨機(jī)變量5個(gè)，各階遞推方程采用Wilson-θ求解。懸臂端11號(hào)節(jié)點(diǎn)在0～1 s時(shí)間內(nèi)y方向位移響應(yīng)的均值計(jì)算結(jié)果見圖3。

從圖3可以看出，隨機(jī)有限元方法的計(jì)算結(jié)果與Monte Carlo方法結(jié)果吻合得較好，說明本文編制的隨機(jī)有限元程序是正確的。

2.2 應(yīng)用實(shí)例

襄渝鐵路增建二線牛角坪雙線特大橋(圖4)，是目前國(guó)內(nèi)跨度最大的預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)鐵路橋，其孔跨布置為(118+192+118)m，僅次于世界最大跨度的葡萄牙坡托橋(主跨250m)。主要材料參數(shù)為［14］:梁體混凝土強(qiáng)度等級(jí) C55，彈性模量3.6×104MPa，重度26.5 kN/m3;空心墩混凝土強(qiáng)度等級(jí)C35，彈模3.3×104MPa，重度25.0 kN/m3，巖石地基為弱風(fēng)化凝灰質(zhì)砂巖，線路設(shè)備及道砟自重等二期恒載取130 kN/m。該橋位于Ⅵ度地震區(qū)，設(shè)計(jì)地震動(dòng)峰值加速度為0.05g，g為重力加速度。本文采用Hollywood Storage地震時(shí)程記錄，其動(dòng)峰值加速度0.059 2g(圖5)。橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性考慮了主梁截面積、混凝土彈性模量、質(zhì)量以及二期恒載重量的不確定性，地震的隨機(jī)性由式(16)計(jì)算。

橋梁中跨跨中平穩(wěn)地震響應(yīng)具有二階精度的均值計(jì)算結(jié)果見圖6和圖7，其余計(jì)算結(jié)果未予列出。

3 結(jié)語(yǔ)

結(jié)構(gòu)參數(shù)和地震激勵(lì)的隨機(jī)變異性對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有很大影響，通常，結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)的變異系數(shù)大致是結(jié)構(gòu)參數(shù)變異系數(shù)的2～4倍，有的文獻(xiàn)給出的算例高達(dá)7倍［15］，橋梁計(jì)算分析中應(yīng)當(dāng)考慮它們的影響。

本文根據(jù)隨機(jī)有限元理論，運(yùn)用程序開發(fā)工具C++Builder編制了能分析計(jì)算具有隨機(jī)參數(shù)的橋梁結(jié)構(gòu)在隨機(jī)地震激勵(lì)下的響應(yīng)程序，并通過Monte Carlo方法驗(yàn)證了程序的正確性。最后，對(duì)一座具有隨機(jī)參數(shù)的高墩大跨連續(xù)剛構(gòu)橋梁在隨機(jī)地震激勵(lì)下的響應(yīng)做了分析，計(jì)算了結(jié)構(gòu)在隨機(jī)地震激勵(lì)下中跨跨中的動(dòng)力響應(yīng)。

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