極坐標系下二重積分計算的參數范圍的確定

曹兆龍

（鹽城工學院 基礎教學部，江蘇 鹽城 224002）

極坐標系下二重積分計算的參數范圍的確定

曹兆龍

（鹽城工學院 基礎教學部，江蘇 鹽城 224002）

本文探討了二重積分在極坐標系下的計算過程中參數范圍如何確定的問題，并用例題進行了說明.關鍵詞：二重積分；極坐標；劃線法

常見的二重積分的計算方法主要是在直角坐標系或在極坐標系下將二重積分化為二次積分，但在極坐標系下將二重積分化為二次積分，經常以一些單位圓，或標準圓為例題進行講解，導致部分同學對一些運用極坐標系下計算的習題積分限的確定難以把握.本人在教學實踐中，運用劃線的方法，幫助同學正確的確定積分的上下限.劃線法主要是針對內層積分，在極坐標系下，規(guī)定從極點向外劃線，先于積分區(qū)域邊界相交的為積分下限，后與積分區(qū)域邊界相交的為積分上限.

當二重積分出現以下兩種情況（1）積分區(qū)域用極坐標表示比較簡單時或（2）被積函數用極坐標表示比較簡單時，我們需要考慮采用極坐標來計算二重積分.直角坐標系下的二重積分轉化到極坐標下來計算，要注意三個轉換：一是被積函數的轉換，這個問題只要將x=ρc o s θ,y=ρs i n θ代入原來的被積函數f(x,y)即可；二是面積元素的轉換，這只要將d σ或d x d y換成ρd ρd θ就可以了；三是直角坐標系下積分限的轉換為極坐標系下的積分限，這個是最難的，我們這篇文章主要是通過一些不典型的習題幫助同學學會如何正確地確定極坐標系下的積分限.

先回顧一下二重積分在極坐標下先對ρ后對θ，是如何確定積分的上下限的.

圖1

先確定θ的變化范圍，即看積分區(qū)域D被哪兩條從極點O發(fā)出的射線夾住，我們就以小的作為θ的積分下限，大的作為θ的積分上限.如圖1中的積分區(qū)域D被射線θ=α，θ=β夾住，故α≤θ≤β.

然后開始用劃線法幫助確定ρ的范圍（一般可以用θ的函數表示）.用任意的φ∈[α,β]，將φ固定，從極點作該極角，從極點O引出的另一條射線穿過積分區(qū)域，只允許該射線與積分區(qū)域至多有兩個交點（若交點多于兩個，則積分區(qū)域需要分割），觀察：與積分區(qū)域先交的交點落在哪一條曲線上，則該曲線作為ρ的積分下限，與積分區(qū)域后交的交點落在哪一條曲線上，則該曲線作為ρ的積分上限.這樣我們就可以將直角坐標系下的二重積分轉換為極坐標系下的二次積分.如圖1中的積分區(qū)域D首先與邊界曲線ρ=φ1(θ)相交，然后與邊界曲線ρ=φ2(θ)相交，故φ1(θ)≤ρ≤φ2(θ).

下面舉例說明：

思路探索：被積函數含有x2+y2，積分區(qū)域D也與圓或圓弧有關，故想到可以利用極坐標計算二重積分.

解 積分區(qū)域D如圖2所示，利用劃線法幫助確定積分的限.首先，我們從積分區(qū)域的函數表達式和圖形可以得出參數θ的范圍，然后我們從極點O作一些射線，發(fā)現從極點發(fā)出的射線與積分區(qū)域先相交交點始終就是極點本身，而后相交的一個交點則落在圓(a>0)上，利用

圖2

極坐標，D可以表示為

例2求由曲面x2+y2=2 a x,a z=x2+y2(a>0)及平面z=0所圍成立體的體積.

思路探索：由題意可知，所求立體的體積為一曲頂柱體的體積，可用二重積分計算，關鍵是要確定柱體的曲頂以及坐標平面的投影區(qū)域.

解 x2+y2=2 a x是一母線平行于z軸的圓柱面，顧可知所圍立體是一曲頂柱體，其頂為拋物面z=(x2+y2).立體在x O y面上的投影區(qū)域Dxy為：x2+y2≤2 a x.如圖3所示.

我們首先可以確定參數θ的范圍，然后用劃線法確定參數r的范圍，發(fā)現從極點發(fā)出的射線與積分區(qū)域先相交的交點始終就是極點本身，而后相交的交點則落在圓x2+y2=2 a x上，將該圓方程轉化為極坐標方程.故極坐標系下積分區(qū)域表示為：

圖3

〔1〕同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京:高等教育出版社,2002.86-90.

〔2〕彭輝.高等數學同步輔導[M].北京:新華出版社,2008.552.

O 172.2

A

1673-260 X（2012）09-0013-02