高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)建模思想淺談

劉志宏 周錦程

（黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 貴州 都勻 558000）

0 引言

隨著社會(huì)的飛速發(fā)展，教育也得到了空前的發(fā)展，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量和學(xué)科專業(yè)教學(xué)探討與實(shí)踐是當(dāng)前國內(nèi)外各類不同層次的高等院校教育都在關(guān)注的熱點(diǎn)問題，數(shù)學(xué)教育是培養(yǎng)應(yīng)用型人才，提高國民素質(zhì)的重要載體。數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)高素質(zhì)人才中具有其獨(dú)特的，不可替代的作用，數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式應(yīng)成為應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式中重要組成部分。數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的工具，是溝通數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題的中介和橋梁。我國的教育的發(fā)展決定著對(duì)人才培養(yǎng)的多元化，社會(huì)的發(fā)展需要培養(yǎng)更多的應(yīng)用型人才，應(yīng)用型人才的培養(yǎng)就需要培養(yǎng)他們有深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高等數(shù)學(xué)教育更應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力。高等數(shù)學(xué)教學(xué)要注重掌握核心數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用能力，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的應(yīng)用的現(xiàn)代教育理念。把數(shù)學(xué)建模的思想與方法融入到高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論課已形成共識(shí)，收到數(shù)學(xué)界的廣泛重視，特別是數(shù)學(xué)建模的教學(xué)和競賽取得了良好的效果，積極地推動(dòng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程其實(shí)就是個(gè)把數(shù)學(xué)建模的思想融入到高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的具體實(shí)施過程。

1 數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模的重要性

長期以來，在人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過程中，對(duì)數(shù)學(xué)的重要性及其作用逐漸形成了自己的認(rèn)識(shí)和看法，而且這種認(rèn)識(shí)和看法隨著時(shí)代的進(jìn)步也在不斷發(fā)展。概括起來，大概有以下幾點(diǎn)：

1）數(shù)學(xué)是一種國際通用的科學(xué)語言；

2）數(shù)學(xué)是生活、學(xué)習(xí)、科研的一個(gè)有力的工具；

3）數(shù)學(xué)是各門科學(xué)的基礎(chǔ)；

4）數(shù)學(xué)是一門技術(shù)；

5）數(shù)學(xué)是一種文化。

數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題的橋梁，它的重要性就不言而喻了，數(shù)學(xué)本身就是一門抽象的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的目的就是為了更好的解決實(shí)際問題，數(shù)學(xué)建模就是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的工具。數(shù)學(xué)知識(shí)固然很重要，如果空有抽象的知識(shí)，卻沒有掌握好數(shù)學(xué)建模的思想和方法，空有深厚的數(shù)學(xué)知識(shí)也難有所作為，更不算是新世紀(jì)的優(yōu)秀人才。

2 為什么要把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑，數(shù)學(xué)建模在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要作用越來越受到數(shù)學(xué)界和工程界重視。應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想解決實(shí)際問題通常有三個(gè)要點(diǎn):合理假設(shè)、數(shù)學(xué)模型和解釋驗(yàn)證。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，即通過把理論的抽象知識(shí)結(jié)構(gòu)化，形象化，實(shí)用化而形成的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)的理解，從而實(shí)現(xiàn)理論知識(shí)的系統(tǒng)化。數(shù)學(xué)建模思想是數(shù)學(xué)建模的靈魂，是貫穿理論知識(shí)的主線，在高等數(shù)學(xué)的一些概念，性質(zhì)，定理，公理和推論的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的是思想，就能夠分清各知識(shí)的脈絡(luò)，以及他們的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模思想可以將知識(shí)向廣度和深度延伸，高等數(shù)學(xué)中有很多具體問題和定理還值得深入挖掘其中的知識(shí)點(diǎn)，與其他學(xué)科相結(jié)合方面的問題也有待進(jìn)一步探討。數(shù)學(xué)建模思想是圍繞一個(gè)現(xiàn)實(shí)需要解決的問題展開，有利于知識(shí)的針對(duì)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)抽象知識(shí)的興趣。所以，把數(shù)學(xué)建模的思想融入到高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中是非常有必要的。

數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程，它是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和思維方式，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際問題時(shí)，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步。建立教學(xué)模型的過程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對(duì)實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)面。這些其實(shí)就是數(shù)學(xué)建模的思想。

當(dāng)前的國際形勢(shì)下，國際競爭其實(shí)就是科學(xué)技術(shù)的競爭，只有擁有了強(qiáng)大的科技力量，才能保證在激烈的國際競爭中立于不敗之地。先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)，掌握在優(yōu)秀的人才手里，優(yōu)秀的人才必須要有很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能夠用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決所遇到的實(shí)際問題。這里的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)建模的思想。所以，優(yōu)秀人才的培養(yǎng)必須得注重?cái)?shù)學(xué)建模思想的教學(xué)。數(shù)學(xué)的教學(xué)大致可以分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)、初等數(shù)學(xué)教學(xué)和高等數(shù)學(xué)教學(xué)，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)教學(xué)階段，由于學(xué)生的理解能力和所接觸的實(shí)際問題有限，數(shù)學(xué)建模的思想對(duì)于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣具有一定的局限性，所以，在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生心智較為成熟，所接觸的新鮮的事物較多，把數(shù)學(xué)建模的思想融入到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教給學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)去解決所遇到的實(shí)際問題，很容易就提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。常言道：興趣是入門的老師。當(dāng)學(xué)生擁有了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，便很容易的在課堂教學(xué)的過程中慢慢的掌握數(shù)學(xué)建模的方法以及數(shù)學(xué)建模的思想。

綜上所述：把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入到高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)是當(dāng)今高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主流，是培養(yǎng)優(yōu)秀人才的必經(jīng)之路，是提高國際競爭力的強(qiáng)有力的方法。在當(dāng)今形勢(shì)下，把數(shù)學(xué)建模的思想融入到高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中已經(jīng)是培養(yǎng)21世紀(jì)人才的新思路。

3 怎樣在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法

3.1 明確數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)與定位

數(shù)學(xué)不應(yīng)僅停留在數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，還應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)既要為后繼課程提供語言表達(dá)，邏輯推理，科學(xué)計(jì)算等基本要求，更要注重思維方式和思辨能力，以及學(xué)生利用邏輯關(guān)系研究和領(lǐng)會(huì)抽象事物、認(rèn)識(shí)和利用數(shù)形關(guān)系的能力的培養(yǎng)。通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，是學(xué)生具有：科學(xué)的思維方式和思維習(xí)慣；從數(shù)據(jù)的定性和定量分析中尋求與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力，從分析實(shí)際對(duì)象，建立數(shù)學(xué)模型到進(jìn)行計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理的研究習(xí)慣；從實(shí)際出發(fā)不斷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)自學(xué)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識(shí)與能力。

3.2 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，增加現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)

長期以來，我們的課程設(shè)置和教學(xué)內(nèi)容都具有強(qiáng)烈的理科特點(diǎn)：重基礎(chǔ)理論、輕實(shí)踐應(yīng)用；重傳統(tǒng)的經(jīng)典數(shù)學(xué)內(nèi)容、輕離散的數(shù)學(xué)計(jì)算。然而，數(shù)學(xué)建模所用到的主要的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識(shí)恰好正是被我們長期所忽略的那些內(nèi)容。因此，我們調(diào)整課程體系和教學(xué)內(nèi)容，增加一些應(yīng)用型、實(shí)踐類教學(xué)內(nèi)容：如“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”、“數(shù)學(xué)軟件介紹及應(yīng)用”、“計(jì)算方法”等。在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，注重?cái)?shù)學(xué)理論與應(yīng)用相結(jié)合，增加實(shí)際應(yīng)用方面的內(nèi)容和案例。從而使教學(xué)內(nèi)容更貼近生活貼近現(xiàn)代科技發(fā)展。

對(duì)具體教學(xué)內(nèi)容的安排上注重學(xué)以致用，既考慮對(duì)學(xué)生思維能力培養(yǎng)方面的作用，又考慮培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)。把數(shù)學(xué)建模的思想融入到數(shù)學(xué)教學(xué)課程中去，增加數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域應(yīng)用的實(shí)例。在教學(xué)中，根據(jù)專業(yè)的不同，選出本專業(yè)典型數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用案例，然后按照數(shù)學(xué)建模過程規(guī)律修改加工之后作為課上的引例或者數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用例題。這樣使學(xué)生既能親切的感受到數(shù)學(xué)在專業(yè)中的廣泛應(yīng)用，也能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決問題的能力。

通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化，使數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)和能力方面具有：通過分析、計(jì)算、邏輯推理求解數(shù)學(xué)問題的能力；用數(shù)學(xué)語言和方法去抽象概括客觀事物的內(nèi)在規(guī)律構(gòu)造出解決問題的數(shù)學(xué)模型的能力。

3.3 注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，加強(qiáng)數(shù)學(xué)方法的介紹

大量的實(shí)踐表明：人們一旦掌握了數(shù)學(xué)思想方法，在今后的生活和生產(chǎn)實(shí)踐中將會(huì)終身受益。在介紹數(shù)學(xué)概念、原理、公式時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透及教學(xué)方法的介紹。這樣在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)，在通過實(shí)例介紹數(shù)學(xué)家是如何處理實(shí)際問題，將新問題轉(zhuǎn)化為以前解決過的問題后引出定義時(shí)，突出轉(zhuǎn)化的思想，知道數(shù)學(xué)的來龍去脈，在數(shù)學(xué)文化的熏陶中茁壯成長。

3.4 改革教學(xué)方法和教學(xué)手段，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

我認(rèn)為要讓學(xué)生從知識(shí)的被動(dòng)接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)參與者和積極探索者，在發(fā)揮教師主導(dǎo)作用的同時(shí)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，要為學(xué)生的積極參與創(chuàng)造條件，引導(dǎo)學(xué)生去思考、探索。去發(fā)現(xiàn)，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽的提出問題，改變過去教師講學(xué)生聽的教學(xué)方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中貫徹“問題解決”的思想以問題為教學(xué)起點(diǎn)，把要傳授給學(xué)生的知識(shí)、結(jié)論、方法通過創(chuàng)設(shè)問題情境，提出具有一定趣味性、啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問題，使學(xué)生通過觀察、分析、綜合、類比、猜想、嘗試和發(fā)現(xiàn)的探索過程，學(xué)會(huì)提出問題、分析問題和解決問題，通過問題的不斷提出和不斷解決，使學(xué)生掌握所學(xué)的知識(shí)，理解所學(xué)的知識(shí)與其他相關(guān)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生既學(xué)到知識(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用的意識(shí)和能力的教學(xué)目的。

在教學(xué)中把傳統(tǒng)的黑板、粉筆加教案的教學(xué)方法與多媒體的教學(xué)結(jié)合使用，將傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中不能直觀表示的抽象概念、定理通過圖表、圖畫、動(dòng)畫等生動(dòng)地表示出來，從而加深學(xué)生的印象，使學(xué)生易于理解和掌握，既激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又解決了課堂信息量不大的問題，形成數(shù)學(xué)教學(xué)的良性循環(huán)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件的使用，可以使學(xué)生邊學(xué)邊用，著重培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和利用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題的能力，把所學(xué)的知識(shí)直接用于解決實(shí)際問題。這樣的教學(xué)方法對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力具有積極的推動(dòng)作用。

大量的實(shí)踐表明：在高等數(shù)學(xué)的課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，注重培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，是教學(xué)教育改革的方向。“學(xué)數(shù)學(xué)”是為了“用數(shù)學(xué)”，教師應(yīng)努力創(chuàng)造機(jī)會(huì)，把數(shù)學(xué)建模的思想和方法滲透到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)環(huán)節(jié)中去，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。

4 具體實(shí)施方法及實(shí)例

4.1 將抽象思維形象化

高等數(shù)學(xué)的中心內(nèi)容不是直接為建立數(shù)學(xué)模型服務(wù)的，然而，數(shù)學(xué)模型的形象思維可以使相應(yīng)的知識(shí)具有應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解和記憶。在高等數(shù)學(xué)，尤其是線性代數(shù)部分，幾何的形象性被廣泛應(yīng)用，從幾何的角度去理解抽象的高等數(shù)學(xué)的概念、定理、性質(zhì)等。從而取得比較好的教學(xué)結(jié)果。下面用行列式與幾何知識(shí)的聯(lián)系來解釋高等數(shù)學(xué)中抽象思維的形象化。如對(duì)于任意一個(gè)三階行列式：

我們看一下三維立體空間，以（a1，b1，c1），（a2，b2，c2），（a3，b3，c3）為坐標(biāo)的三個(gè)向量，那么以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的體積為：

因此可以看出，實(shí)數(shù)域上的三階矩陣行列式其實(shí)就是以 a,b,c這三個(gè)向量為棱的平行六面體的體積，對(duì)于抽象的行列式的問題，這里結(jié)合幾何知識(shí)，就把三階行列式的問題轉(zhuǎn)化為了形象的求六面體的體積的問題。對(duì)于一個(gè)問題，從不同的角度去理解就會(huì)有不同的解釋，這正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)。這樣做不僅拓寬了知識(shí)面，也加深了對(duì)知識(shí)的理解，避免了對(duì)知識(shí)的僵硬的認(rèn)識(shí)。幫助了學(xué)生從多方面的去認(rèn)識(shí)所遇到的問題。

4.2 將理論知識(shí)實(shí)用化

高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容都是抽象的理論，繁瑣的計(jì)算往往難以讓人體會(huì)到高等數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義，也就很難激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，考慮到這些因素，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中盡可能的研究一些典型的應(yīng)用實(shí)例比如行列式概念的引入，我們可以借助于一個(gè)著名的數(shù)學(xué)模型來提出，這樣可以使得難以理解的抽象知識(shí)被學(xué)生接受。

貨物交換的經(jīng)濟(jì)模型：在一個(gè)原始部落，根據(jù)分工，人們分別從事3種勞動(dòng)：農(nóng)田耕種（簡單的記為F）、農(nóng)具與生產(chǎn)工具的生產(chǎn)（簡單的記為M）、織物的編織（簡單的記為C），人們之間的貿(mào)易是實(shí)物交易。農(nóng)夫把每年收獲的一般留給自己并拿出1/4給工匠和織布者；工匠們平均分配他們制作的工具給每個(gè)組；織布者留下1/4衣物給自己，并拿出1/4給工匠、1/2給農(nóng)夫。因此，三組人之間的交易情況可以表示為表1。

表1 三種人物之間交易情況表

隨著社會(huì)的發(fā)展，實(shí)物交易形式變得十分的不方便，于是部落決定用貨幣進(jìn)行交易。假設(shè)沒有資本和負(fù)債，那么如何給每類產(chǎn)品定價(jià)，使其公正地體現(xiàn)舊有的實(shí)物交易系統(tǒng)呢？

令x1為農(nóng)作物的價(jià)值，x2為農(nóng)具和工具的價(jià)值，那么由上表的第一行，農(nóng)夫們生產(chǎn)的價(jià)值應(yīng)該等于他們交換到的產(chǎn)品（包括留給自己的）的價(jià)值，即有：x1=（1/2）x1+（1/3）x2+（1/2）x3；同理可得：工匠的生產(chǎn)與交換價(jià)值方程為織布者的生產(chǎn)與交換價(jià)值的方程為整理得方程組：

因此，解決該問題可以歸結(jié)為一個(gè)三元一次方程組的求解問題。用這個(gè)問題引出行列式，可以使學(xué)生了解行列式與線性方程組的密切聯(lián)系。從現(xiàn)實(shí)的、易于理解的部落中的抽象問題入手，讓學(xué)生先了解問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用背景，提起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，這樣就大大的提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

4.3 將難以解答的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再求解

向量空間是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)遇到的第一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，向量空理論充分展現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)“公理化方法和結(jié)構(gòu)化方法”的課程點(diǎn)，應(yīng)把向量空間的教學(xué)置于整個(gè)課程教學(xué)的重要地位。下面嘗試突出數(shù)學(xué)建模思想方法來探討向量空間的教學(xué)。向量空間是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)遇到的第一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，向量空間理論充分展現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)“公理化方法和結(jié)構(gòu)化方法”的課程特點(diǎn)，應(yīng)把向量空間的教學(xué)置于整個(gè)課程教學(xué)的重要地位。下面嘗試以突出數(shù)學(xué)建模思想方法來探討向量空間的教學(xué)。

向量空間理論在信息編碼中的應(yīng)用：

①問題的提出：用向量空間的理論，對(duì)通信系統(tǒng)中要發(fā)送信息建立編碼規(guī)則。在信息傳輸過程中，經(jīng)常受到很多因素的干擾，信息接受方可能收到出錯(cuò)的信息，希望給出一種辦法，使得收方有能力檢查是否有錯(cuò)，并且對(duì)錯(cuò)誤的信息能進(jìn)行修正(考慮只能糾錯(cuò)一位的情形)。

②文體分析與模型建立通信系統(tǒng)的最簡單模型可表示成。

圖1 通訊系統(tǒng)模型

通常的數(shù)字通信問題，對(duì)發(fā)送的信息可用數(shù)字0，1所表示的字符串來表示，因而對(duì)于數(shù)字0，1構(gòu)成的序列，考慮建立合適的代數(shù)系統(tǒng)討論。下面考慮在代數(shù)系統(tǒng)——二元域Z2上建立上述問題的數(shù)學(xué)模型。

模型一：用二元域 Z2上的 15元向量（a1，a2，…，a15）來表示信息，以H作為系數(shù)作Z2上的齊次線性方程組：HX=0

其中 H=[0000…111 0001…111 0110…011 1010…101]T，實(shí)際上H是由十進(jìn)制數(shù)1，2，……，15轉(zhuǎn)換成四位的二進(jìn)制數(shù)后，依次作為它的列而得到的，對(duì)應(yīng)信息編碼理論，稱方程組（1）的解集合是碼集合，其中每一個(gè)碼向量稱為一個(gè)碼字。

編碼規(guī)則：發(fā)送和收到的信息編碼只是一個(gè)碼字，且這樣的編碼具有糾出一個(gè)錯(cuò)誤的能力。

模型分析：（檢錯(cuò)與糾錯(cuò)）設(shè)發(fā)送信息為x，即x滿足HxT=0，若x在傳輸中受到干擾，有一位碼元發(fā)生了改變，假設(shè)收到的信息y錯(cuò)在第 i位，則 y=x+ei，其中 ei=（0，…，0，1，0，…，0），1 為第 i個(gè)分量，由HyT＝Hxt+=H的第i列，這說明若收到的信息y是H的第i列，表明y錯(cuò)在第i位，若HyT=0，表明收到的信息y是正確的。

進(jìn)一步討論：把H的第j列換成第i列，記為H1，得到方程組H1X=0，設(shè) x 為 H1X=0 的解，y錯(cuò)在第 j位，即 y=x+ej，H1y=H1ej=H1的第 j列=H1的第i列，這時(shí)不能由H1來判定y是錯(cuò)在第i列還是第j列，而H的任何兩列都不相同，這就說明HX=0的系數(shù)矩陣H沒有兩列相同，則這種編碼方法能糾出一個(gè)錯(cuò)誤。

糾錯(cuò)方法：設(shè)發(fā)送的信息為x，則收到的信息為y=x+e，計(jì)算a=HyT，若a=0，即y=x為所發(fā)送的信息，若a≠0，則a必是H的某列（設(shè)為第i列），取 e=ei，因此 x=y-ei，即得到所發(fā)的信息 x。

模型二：為提高傳送的可靠性，對(duì)發(fā)送的信息x用二元域Z2上的n元向量表示的基礎(chǔ)上，再增加分量（校驗(yàn)位）。為討論方便，取n=4，設(shè)x=（a1，a2，a3，a4），令 c1＝a1＋a2＋a3，c2＝a1＋a2＋a4，c3＝a1＋a3＋a4，即可建立Z2上的向量空間到的映射 σ：→；（a1，a2，a3，a4）（a1，a2，a3，a4，c1，c2，c3），稱 σ 為編碼規(guī)則，Im σ 稱為碼集合，碼集合中的向量稱為碼字，Z72中的向量稱為字，因此可得：x=（a1，a2，a3，a4，c1，c2，c3）∈Im σ， 即 x 為碼字， 當(dāng)且僅當(dāng)：當(dāng)且僅當(dāng)xT屬于其次線性方程組HX=0的解空間W，其中為校驗(yàn)矩陣。

為提高信息傳輸?shù)目煽啃裕瑢?duì)信道的要求須滿足：出錯(cuò)少的可能性要大，即要求模型中y與x對(duì)應(yīng)的分量的不同的個(gè)數(shù)要少，這就等價(jià)于y-x的非零分量的個(gè)數(shù)少，也就是說e的重量（非零分量的個(gè)數(shù)）小的可能性大。

對(duì)于上述模型，它是在二元域的概念的基礎(chǔ)上建立的，對(duì)于域的概念，學(xué)生大多都能接受，數(shù)域上的行列式理論、多項(xiàng)式理論、線性方程組理論、矩陣運(yùn)算及理論、線性空間和線性變化理論在域的概念上都成立，把域的概念掌握好。

5 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的思考和建議

從近幾年的數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐來看，數(shù)學(xué)建模思想已經(jīng)把各學(xué)科的知識(shí)緊密的聯(lián)系起來。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型教學(xué)案例的選擇應(yīng)遵循兩個(gè)原則，一是，“少而精”，數(shù)學(xué)建模思想的側(cè)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的訓(xùn)練，而不是只是得灌輸，應(yīng)選擇簡單、直觀又能反映課本知識(shí)內(nèi)容且在知識(shí)的應(yīng)用上有深度、有特色的典型例子。二是，“貼近原則”，數(shù)學(xué)建模中的案例應(yīng)該與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容有緊密聯(lián)系，它應(yīng)盡可能地貼近實(shí)際問題，盡管在高等數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想有很多作用，但也有以模型作為知識(shí)切入點(diǎn)不易把握的局限性，因此，在教學(xué)過程中也不應(yīng)過分追求模型的介入來處理教材的內(nèi)容，反之會(huì)有喧賓奪主的嫌疑。如果在教學(xué)中引用過于復(fù)雜的模型例子來分析課本內(nèi)容知識(shí)，就會(huì)導(dǎo)致問題復(fù)雜化，課時(shí)安排也不允許，收不到好的教學(xué)效果。

因此，要把兩者較好的結(jié)合起來，本人建議：

1）平時(shí)注意建立問題題庫。

2）不斷創(chuàng)新，改進(jìn)教學(xué)模式。高等數(shù)學(xué)中的基本概念如多項(xiàng)式、矩陣行列式、線性變換、行列式等都不是孤立存在的，而是有機(jī)地聯(lián)系在一起的。涉及到其中某個(gè)章節(jié)的概念，通常可以利用它們的互相關(guān)系轉(zhuǎn)化為另一概念來表述的形式并加以理解。例如，行列式與線性方程組的聯(lián)系。

3）引導(dǎo)學(xué)生收集高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模方面的資料。

4）滲透數(shù)學(xué)建模工具軟件的應(yīng)用。例如在講到行列式和矩陣的運(yùn)算時(shí)可以使用MATLAB等數(shù)學(xué)工具軟件演示求解過程，使學(xué)生有針對(duì)性的感受知識(shí)的即時(shí)應(yīng)用，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想和方法思考和解決問題。領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

隨著大學(xué)數(shù)學(xué)的改革的推進(jìn)，數(shù)學(xué)建模思想逐漸滲透到各個(gè)學(xué)科，特別是使大學(xué)數(shù)學(xué)的主干課程練習(xí)更加緊密。研究實(shí)踐表明，在高等數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想有利于高等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整合，對(duì)教師的教學(xué)理念和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變都起到至關(guān)重要的作用，對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量以及學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)方面都起到重要的作用。

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