結(jié)構(gòu)分離和參數(shù)分離的灰箱建模

曹柳林，劉華，王晶，吳海燕

(北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100029)

建立準(zhǔn)確的非線性系統(tǒng)模型是實(shí)施基于模型的先進(jìn)控制策略的基礎(chǔ).當(dāng)前，融合機(jī)理建模［1］和黑箱建模［2-3］技術(shù)的灰箱建模方法得到越來(lái)越多的研究，已顯示出很大優(yōu)越性.James S等［4］對(duì)一個(gè)間歇反應(yīng)器進(jìn)行灰箱建模，引入了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)反應(yīng)的反應(yīng)物濃度進(jìn)行了模擬.Chang Jyh-Shyong等［5］模擬間歇反應(yīng)過(guò)程，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)反應(yīng)中難以測(cè)量的狀態(tài)變量.Cao Liulin等［6-7］人使用串聯(lián)、并聯(lián)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)逼近式混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法對(duì)非線性CSTR過(guò)程建模進(jìn)行深入研究.

工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程存在一大類這樣的對(duì)象，如CSTR，它們被廣泛使用，其運(yùn)行的機(jī)理框架(表現(xiàn)為模型的結(jié)構(gòu))基本明晰，而模型參數(shù)因品種各異而未知［8］.傳統(tǒng)的黑箱建模方法無(wú)視這類極其寶貴的先驗(yàn)知識(shí)資源，僅從輸入輸出數(shù)據(jù)中去逼近系統(tǒng).本文提出的建模方法是建立在深入、細(xì)致的分析系統(tǒng)特性的基礎(chǔ)上，充分利用系統(tǒng)的先驗(yàn)知識(shí)，試圖從結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)上逼近原型系統(tǒng)，以提高模型的精度和泛化性能.

1 連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器過(guò)程描述

連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器(continuous stirred tank reactor，CSTR)是化工生產(chǎn)過(guò)程中廣泛常用的一種反應(yīng)器.本文選取一類典型的CSTR作為建模背景［9］，如圖1所示.

反應(yīng)過(guò)程可簡(jiǎn)化為

其中，A和B是反應(yīng)原料，C是反應(yīng)生成物，K是反應(yīng)速率常數(shù).

圖1 CSTR反應(yīng)過(guò)程Fig.1 Reaction process of CSTR

CSTR物料平衡和能量平衡方程為

反應(yīng)速率和Arrhenius方程:

式中:CA、CB是反應(yīng)物A和B的濃度;CC是生成物的濃度，T是反應(yīng)溫度;CAf、CBf是反應(yīng)物A和B的進(jìn)料濃度;Tf是進(jìn)料溫度;Tcf是冷卻劑溫度;q為總進(jìn)料流量;R'是氣體常數(shù).過(guò)程參數(shù)的含義及數(shù)值見(jiàn)表1.

根據(jù)式(1)和(2)，在對(duì)工藝分析的基礎(chǔ)上，選擇CAf、CBf、Tf、Tcf作為模型的輸入變量(操縱變量和擾動(dòng)變量)，CA、CB、CC、T 為狀態(tài)變量(含輸出變量).

在對(duì)上述對(duì)象建模中，假設(shè)其所有變量均為可測(cè)量，表1中的反應(yīng)器體積也為已知量，其余參數(shù)為未知量.

方程(1)和(2)可以代表一大類典型的化學(xué)反應(yīng)過(guò)程，其反應(yīng)機(jī)理基本已知，但反應(yīng)參數(shù)各異且未知，本文針對(duì)這類過(guò)程開(kāi)展建模研究.

建模思路是充分利用系統(tǒng)的先驗(yàn)知識(shí)，最大可能的保留系統(tǒng)的已知結(jié)構(gòu)和參數(shù).

建模過(guò)程分兩階段進(jìn)行，首先針對(duì)非線性部分，辨識(shí)出Arrhenius方程中的未知參數(shù)反應(yīng)活化能E0和指前因子k0，從而計(jì)算出反應(yīng)速率R;其次完成線性部分的參數(shù)辨識(shí).這種兩步法的訓(xùn)練模式迭代運(yùn)行，直至滿足模型精度的要求.

表1 CSTR參數(shù)表Table1 CSTR parameters

2 利用結(jié)構(gòu)分解建立CSTR的灰箱模型

觀察CSTR方程，可知反應(yīng)速率R是方程中唯一的非線性因素.若對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，把R選作系統(tǒng)的輸入，那么這個(gè)非線性系統(tǒng)就可以轉(zhuǎn)變成線性系統(tǒng)，可被線性狀態(tài)方程描述.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和狀態(tài)方程參見(jiàn)圖2和式(3).

圖2 模型結(jié)構(gòu)Fig.2 The structure ofmodel

2.1 利用對(duì)數(shù)變換建立非線性靜態(tài)部分的模型

由于由式(2)所示的反應(yīng)速率及相應(yīng)的Arrhenius方程已被廣泛接受，提出的建模思路是盡可能保留系統(tǒng)的已知結(jié)構(gòu)和參數(shù)，因此與常規(guī)黑箱建模方法不同，這部分模型完全繼承如式(2)所示的方程形式，其中的反應(yīng)活化能E0和指前因子k0需要辨識(shí).

為使用簡(jiǎn)便、有效的最小二乘算法估計(jì)上述參數(shù)，需要對(duì)反應(yīng)速率方程進(jìn)行處理.

方法1 對(duì)數(shù)變換法.

兩邊取對(duì)數(shù):

令則有

根據(jù)工藝常識(shí)的大致數(shù)量級(jí)確定E0和k0的初值，從樣本集中提取適當(dāng)數(shù)目的數(shù)據(jù)組成x(k)，使用遞推最小二乘法將ω=［ω1ω2］辨識(shí)出來(lái)，從而求出反應(yīng)活化能 E0和指前因子 k0，其中，k0=exp(ω1)，E0=R'ω2，進(jìn)而獲得反應(yīng)速率 R.

方法2 泰勒公式法.

利用泰勒級(jí)數(shù)公式對(duì)非線性方程進(jìn)行線性化，使用最小二乘法把未知參數(shù)辨識(shí)出來(lái)，從而求出反應(yīng)速率，此方法在此不再贅述.

2.2 利用參數(shù)分解建立線性動(dòng)態(tài)部分的模型

分析由式(3)描述的線性狀態(tài)方程，可知矩陣中絕大多數(shù)元素為零或已知參數(shù)，如q.V-1和1，僅有2項(xiàng)元素未知.而常用的建模方法，無(wú)論是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還是使用最小二乘的黑箱建模方法，均忽略了這些先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)矩陣的全參數(shù)進(jìn)行辨識(shí).針對(duì)這種缺陷，本文采用參數(shù)分離的做法，固定零元素和已知量，僅對(duì)矩陣中非零的未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，這樣可以大大降低模型的訓(xùn)練時(shí)間，更重要的是可以保證從模型結(jié)構(gòu)上最大可能的逼近原型系統(tǒng)，從而提高模型的可靠性和泛化能力.

因此

利用采集對(duì)象的樣本集和遞推最小二乘算法，可將θ辨識(shí)出來(lái)，再代入式(3)，確立線性部分的模型.

3 建模結(jié)果與對(duì)比

取反應(yīng)物A和B的進(jìn)料流量CAf，CBf以及進(jìn)料溫度Tf、冷卻劑的溫度Tcf為模型的輸入信號(hào)，讓其在取值域內(nèi)隨機(jī)變化.為模擬生產(chǎn)實(shí)際，在輸入變量中分別加入白噪聲信號(hào)，記錄相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)，生成模型的訓(xùn)練樣本集.為使模型的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性都滿足要求，在樣本集中特意增加了表現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的階躍輸入及其響應(yīng)，它與隨機(jī)信號(hào)的比例約為1∶5.

3.1 實(shí)際反應(yīng)速率R與模型數(shù)值比較

為了反映所建模型與實(shí)際原型系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的逼近程度，利用機(jī)理模型R的可計(jì)算性質(zhì)，與2種模型獲取的反應(yīng)速率做了對(duì)比，見(jiàn)圖3．

以下比較中模型誤差采用如式(5)所示的標(biāo)準(zhǔn)誤差公式:

式中:n是樣本總數(shù)．

由圖3可以看出，方法1獲得的反應(yīng)速率R與實(shí)際值十分接近(標(biāo)準(zhǔn)差σ1=0．079 9)，而方法2計(jì)算出的反應(yīng)速率R與實(shí)際值存在一定偏差(標(biāo)準(zhǔn)差σ2=0．171 1)．這是由于方法2使用泰勒公式近似所引起的，而方法1對(duì)Arrhenius方程做了形式上的準(zhǔn)確變換．

3．2 2種灰箱模型與全參數(shù)辨識(shí)灰箱模型比較

為了驗(yàn)證提出的參數(shù)分離建模方法(僅對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí))的泛化精度，與常規(guī)使用的全參數(shù)辨識(shí)的灰箱建模方法(下稱方法3)進(jìn)行對(duì)比(如圖4所示)，同樣使用反應(yīng)速率R作為輸入的結(jié)構(gòu)分離法．

圖4 方法1和方法3模型輸出曲線Fig．4 Output curves of themethod 1 and method 3

由圖4可知，方法1在動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性上都明顯優(yōu)于全參數(shù)辨識(shí)的灰箱模型，尤其是穩(wěn)態(tài)特性．在辨識(shí)濃度C和反應(yīng)溫度T時(shí)，方法3的動(dòng)態(tài)特性也有較大的偏差．方法1充分利用系統(tǒng)的已知信息，不僅從外部的輸入輸出數(shù)據(jù)上捕捉系統(tǒng)的特性，更從內(nèi)部結(jié)構(gòu)上逼近系統(tǒng)的原型，因此能獲得更好的模型精度．根據(jù)式(5)計(jì)算得到3種模型的標(biāo)準(zhǔn)誤差見(jiàn)表2．

表2 3種模型的標(biāo)準(zhǔn)誤差Table 2 The standard errors of the threemodels

由表2可見(jiàn)，方法1的各項(xiàng)誤差都是最小的;在物料A、B的濃度誤差方面，方法3要小于方法2;而物料C濃度和反應(yīng)溫度的誤差，方法2小于方法3．方法1和方法2的誤差分布比較平均，方法3則顯示出較大的波動(dòng)．由此可見(jiàn)，本文提出的灰箱建模方法需要辨識(shí)的參數(shù)大大減少，充分利用了系統(tǒng)的已知信息，在模型的精度和可靠性上都要好于全參數(shù)辨識(shí)的常規(guī)方法．

4 結(jié)束語(yǔ)

以石化工業(yè)中廣泛應(yīng)用的連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器(CSTR)為背景，提出簡(jiǎn)便、有效的兩步法訓(xùn)練的灰箱建模方法．在對(duì)CSTR機(jī)理深入分析的基礎(chǔ)上，充分利用模型結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)知識(shí)，把模型描述為線性動(dòng)態(tài)和非線性靜態(tài)兩部分，實(shí)現(xiàn)模型的結(jié)構(gòu)分解.針對(duì)包含指數(shù)形式(Arrhenius方程)的非線性部分，提出2種數(shù)學(xué)處理方法，把其轉(zhuǎn)化為線性方程，便于簡(jiǎn)捷、快速的求解;充分利用模型參數(shù)的先驗(yàn)知識(shí)，把線性狀態(tài)方程中的已知參數(shù)固定化，僅辨識(shí)未知參數(shù)，實(shí)現(xiàn)模型的參數(shù)分解;通過(guò)上述兩步法訓(xùn)練，建立起典型CSTR的灰箱模型.經(jīng)與常規(guī)建模方法比較，所建模型可以提高建模的精度和可靠性，從內(nèi)部結(jié)構(gòu)上逼近原型系統(tǒng)，并大大縮短模型的訓(xùn)練時(shí)間.

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