偏微分方程數(shù)值解法的研究

王海林，徐 珊，宋論兵，高全歸

（玉溪師范學(xué)院 物理系，云南 玉溪 653100）

偏微分方程數(shù)值解法的研究

王海林，徐 珊，宋論兵，高全歸

（玉溪師范學(xué)院 物理系，云南 玉溪 653100）

本文將從兩個方面來討論偏微分方程的數(shù)值解法，其一為網(wǎng)格比對數(shù)值解法的影響，其二為不同差分格式對偏微分方程數(shù)值解法的影響，這兩個方面都會影響偏微分方程數(shù)值解的結(jié)果.

偏微分方程；數(shù)值解；穩(wěn)定性

隨著科學(xué)技術(shù)和社會的發(fā)展，大量復(fù)雜的計算問題不斷出現(xiàn)在人們面前.在計算機沒有問世之前，為了解決某些復(fù)雜的計算問題，不少科學(xué)家獻出了大半生，甚至畢生的精力，1867年法國天文學(xué)家達(dá)拉姆尼（D a l a m n y）花了整整20年的時間，求解了一個天體運動的攝動級數(shù)展開式[1].但這并不是解決復(fù)雜問題的好方法，于是人們開始研究解決復(fù)雜計算問題的方法，為了解決一些復(fù)雜的計算問題，數(shù)值計算方法便出現(xiàn)了.而偏微分方程的數(shù)值解是其中一個非常重要的分支，例如要準(zhǔn)確預(yù)測天氣的變化情況，就要求解成千上萬個偏微分方程組[1]，人工求解是很不現(xiàn)實的，因而，偏微分方程的數(shù)值解就顯得相當(dāng)重要了.偏微分方程的數(shù)值解法主要有三種，有限差分法，變分法，有限元方法，使用最普遍的是有限差分法.而有限差分法在求解偏微分方程的時候會存在不穩(wěn)定性，所以，需要分析有限差分法求解偏微分方程的穩(wěn)定性，差分方程的穩(wěn)定性是指研究差分方程在右端自由項無誤差的情況下，初值干擾對差分方程解的影響，它反映了差分解是否連續(xù)依賴于初值的情形[2]，有限差分法又存在很多種差分格式.本文將從兩個方面討論偏微分方程的數(shù)值解法.本文的第一部分將對有限差分法做個簡單介紹，第二部分將給出網(wǎng)格比對穩(wěn)定性的影響，第三部分將給出具體的差分格式對數(shù)值解的影響，第四部分內(nèi)容為本文的結(jié)論與討論.

1 有限差分法簡介

考慮偏微分方程中最簡單的一維對流方程的初邊值問題：

要利用數(shù)值方法求解上述定解問題，首先需要對定解區(qū)域離散化，用平行直線族xj=j h，tk=k τ，把區(qū)域D劃分成若干個小矩形，其中h，τ稱為空間步長和時間步長，τ稱為網(wǎng)h格比（如果為二階的網(wǎng)格比可表為等）.接下來對微分方程離散化，由泰勒級數(shù)展開可知，在接點(j,k)處微商和差商存在如下關(guān)系[3]：

最后將邊界條件和初始條件離散化后就可以做數(shù)值計算了.

2 網(wǎng)格比對偏微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性影響

為了計算方便，取方程（1）中的a=1，這樣方程（1）對應(yīng)的差分方程可以寫為：

圖1 其中實線代表網(wǎng)格比為=1.1，虛線代表網(wǎng)格比為=0.9，點線代表網(wǎng)格比為=1.0

由上面的計算可知網(wǎng)格比會影響方程數(shù)值解的穩(wěn)定性.這里只是直觀的給出方程數(shù)值解的穩(wěn)定性的狀況.數(shù)值解的穩(wěn)定性的分析可以采用F o u r i e r方法，H i r t啟示性方法，能量不等式方法等[3].

3 不同差分格式下的偏微分方程數(shù)值解

對于不同的差分格式下的偏微分方程的數(shù)值解依然采用方程（1），分別采用下面的四種差分格式做差分：

（1）迎風(fēng)格式的差分方程可以寫為：

（2）L-F（L a x-F r i e d r i c h s）格式的差分方程可以寫為：

（3）L-W(L a x-We n d r o f f)格式的差分方程可以寫為：

（4）B e a m-Wa r m i n g格式的差分方程可以寫為[4]：

圖2 迎風(fēng)格式

圖2、圖3、圖4、圖5分別為上述四種差分格式對應(yīng)的數(shù)值解的函數(shù)圖象.計算過程中取h=0.01，網(wǎng)格比取=0.5，上圖為對時間計算100步后所得到的函數(shù)圖象，由圖可知，圖4，圖5出現(xiàn)了震蕩，圖2，圖3比較平滑，這是由于差分格式不同所導(dǎo)致的.

圖3 L-F格式

圖4 L-W格式

圖5 B e a m-Wa r m i n g格式

4 結(jié)論與討論

從上面的計算可知，運用有限差分法求解偏微分方程，網(wǎng)格比會對方程的解的穩(wěn)定性存在影響.而不同的差分格式會使得方程的解存在微小差異，并且其穩(wěn)定狀況也不一樣，因而，在解決實際問題的過程中，求解偏微分方程的需要注意選擇合適的網(wǎng)格比及適當(dāng)?shù)牟罘址椒?，這樣對于偏微分方程的求解是有幫助的.

〔1〕周煦.計算機數(shù)值計算方法及程序設(shè)計[M].北京:機械工業(yè)出版社,2004.

〔2〕徐長發(fā),李紅.偏微分方程數(shù)值解法[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2000.

〔3〕陸金甫,關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

〔4〕LeVequeR J.NumericalMethodsforConservation Laws.Basel:Birkhauser Verlag,1990.

O 175.2

A

1673-260 X（2012）09-0001-02

玉溪師范學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新性實驗計劃項目（2011B17）