Clifford代數(shù)Clp，q的冪等元

張桂穎， 紀(jì)云龍， 李武明

0 引 言

Clifford代數(shù)Clp，q是由p＋q維 Minkowski空間Rp，q生成的一類2p＋q維的實(shí)結(jié)合代數(shù)，在數(shù)學(xué)和物理中有諸多應(yīng)用［1－3］。在對(duì) Clp，q理論的研究中，人們注意到可除的Clp，q只有R≌Cl0，0，C≌Cl0，1，H≌Cl0，23種。故此，人們非常關(guān)注非可除的Clp，q的研究。文中的主要結(jié)果有:

1）Clp，q非可除代數(shù)的充分必 要條件是Clp，q有非平凡冪等元；

2）若Clp，q的中心子代數(shù)Cen（Clp，q）有非平凡冪等元，則Clp，q有雙環(huán)結(jié)構(gòu)。

1 Clp，q有非平凡冪等元的等價(jià)命題

Clifford代數(shù)Clp，q的一組基［1－3］為:

且滿足

定義1［1］設(shè)A為域F上代數(shù)，利用A的加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算，在

上定義加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算為:

則A2構(gòu)成環(huán)，稱其為A的雙環(huán)，記為2A。

下面我們把Clp，q中滿足u2＝1，u≠±1的元素u稱為Clp，q的非平凡自逆元。

定理1 設(shè)Clp，q是由p＋q維 Minkowski空間Rp，q生成的Clifford代數(shù)，則有如下等價(jià)命題。

1）Clp，q有非平凡零因子；

2）Clp，q有非平凡冪等元；

3）Clp，q有非平凡自逆元；

4）Clp，q有子代數(shù)同構(gòu)于雙環(huán)2R。

證明

1）?3），Clp，q有非平凡零因子，即Clp，q是非可除的［4－7］，可知p＞0或q＞2。當(dāng)p＞0時(shí)，Clp，q有非平凡自逆元e1，命題成立。當(dāng)p＝0時(shí)，必有q＞2，Clp，q有3次單位向量e123為其非平凡自逆元。

3）?2），設(shè)u是Clp，q的一個(gè)非平凡自逆元，令

即v是Clp，q的非平凡冪等元。

2）?1），設(shè)v是Clp，q的非平凡冪等元［8］，則存在非零元1－v，使得v（1－v）＝0，即Clp，q有非平凡零因子。

3）?4），若Clp，q有非平凡的自逆元u，u2＝1，即u為Clp，q的一個(gè)雙曲虛單位，從而Clp，q有子代數(shù)｛a＋bu｜a，b∈R｝≌H≌2R。

4）?3），若Clp，q有子代數(shù)與雙環(huán)2R 同構(gòu)，即與雙曲數(shù) H＝｛a＋bj｜a，b∈R｝同構(gòu)，從而Clp，q有雙曲虛單位j，即為Clp，q的非平凡自逆元。

2 冪等元與Clp，q的結(jié)構(gòu)

定理2 若Clp，q的中心 Cen（Clp，q）有非平凡冪等元，則 Cen（Clp，q）≌2R，且

即 Cen（Clp，q）與Clp，q均有雙環(huán)結(jié)構(gòu)。

證明 由于Clp，q的中心子代數(shù)只可能同構(gòu)于R，H 與C，而R與C中均無(wú)非平凡冪等元。故 Cen（Clp，q）有非平凡冪等元時(shí)，必有

下證

1）任取a∈Clp，q－1，b∈Cen（Clp，q）有ab＝ba；

2）Clp，q＝Clp，q－1Cen（Clp，q）；

3）dimClp，q＝2p＋q＝2p＋q－1·2＝dimClp，q－1dimCen（Clp，q）故有

當(dāng)q≠0時(shí)，有

同樣可證，當(dāng)q＝0時(shí)，有

推論1 若e

12…（p＋q）

為自逆元，且

則

［1］ Lounesto P.Clifford algebra and spinord［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2001.

［2］ 李武明.Clifford代數(shù)與 Minkowski空間的性質(zhì)［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2000，10（4）:13-16.

［3］ 李武明.Clifford代數(shù)與n維 Minkowski空間的性質(zhì)［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2003，13（4）:29-32.

［4］ 李武明，張慶成.四維雙曲復(fù)空間與Lorentz群［J］.東北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，37（2）:15-17.

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［8］ 紀(jì)云龍，宮莉.關(guān)于廣義冪等矩陣Schur補(bǔ)的函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)［J］.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，28（3）:213-216.