光學(xué)課程中一個(gè)數(shù)值仿真例子：光折變離散孤子

陳桂華，譚穗妍，龐 瑋

（1.東莞理工學(xué)院 電子工程學(xué)院，廣東 東莞 523808；2.華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 應(yīng)用物理系，廣東 廣州 510642；3.廣東工業(yè)大學(xué) 實(shí)驗(yàn)教學(xué)部大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，廣東 廣州 510006）

光學(xué)課程中一個(gè)數(shù)值仿真例子：光折變離散孤子

陳桂華1，譚穗妍2，龐 瑋3

（1.東莞理工學(xué)院 電子工程學(xué)院，廣東 東莞 523808；2.華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 應(yīng)用物理系，廣東 廣州 510642；3.廣東工業(yè)大學(xué) 實(shí)驗(yàn)教學(xué)部大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，廣東 廣州 510006）

本文用改進(jìn)的Peaceman-Rachfor（PR）的差分方案對(duì)二維非線性薛定諤方程進(jìn)行研究，通過(guò)結(jié)合虛時(shí)間方法，以缺陷離散系統(tǒng)模型為例子，分別對(duì)帶缺陷和不帶缺陷光折變晶格波導(dǎo)中的離散孤子進(jìn)行了模擬，所涉及的內(nèi)容為目前非線性光學(xué)及其它非線性物理領(lǐng)域內(nèi)的前沿問(wèn)題.此外，這些內(nèi)容也可以為計(jì)算物理課程、量子力學(xué)課程以及光學(xué)各類(lèi)數(shù)值仿真模塊的例子或習(xí)題.

二維非線性薛定諤方程；4步Peaceman-Rachfor差分方案；離散系統(tǒng)；離散孤子

1 引言

差分方法作為求解偏微分方程的基本方法有著直觀、明、白容易上手的作用.在物理學(xué)中，許多的基本方程，如力學(xué)中的拉格朗日方程和哈密頓方程，電磁學(xué)或光學(xué)中的麥克斯韋方程以及量子力學(xué)中的薛定諤方程等，其本質(zhì)都是一系列的偏微分方程.因此，對(duì)偏微分方程的構(gòu)造和求解，成為物理學(xué)中間的一個(gè)核心內(nèi)容，同時(shí)也是物理學(xué)科教學(xué)和學(xué)習(xí)的主要任務(wù).在以往的教學(xué)實(shí)踐中，許多教材以及教師的講解往往過(guò)分注重于數(shù)學(xué)上解析方法的講述，使得很多學(xué)生在繁重?cái)?shù)學(xué)公式面前迷失了物理的本質(zhì)，并由此產(chǎn)生了不知道自己到底在學(xué)物理還是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困惑.特別現(xiàn)在許多高校在數(shù)學(xué)、物理等基礎(chǔ)課程學(xué)時(shí)數(shù)遭到壓縮的時(shí)候，不少學(xué)生數(shù)學(xué)和物理素養(yǎng)不夠扎實(shí)，這一現(xiàn)象就更為凸顯.因此，如何結(jié)合目前高校物理學(xué)課程設(shè)置的現(xiàn)狀，探索更有效的教學(xué)模式，緩解學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生不必要的困惑以及提高學(xué)習(xí)效率，成為了物理學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)研究中的一個(gè)重要問(wèn)題.

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算機(jī)課程的普及，許多基礎(chǔ)類(lèi)或工程類(lèi)的學(xué)科都引入了計(jì)算機(jī)仿真等模塊進(jìn)行教學(xué)，這些模塊的引入，使得學(xué)生可以更加直觀明白有效地理解他們所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時(shí)，學(xué)生在這些課程和環(huán)境的熏陶下，普遍都具有較好的計(jì)算機(jī)能力.因此，在物理課程中適當(dāng)引入計(jì)算機(jī)仿真的模塊，對(duì)舒緩學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中迷失于枯燥的數(shù)學(xué)公式有一定的作用，而且，引入仿真模塊也使得學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)背后的物理本質(zhì)有積極的意義.

目前，國(guó)內(nèi)對(duì)于物理計(jì)算機(jī)仿真的課程也逐步增多，例如很多高校都開(kāi)設(shè)了計(jì)算物理課程的選修或者必修課程.在這些課程中，我們除了講解一些基本的算法知識(shí)，其核心內(nèi)容就是介紹各類(lèi)物理學(xué)偏微分方程仿真和求解的數(shù)值方法.我們?cè)陂_(kāi)展這類(lèi)課程的時(shí)候，需要許多實(shí)際的例子或者習(xí)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行講解和訓(xùn)練.而這些例子或者習(xí)題，如果能夠和前沿領(lǐng)域掛鉤，則既可增加學(xué)生的科研能力和學(xué)習(xí)興趣，又可以讓學(xué)生快速地了解和把握物理前沿問(wèn)題.

本論文這里所講的4步差分格式Peaceman-Rachfor差分方案，是在簡(jiǎn)單的Crank-Nicolson差分方案的思路上,基于最簡(jiǎn)單的差分格式延伸而來(lái)的二維差分方案[1].該差分格式通過(guò)把二維問(wèn)題化成一維問(wèn)題，具有較好的運(yùn)算效率，而且直觀明白，適合課堂中進(jìn)行講解及課后進(jìn)行實(shí)踐.下面，我們將以離散系統(tǒng)中的非線性薛定方程為例子，講述這個(gè)差分格式與虛時(shí)間方法結(jié)合在求解二維非線性薛定方程中的仿真運(yùn)用.

眾所周知，光波在線性周期離散系統(tǒng)中傳播時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些反常衍射、反常折射及分立衍射等反常現(xiàn)象.這些現(xiàn)象在連續(xù)，均勻介質(zhì)中是從來(lái)未有遇見(jiàn)到的[2-3].在傳播過(guò)程中，當(dāng)光波與相鄰波導(dǎo)之間的線性耦合以及非線性效應(yīng)平衡的時(shí)候，就會(huì)形成自局域態(tài).這種自局域態(tài)也叫做離散孤子（Discretesoliton）[4-7].在許多科學(xué)領(lǐng)域中，離散孤子的研究都是非常熱門(mén)的研究課題[8].長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)離散系統(tǒng)的研究都局限在一維的系統(tǒng)中，近年來(lái)通過(guò)利用全息技術(shù)，在光折變晶體中產(chǎn)生二維的周期的陣列波導(dǎo)并產(chǎn)生離散孤子，使得二維離散系統(tǒng)得以在實(shí)驗(yàn)建立[7].由于二維系統(tǒng)要比一維系統(tǒng)展示出更加強(qiáng)大的優(yōu)越性，使它得到了越來(lái)越多科學(xué)工作者的關(guān)注.特別是近年來(lái)，隨著全息技術(shù)在光子晶體制造方面的技術(shù)突破，例如可以通過(guò)全息技術(shù)制造帶缺陷的功能型光子晶體材料[9-10].缺陷的存在對(duì)陣列波導(dǎo)中離散孤子的影響和潛在應(yīng)用也進(jìn)入了人們的視線[11-12].由于缺陷的種類(lèi)是多樣的，這使得二維非線性薛定諤方程的有效求解也成為了其中一個(gè)重要的問(wèn)題.一般來(lái)說(shuō)，求解二維的薛定諤方程要比一維困難得多，而且耗費(fèi)機(jī)時(shí)，占據(jù)內(nèi)存，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng).本文通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)的求解二維問(wèn)題PR差分格式的修改，化成四步，用于求解非線性薛定諤方程，并且應(yīng)用于模擬二維光折變離散孤子的研究.由于該方法不僅得到比較精確的結(jié)果，而且節(jié)約計(jì)算機(jī)時(shí)間和無(wú)條件穩(wěn)定，這給人們提供了多一個(gè)研究此問(wèn)題的有效手段，同時(shí)，該例子也是目前非線性物理學(xué)界的前沿問(wèn)題，有助于學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，更多地接觸到前沿的物理知識(shí).

24 步PR差分方案的介紹

標(biāo)準(zhǔn)形式的非線性薛定諤方程如下所示：

如圖1所示，我們把2維空間（x,y）進(jìn)行離散化.差分格式從傳統(tǒng)P e a c e m a n-R a c h f o r（P R）格式出發(fā)，傳統(tǒng)的P R差分格式如下：

其中：

圖1 x，y離散網(wǎng)格

為x，y方向上的二階分差分格式.

我們把上式化成以下的四步：

以上每一步對(duì)于未知的u都是一維求法，其中（3），（5）式為顯式，（4），(6)式為隱式.這樣的交替差分格式，可以大大的節(jié)約了計(jì)算時(shí)間.同時(shí)它和傳統(tǒng)的P R格式一樣，也是一個(gè)具有二階精度，無(wú)條件穩(wěn)定的差分格式.

假如我們令：方程（1）就會(huì)變成標(biāo)準(zhǔn)形式的非線性薛定諤方程，在實(shí)際的運(yùn)行中，我們只需要把步長(zhǎng)τ變成τ=-i·c（其中c為一個(gè)實(shí)數(shù)），然后在每一步的演化中都把波函數(shù)按照初始功率進(jìn)行歸一化，則是虛時(shí)間方法.實(shí)踐表明，虛時(shí)間的收斂性要比松弛法相對(duì)較為容易控制.

3 利用4步PR差分方案研究光折變陣列波導(dǎo)中的離散孤子

描述離散孤子在光折變晶體中傳播方程的表達(dá)形式如下：

在這里，我們已經(jīng)略去了光折變效應(yīng)中的光生伏打效應(yīng)和載流子擴(kuò)散效應(yīng)，只保留其中的屏蔽光折變非線性效應(yīng).（9）式中的光強(qiáng)I(x,y)=|u|2+|V(x,y)|2，它是用暗輻照Id歸一化的光強(qiáng).V為產(chǎn)生周期陣列波導(dǎo)的光場(chǎng)，一般通過(guò)全息技術(shù)產(chǎn)生，它的偏振方向和晶體中o光的偏振方向一致（垂直于c軸）.由于光折變晶體一般具有較高的電光各向異性（r13<

在方程里面，ke=k0ne，ne為晶體中e光的折射率.在這里u的偏振方向取作與晶體中e光的偏振方向相一致（平行于c軸）.同時(shí)：

圖2 無(wú)缺陷下離散孤子的光強(qiáng)分布圖

（a）用全息技術(shù)產(chǎn)生的無(wú)缺陷陣列波導(dǎo)的（X Y）示意圖

（b）在該陣列波導(dǎo)中離散孤子的（X Y）示意圖

（c）離散孤子3維示意圖

圖3 帶缺陷陣列波導(dǎo)下離散孤子的示意圖

我們選取具有光折變效應(yīng)的鐵電氧化物S B N作為我們數(shù)值模擬的樣本，晶體的電光張量系數(shù)r33=1340 p m/V，e光折射率ne=2.2229，其橫向尺寸取為l=m=5 m m.假設(shè)產(chǎn)生周期陣列波導(dǎo)的光場(chǎng)利用全息技術(shù)產(chǎn)生，由于目前在全息技術(shù)中，可以產(chǎn)生缺陷的全息圖像的技術(shù)已經(jīng)出現(xiàn)和被報(bào)道，如多光束相位控制技術(shù)就是其中一種重要的可以產(chǎn)生缺陷的全息技術(shù)[10]，該技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于功能性帶缺陷的光子晶體的制造中.在這里，我們假設(shè)該技術(shù)也用于產(chǎn)生帶缺陷的周期陣列波導(dǎo).我們?nèi)「缮婀鈴?qiáng)分布為正方格子，其的表達(dá)式為：|V(x,y)|2=|V0/2|2K(x,y)[c o s(πx/D)+c o s(πy/D)]2，其中K(x, y)為缺陷函數(shù)，在模擬中，我們?nèi)V0|2=4，D=10 μm.加在光折變晶體上的橫向電壓我們假設(shè)為UV=800 V，則橫向電場(chǎng)=357 v/m m[7].以下是我們運(yùn)用該數(shù)值方法模擬的一些結(jié)果.其中圖2描述在無(wú)缺陷（K(x,y)=1）的陣列波導(dǎo)及相應(yīng)的離散孤子的光強(qiáng)分布，而圖3則描述陣列波導(dǎo)在負(fù)點(diǎn)缺陷情況下（K(x,y)=1-e x p[-(x2+y2)/(0.5 D)2]）的圖及其離散孤子的光強(qiáng)分布圖.穩(wěn)定性分析表明，這些孤子解都是穩(wěn)定的.

以上的模擬是在M a t l a b平臺(tái)上進(jìn)行的，現(xiàn)在不少的學(xué)科仿真也都基于M a t l a b平臺(tái)開(kāi)展[13].同時(shí)，M a t l a b軟件的編程和應(yīng)用，是許多高校理工類(lèi)學(xué)生必修、選修或者自學(xué)對(duì)象.因此，本文的模擬，可以作為計(jì)算物理及相關(guān)課程的例題或者習(xí)題，供學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)和練習(xí).

4 結(jié)論

本文利用4步P R算法和虛時(shí)間方法相結(jié)合，研究了二維陣周期列波導(dǎo)中的離散孤子進(jìn)行了研究，從模擬的結(jié)果來(lái)看，算法和傳統(tǒng)方法得出的結(jié)果相一致，由于4步法把二維化為一維問(wèn)題去進(jìn)行計(jì)算，所以非常節(jié)省計(jì)算資源.同時(shí)本文所論述的例子，可以作為一些專(zhuān)業(yè)課程如計(jì)算物理課程、量子力學(xué)課程以及光學(xué)各類(lèi)課程數(shù)值仿真模塊的例子或者習(xí)題.通過(guò)這一學(xué)習(xí)和練習(xí)，學(xué)生既可以掌握利用4步P R算法和虛時(shí)間方法相結(jié)合的方式處理二維系統(tǒng)的方法，又可以了解到什么是離散系統(tǒng)，什么是離散孤子以及光折邊晶體的一些基本知識(shí).對(duì)拓展學(xué)生的物理知識(shí)面有積極的作用.

〔1〕陸金甫，偏微分方程的數(shù)值解法(第二版)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

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O43

A

1673-260X（2012）09-0010-03

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10947140，11104083）