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    y=Asin(ωx+φ)+k——研究三角函數(shù)性質(zhì)的法寶

    2012-08-28 02:35:18湖北省襄陽市第五中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年7期
    關(guān)鍵詞:型函數(shù)性質(zhì)方向

    ☉湖北省襄陽市第五中學(xué) 謝 偉

    三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,高中學(xué)生在分析三角函數(shù)問題時,往往因?qū)θ亲儞Q的目標(biāo)不明確、找不到解題方向而丟分.實(shí)際上,三角變換包括三個方面:①變換角,即化異角為同角;②變換函數(shù)名,也就是化異名函數(shù)為同名函數(shù);③變換結(jié)構(gòu),主要是將高次式降冪為一次式,將低次式升冪為一次式.即將目標(biāo)三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式.因?yàn)檎n本中的三角函數(shù)的性質(zhì)都是以y=Asin(ωx+φ)+k為對象進(jìn)行討論的,因此,我們只有將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為這種模型,才能準(zhǔn)確且方便地運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解題.

    (1)求f(x)的最小正周期;

    分析:求三角函數(shù)的最值,仍然離不開三角恒等變換,朝什么方向變形?怎樣變形?這就要求熟練掌握三角函數(shù)恒等變形的方向和目標(biāo):轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)+k型函數(shù).結(jié)合目標(biāo),可以發(fā)現(xiàn),首先需要變角,將變換為x,然后再變結(jié)構(gòu)(降冪),將二次式結(jié)構(gòu)化為一次式結(jié)構(gòu).

    所以最小正周期為π.

    分析:研究三角函數(shù)的性質(zhì)常常需要通過等價變形將比較復(fù)雜的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)+k型函數(shù).再分析函數(shù)的圖像變換、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì).

    高中新課標(biāo)教材是以y=Asin(ωx+φ)+k為對象研究三角函數(shù)的性質(zhì)的,但是,高考試題為了考考生的化歸與轉(zhuǎn)化的能力,往往以比較復(fù)雜的三角函數(shù)形式來出現(xiàn),這就需要我們在進(jìn)行三角函數(shù)變換時牢固抓住三角變換的目標(biāo),即:將比較復(fù)雜的三角函數(shù)形式轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)+k型函數(shù).

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