關(guān)注通性通法 適當靈活處理

　　摘 要：每一個數(shù)學問題通常有所謂的通性通法與特殊解法，教學中既要注重通性通法的示范效應，又要適當應用特殊解法，關(guān)鍵是應用得自然，銜接得緊密，二者不是對立的，而是統(tǒng)一的． 本文結(jié)合一道與向量相關(guān)的三角形求值問看解題方法的發(fā)現(xiàn)與運用．
　　關(guān)鍵詞：通性通法；特殊解法；向量；三角形
　　
　　眾所周知，對于每一個數(shù)學問題通常有所謂的通性通法與特殊解法，那么這些方法在解題時是如何體現(xiàn)與運用的呢？下面結(jié)合一道與向量相關(guān)的三角形求值問題看解題方法的發(fā)現(xiàn)與運用．
　　例題：已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1，若 =x+y（xy≠0），則cos∠ABC=________．
　　本題涉及向量夾角求解，畫圖分析向量與角的關(guān)系，很容易有如下方法．
　　思想方法一：利用向量夾角計算公式，轉(zhuǎn)化為求a?b，結(jié)合O為△ABC外心．
　　法一：由外心性質(zhì)?圯==?圯－=－=，兩邊平方結(jié)合AB=2，AC=3，可得?=2，?=．
　　由已知=x+y，兩邊分別數(shù)乘向量，，得4x+y?=2，x?+9y=．
　　再由x+2y=1，令?=k，可得：4x+yk=2，kx+9y=，x+2y=1， 結(jié)合xy≠0，解得x=－，y=，k=，
　　從而cos∠ABC==．
　　法二：由外心定義?圯－⊥，－⊥，
　　利用向量垂直性質(zhì)得：
　?。?=0?圯?=2，－?=0?圯?=，
　　下同法一．
　　由于向量的運算在直角坐標下相對具有簡化性，于是又有如下方法．
　　思想方法二：聯(lián)想向量坐標表示與運算，利用解析思想．
　　法三：以AB所在直線為x軸，A為原點建立直角坐標系，設∠ABC=θ，則由已知可得A（0，0），B（2，0），C（3cosθ，3sinθ），從而=（2，0），=（3cosθ，3sinθ），=x+y=（2x+3ycosθ，3ysinθ）． 仿法一或二得?=，從而9ycos2θ+6xcosθ+9ysin2θ=?圯6xcosθ=－9y，結(jié)合x+2y=1，xy≠0，可得cosθ=．
　　當然，此時也可以利用外心定義求AB，AC兩邊中垂線交點得外心坐標（從略）．
　　由于圖形中向量關(guān)系表示與求解往往會結(jié)合圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化、簡化求解，于是轉(zhuǎn)向，得如下方法．
　　思想方法三：利用已知向量關(guān)系進行向量變化，結(jié)合幾何圖形性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解．
　　法四：由=x+y，結(jié)合x+2y=1，=（1－2y）+y?圯－=－2y+y，延長AB到D，使AD=2AB． 利用數(shù)乘向量及向量減法幾何運算得=y．
　　由數(shù)乘向量定義得∥?圯BO∥DC，延長BO交AC于E，利用B是AD中點，得E為AC中點. 又O為外心，故BE⊥AC，再結(jié)合AB=2，AC=3，可得cos∠ABC==．
　　最后分析由=x+y，結(jié)合x+2y=1，聯(lián)想三點共線向量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)向構(gòu)造向量共線關(guān)系，得如下方法．
　　法五：取AC中點E，由數(shù)乘向量定義可得=2，由=x+y，得=x+2y.
　　結(jié)合x+2y=1，聯(lián)想向量共線關(guān)系得B，O，E三點共線，下同法四（從略）．
　　至此，我們不僅從圖形中相關(guān)向量求解的一般思想與特殊方法諸方面完成了本題的探索，還可以發(fā)現(xiàn)條件中=x+y（x+2y=1）的特殊地位，如果換一個數(shù)字關(guān)系，如x+y=2，x+3y=1，那么問題又怎樣呢？不難發(fā)現(xiàn)三角形不一定是等腰三角形，因此不能利用圖形性質(zhì)簡化求解了． 因此我們有理由提倡在尋求問題解法的時候，更多地要關(guān)注通性通法，再適當注意靈活處理及特殊結(jié)論的應用．