方程思想在《三角形》一節(jié)中的應用探微

☉江蘇省鎮(zhèn)江市第九中學 姚正紅

數學思想是數學教學的靈魂，是貫穿數學課程的紅線，是解決問題的策略和方法；只有在教學中有意思地滲透、提醒、運用才能使學生融匯貫通，在實際中方能游刃有余.對于七年級學生來說，方程思想的學習和掌握將直接影響到今后的學習，特別是對初二、初三以及中考壓軸題的分析是大有益處的，下面就方程思想在《三角形》一節(jié)中的應用進行探討，以供大家商榷.

一、利用題目中角度之間的比值關系設未知數，再由多邊形內角和定理為等量關系列方程

例1 （1）△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，則△ABC是（ ）三角形.

A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.無法確定.

解：因為∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，

所以可設∠A＝x°，則∠B＝2x°，∠C＝3x°.

因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，即x＋2x＋3x＝180°，

解之得：x＝36.所以最大角∠C＝3×36°＝108°.因此，選C.

（2）四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4.

則∠A＝_____；∠B＝_____；∠C＝_____；∠D＝_____.

解：因為∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，

所以可設∠A＝x°，則∠B＝2x°，∠C＝3x°，∠D＝4x°.

又因為∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，即x＋2x＋3x＋4x＝360.

解之，得：x＝36，所以∠A＝36°，則∠B＝72°，∠C＝108°，∠D＝144°.

練習1： （1）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2.

則∠A＝______；∠B的一個外角等于______.

（2）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶5，則它們的外角的比是______.

二、利用題目中角度之間的數量關系設未知數，再由三角形內角和定理為等量關系列方程

例2 （1）在△ABC中，如果∠A＋∠B＝2∠C，那么∠C的度數是________.

A.30° B.45° C.60° D.90°

解：因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝2∠C，

所以3∠C＝180°，所以∠C＝60°.選C.

（2）在△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠C，則△ABC中最大角是（ ）.

A.鈍角 B.直角 C.銳角 D.平角

解：因為∠A＝2∠B＝3∠C，

因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，

練習2： （1）在△ABC中，6∠A＝4∠B＝3∠C，則△ABC中最大角是______＝______度.

（2）在△ABC中，∠C比∠A與∠B的和小20°，∠B的2倍比∠A小10°，求各角的度數.

三、利用多邊形內角和定理為等量關系列方程，求邊數

例3 （1）一個多邊形的內角和是1980°，則它是______邊形.

解：設這個多邊形是n邊形，則（n-2）·180°＝1980°，解之，得n＝13.

（2）如果一個多邊形的內角和等于它的外角和，則這個多邊形是（ ）.

A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形

解：設這個多邊形是n邊形，則（n-2）·180°＝360°.

解之，得n＝4.因此選B.

練習3：（1）一個多邊形的內角和是外角和的4倍，則此多邊形的邊數是______.

四、利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和以及多邊形的內角與和它相鄰的外角是鄰補角的等量關系列方程，求角度

例4（1）一個多邊形的每一個內角都相等，且比它的一個外角大100°，則邊數n＝______.

解：設每一個外角為x°，x°＋100°＋x°＝180°.解之，得x°＝40°.

（2）求下圖中x的值.

解：由三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，

x°+20°+x°=x°+70°，所以x=50.

練習4： 如圖，∠B∶∠1∶∠2=1∶2∶3，則∠2=______.

五、利用多邊形內角和是180°的整數倍為隱含條件，進行推理，求邊數

例5（1）一個多邊形截去一個內角后，形成另一個多邊形，它的內角和是2520°，則原多邊形的邊數不可能是（ ）.

A.15條 B.16條 C.17條 D.18條

解：（n-2）·180°=2520°，n=16.

說明：截去一個角后是16邊形，所以原來可能是：十五邊形、十六邊形、十七邊形.

（2）若一個n邊形n個內角與某一個外角的總和為1350°，則n等于（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9

解：設某一個外角的度數是x°，則：

由90°+x°必須是180°的整數倍，且0°＜x°＜180°，

所以一定有：90°+x°=180°.解之，得x°=90°.

n-2=8-1，n=9.選D.

練習5： 王華在計算某個多邊形的內角和時，不慎漏掉了一個角，他得出的結果是2008°，這個多邊形是幾邊形？正確的結果應該是多少度？

六、利用題目中的角度關系，找出一個關鍵角設未知數，再由三角形的內角和或三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和列方程

例6 （1）如圖，∠ABC=∠C=∠BDC，∠ABD=∠A，求∠A的度數.

（2）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，且∠1=∠2，∠4=2∠3，∠BAC=70°，求∠2和∠4的度數.

解：（1） 設∠A=x°，則∠ABD=∠A=x°，因為∠BDC=∠A+∠ABD，

所以∠BDC=2x°，進一步可得∠ABC=∠C=∠BDC=2x°.

因為∠A+∠ABC+∠C=180°，即x°+2x°+2x°=180°.

解之，得x°=36°，所以∠A=36°.

解：（2）設∠3=x°，則∠4=2∠3=2x°，∠2=∠1=∠3+∠4=3x°.

因為∠BAC+∠4+∠2=180°，∠BAC=70°，

所以70°+2x°+3x°=180°.

解之，得x°=22°，所以∠4=2x°=44°，∠2=3x°=66°.

練習6 （1）如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC.

（2）已知△ABC中，∠CAB的角平分線是AD，∠B=∠BAD，∠C=60°，∠B=______，∠ADC=______.

通過上述例題的分析與講練，在幾何入門教學中有目的地增強數學思想方法的熏陶，高屋建瓴地上升到理論上，使學生有法可循，并在此基礎上，提高分析問題解決問題的能力，使教為不教，是真教也.