粉末高速壓制成形密度分布的數(shù)值模擬及影響因素分析

鄭洲順，徐 丹，2，雷湘媛，應(yīng)仁仁，周 文，張夢軒

（1中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計算技術(shù)學(xué)院，長沙410083；2中南大學(xué)商學(xué)院，長沙410083）

粉末高速壓制成形密度分布的數(shù)值模擬及影響因素分析

鄭洲順1，徐 丹1，2，雷湘媛1，應(yīng)仁仁1，周 文1，張夢軒1

（1中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計算技術(shù)學(xué)院，長沙410083；2中南大學(xué)商學(xué)院，長沙410083）

將研究不連續(xù)體力學(xué)行為的離散單元法應(yīng)用于粉末高速壓制致密化過程的研究，將粉末視為黏彈性的離散顆粒，建立粉末高速壓制過程顆粒接觸模型及每個顆粒的基本運(yùn)動方程，推導(dǎo)了力與位移表達(dá)的粉末高速壓制黏彈性本構(gòu)關(guān)系?；赑FC軟件實現(xiàn)了鐵粉高速壓制過程中粉末顆粒二維流動情況及壓坯密度分布的數(shù)值模擬，模擬結(jié)果的密度分布規(guī)律與實際壓制的密度分布規(guī)律較為一致；利用數(shù)值模擬結(jié)果對影響壓坯密度分布的摩擦因數(shù)、高徑比、雙向壓制因素進(jìn)行了具體分析。

高速壓制；離散單元法；PFC；壓坯密度分布

粉末高速壓制技術(shù)是一項低成本、高效率制備高密度粉末冶金零件的新技術(shù)［1－3］，因其具有良好的性價比而備受關(guān)注。在壓制致密化過程中，粉末與粉末、粉末與模壁和模沖之間由于存在著摩擦，使壓制過程中力的傳遞和分布發(fā)生改變。由于壓力分布不均勻，壓坯各個部分的密度和強(qiáng)度分布不均勻，在壓制過程中產(chǎn)生一系列的復(fù)雜現(xiàn)象。目前國內(nèi)外對粉末高速壓制過程的研究多是將粉末視為連續(xù)體［3－5］，與粉末實際的非連續(xù)特性不符。離散單元法（Distinct Element Method，DEM）是研究不連續(xù)體力學(xué)行為的一種數(shù)值方法，該方法在粉末的堆積、流動和壓制等過程的模擬中獲得了成功應(yīng)用［6－9］。本工作將離散單元法應(yīng)用于粉末高速壓制致密化過程的研究，把粉體視為顆粒的集合體，以分析粉末高速壓制過程中微觀顆粒的運(yùn)動特性、單個顆粒行為與粉末集合體宏觀行為的聯(lián)系以及致密化機(jī)理。

1 模型建立

粉末高速壓制成形工藝過程如圖1所示，上模沖與粉末接觸，液壓驅(qū)動的錘頭高速撞擊壓模產(chǎn)生應(yīng)力波，在0．2s左右的時間內(nèi)對粉體進(jìn)行高能錘擊，使其致密化。當(dāng)高能量的沖擊力載入時，粉末顆粒之間形成一定強(qiáng)度的結(jié)合，外力施加的能量絕大部分轉(zhuǎn)變?yōu)樗矔r熱能和應(yīng)變能。顆粒發(fā)生塑性變形甚至局部焊合，最終達(dá)到高度致密化［10］。

圖1 HVC基本原理示意簡圖Fig．1 Basic principle of HVC

1．1 基本假設(shè)

（1）基于二維離散單元法，假設(shè)粉末顆粒為大小不一的圓盤，顆粒單元只存在空間位置的平移或轉(zhuǎn)動；

（2）采用動態(tài)松弛法對顆粒運(yùn)動方程進(jìn)行求解，假設(shè)任一時步內(nèi)速度和加速度不變；

（3）顆粒與顆粒之間的接觸及顆粒與模壁之間的接觸為點接觸，一旦分離，相互間的法向和切向作用力為零；

（4）假設(shè)時間步長足夠小，每一時間步長內(nèi)擾動的傳播都不超過其相鄰單元［11］；

（5）接觸力與重疊量有關(guān)，由力－位移定律確定，重疊量遠(yuǎn)小于顆粒尺寸。

1．2 修正的Hertz－Mindlin軟接觸模型

Hertz－Mindlin模型是基于Mindlin和Deresiewicz（1953）理論建立的近似非線性接觸模型，采用了與法向力有關(guān)的初始剪切模量，用于模擬理想的彈性接觸［8］。簡化Hertz－Mindlin模型只適用于模擬無黏結(jié)、小應(yīng)變、壓縮應(yīng)力的情況［12－15］。本模型綜合考慮摩擦和黏性阻尼等因素，將顆粒與顆粒接觸時的顆粒變形細(xì)節(jié)和接觸力予以簡化，顆粒間的法向作用處理成彈簧和阻尼器，切向作用處理成彈簧、阻尼器和滑動器。彈簧使得形變得以恢復(fù)，而阻尼器和滑動器則消耗顆粒的動能，進(jìn)而表征顆粒碰撞時的形變。

如圖2所示為兩球形顆粒接觸示意圖，兩球的半徑分別為Ri，Rj，質(zhì)量分別為mi，mj，顆粒線速度分別為u·i，u·j，轉(zhuǎn)動速度分別為ωi，ωj，法向重疊量為un，法向剛度系數(shù)為Kn，dn為法相阻尼系數(shù)，對應(yīng)的顆粒j作用在顆粒i上的法向力Fcn可基于Hertz理論計算：其中

－顆粒與顆粒接觸時，R＝質(zhì)量的折合量M對于顆粒與模壁接觸時不存在阻尼項，則R－

。其中，G表示彈性剪切模量，κ表示泊松比。

圖2 兩球形顆粒接觸示意圖Fig．2 Contact relation of spherical powder particles

在切向方向增加滑動器，如果切向彈力Ks｜us｜大于最大靜摩擦力μ｜Fcn｜，以靜摩擦力取代彈力，方向維持原彈力方向，則切向方向的力為：

由此得到接觸本構(gòu)關(guān)系：

其中Mc為單元所受力矩，r＝（rn，rs）T為半徑矢量。在一個時步內(nèi)顆粒間疊加量和接觸力予以更新

其中，ΔFc＝KΔu，F(xiàn)oldc，uoldc是該時步開始時的法向力和疊加量，F(xiàn)newc，unew則是該時步結(jié)束時的接觸力和疊加量。

1．3 運(yùn)動方程

由于作用在單元上的接觸合力∑sFc可以分為彈力部分和阻尼部分，由式（4）可知阻尼部分與單元的線速度u·（t）成正比；同理，作用在單元上的接觸合力矩∑sMc可分為彈力力矩部分和阻尼部分，阻尼力矩可分為彈力力矩部分和阻尼部分，阻尼部分與單元的角速度θ·（t）成正比。根據(jù)牛頓第二定律整理得高速壓制過程粉末顆粒單元i的離散運(yùn)動方程為：

其中，J為單元轉(zhuǎn)動慣量；m為單元質(zhì)量；u，θ分別表示單元的位移和相對于水平位置的轉(zhuǎn)動角度；u··（t），θ··（t）分別表示t時刻單元加速度和轉(zhuǎn)角加速度；Fa，Ma分別為作用在單元上的主動力和主力矩，主動力包括單元所受重力，邊界單元還包括初始載荷；∑sFc，∑sMc分別為作用在單元上的接觸合力和接觸合力矩。

表1 模擬的主要參數(shù)Table 1 The key parameters in numerical simulation

2 粉末高速壓制成形致密化過程數(shù)值模擬

基于上述方程，運(yùn)用離散單元法的計算軟件PFC2D對鐵粉的高速壓制成形粉末顆粒二維流動過程進(jìn)行數(shù)值模擬，用PFC軟件的內(nèi)置命令自動生成14000個半徑均勻分布在0．384mm與0．768mm之間的圓形單元，松散地堆積在高為20cm，寬為10cm的模具內(nèi)，顆粒生成后再運(yùn)用半徑擴(kuò)大法使系統(tǒng)達(dá)到初始密度。根據(jù)剛性凸模壓制金屬粉末的實驗數(shù)據(jù)［16］給出模擬所需的主要參數(shù)見表1。運(yùn)用表1中的參數(shù)進(jìn)行單向壓制數(shù)值模擬，模擬的結(jié)果如圖3，圖3（a）表示壓制過程中14000個粉末顆粒的初始狀態(tài)，從壓制開始到達(dá)到平衡用時約4ms，圖3（b）表示達(dá)到平衡時的最終狀態(tài)。

圖3 壓制過程數(shù)值模擬圖（a）14000個粉末顆粒壓制的初始狀態(tài)；（b）壓制平衡時的最終狀態(tài)Fig．3 Numerical simulation of compaction process（a）space diagram of density distribution in case of unidirectional compaction；（b）platform of density distribution in case of unidirectional compaction

統(tǒng)計壓制平衡狀態(tài)的區(qū)域的密度，并運(yùn)用matlab軟件繪出密度分布等高線圖（圖4），由密度分布圖不難看出，其密度的分布具有一定的規(guī)律：1）從上到下，密度減?。?）中上部分密度最大，上端兩角次之，其他部分再次，下端兩角密度最小；3）左右密度基本對稱分布。根據(jù)黃培云教授的《粉末冶金原理》可知，成形坯的密度分布如圖5所示［17］。由此可以看出，模擬的壓制平衡時區(qū)域密度分布規(guī)律與成形坯密度分布基本相符合，說明該模擬結(jié)果具有可靠性。

圖4 單向壓制區(qū)域密度分布模擬圖Fig．4 Simulation diagram of density distribution in case of unidirectional compaction

圖5 成形坯密度分布［17］Fig．5 The density distribution of compact in engineering application

2．1 摩擦因數(shù)對密度分布的影響

為研究摩擦因數(shù)對密度分布的影響，在數(shù)值模擬過程中，通過改變顆粒間的摩擦因數(shù)及顆粒與模壁的摩擦因數(shù)分別控制壓制過程中的內(nèi)摩擦和外摩擦。表2為不同的摩擦壓制條件下，模擬成形坯的平均密度及標(biāo)準(zhǔn)差，Case1為典型的單向壓制；Case2為內(nèi)外摩擦均可忽略不計的單向壓制；Case3為僅內(nèi)摩擦可忽略不計的單向壓制；Case4為僅外摩擦可忽略不計的單向壓制。

表2 模擬成形坯的平均密度及標(biāo)準(zhǔn)差（g／cm3）Table 2 The average density and standard deviation of the simulated compaction（g／cm3）

圖6為不同的摩擦壓制條件下，模擬成形坯的密度分布比較圖。

圖6 不同摩擦壓制方式下模擬成形坯的密度分布圖Fig．6 Simulation diagram of density distribution in different cases of friction coefficients

Case2：考慮摩擦因數(shù)對壓制的影響，將參數(shù)表1中顆粒間的摩擦因數(shù)和顆粒與模壁的摩擦因數(shù)改為0．001（幾乎沒有摩擦），其他參數(shù)不變，進(jìn)行數(shù)值模擬實驗。實驗過程中，達(dá)到平衡狀態(tài)的時間延長，從4ms左右到10ms左右，產(chǎn)生這種結(jié)果是因為摩擦減少能量的耗散減慢，因而顆粒達(dá)到平衡所需要的時間延長；從壓制的模擬結(jié)果圖6（Case2）來看，與典型的壓制密度分布（Case1）存在明顯差異：密度明顯提高；密度分布較均勻，壓坯上下密度梯度基本消失。Case3：若只減小顆粒與顆粒的摩擦，當(dāng)顆粒間的摩擦因數(shù)為0．001時，結(jié)合表2和圖6來看，壓制后的壓坯密度明顯高于典型單向壓制（Case1），而與除去內(nèi)外摩擦（Case2）基本相當(dāng)，但其密度分布波動略大。Case4：從另一方面，若只減小顆粒與模壁的摩擦，當(dāng)顆粒與模壁的摩擦因數(shù)為0．001時，從得到的模擬結(jié)果來看，壓坯密度較典型的壓制（Case1）并沒有顯著的提高，但壓坯密度從上到下的遞減趨勢消失，密度呈現(xiàn)四周偏低而中間偏高的略微趨勢。

與典型實驗對比，可以說明摩擦力對壓制結(jié)果的影響是顯著的。首先，摩擦力直接影響到壓坯最終密度，在其他參數(shù)相同的情況下，摩擦力越小，得到的壓坯密度越大；其次，摩擦力影響著壓坯密度的分布，摩擦力越小，密度分布越均勻。同時模擬結(jié)果表明，內(nèi)摩擦為影響壓坯密度的主要因素，而外摩擦為影響壓坯密度分布的主要因素。由此可以看出，減小摩擦力對于壓制是十分有利的，不僅可以提高壓坯的密度，而且可以讓得到的壓坯更加均勻，性能更優(yōu)良。

2．2 高徑比對密度分布的影響

考慮高徑比對壓制的影響，將表1中的模具的高徑比2∶1改為高徑比1∶2進(jìn)行壓制模擬實驗，模擬結(jié)果見圖7，可以看出：其分布規(guī)律大致與典型實驗相同，但差異也存在，主要表現(xiàn)在密度的分布上，壓坯密度的標(biāo)準(zhǔn)差為0．0305g／cm3，說明當(dāng)高徑比變小的時候，壓坯密度差別變小了。由此可知，適當(dāng)減小高徑比，同樣可以使得到的壓坯更加均勻。

圖7 高徑比為1∶2時的密度分布圖Fig．7 Density distribution with height－diameter ratio of 1∶2

2．3 雙向壓制對密度分布的影響

考慮雙向壓制的影響，添加下模沖，給下模沖與上模沖等大反向的摩擦力，壓制達(dá)到平衡時的平均密度為6．3154g／cm3，標(biāo)準(zhǔn)差為0．0336g／cm3，而典型的單向壓制達(dá)到平衡時的平均密度為6．3167g／cm3，標(biāo)準(zhǔn)差為0．0387g／cm3。結(jié)合模擬結(jié)果（圖8）可以看出，壓制后壓坯平均密度與單向壓制相似，但密度的分布規(guī)律與普通單向壓力存在較大的差異，由上下向中間遞增，且密度分布的波動明顯小于單向壓制，與減小摩擦的影響類似。同樣可以看到，采用雙向壓制也是提高壓坯性能的可行方法之一，且從實際分析來看，實現(xiàn)雙向壓制比減小摩擦與改變壓坯高徑比相對容易實現(xiàn)。

圖8 單向壓制與雙向壓制密度分布圖Fig．8 Density distribution in cases of unidirectional compaction and two－directional compaction

3 結(jié)論

（1）密度的分布具有從上到下密度減小，中上部分密度最大、上端兩角次之、其他部分再次、下端兩角密度最小，左右密度基本對稱分布的規(guī)律。

（2）減小摩擦力對于壓制是十分有利的，不僅可以提高壓坯的密度，而且可以讓得到的壓坯更加均勻，性能更優(yōu)良。

（3）當(dāng)高徑比變小的時候，壓坯密度差別變小了，適當(dāng)減小高徑比，對壓制也很有利，同樣可以使得到的壓坯更加均勻。

（4）采用雙向壓制也是提高壓坯性能的可行方法之一，且從實際分析來看，實現(xiàn)雙向壓制比減小摩擦與改變壓坯高徑比相對容易實現(xiàn)。

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Numerical Simulation and Influential Factors Analysis of Density Distribution in High Velocity Compaction

ZHENG Zhou－shun1，XU Dan1，2，LEI Xiang－yuan1，YING Ren－ren1，ZHOU Wen1，ZHANG Meng－xuan1
（1 School of Mathematical Science and Computing Technology，Central South University，Changsha 410083，China；2 School of Business，Central South University，Changsha 410083，China）

Discrete element method which is used for studying mechanical behaviors of discontinuance is applied to studying the process of powder densification in high velocity compaction．Considering the powder as viscoelastic discrete particles，the contact model of particle flow and the equation of motion of each particle are established，constitutive model of viscoelastic powder in high velocity compaction described by force－displacement is deduced in detail．Based on computing software PFC for discrete element method，the process of the two－dimensional particle flow and density distribution during high velocity compaction are simulated．The density distribution of numerical simulation results coincide well with experiments in engineering application．The factors which affect the density distribution including friction coefficient，height－diameter ratio and two－directional compaction are analyzed．

high velocity compaction；distinct element method；PFC；density distribution

TG39

A

1001－4381（2012）07－0010－05

國家自然科學(xué)基金（50874123，51174236）；國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃（2011CB606306）；國家大學(xué)生創(chuàng)新實驗項目（LA09040）；中南大學(xué)優(yōu)博扶植基金（2010YBFZ074）；中南大學(xué)研究生創(chuàng)新教育工程（2010ssxt115，2011ssxt139）

2011－10－08；

2012－03－10

鄭洲順（1964－），男，教授，博士生導(dǎo)師，從事偏微分方程數(shù)值解法及其應(yīng)用研究，聯(lián)系地址：湖南省長沙市麓山南路中南大學(xué)南校區(qū)數(shù)學(xué)院（410083），E－mail：zszheng＠m(xù)ail．csu．edu．cn