貝塞爾函數(shù)在求解變系數(shù)微分方程的應(yīng)用①

趙忠奎， 曹麗霞

(東北石油大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，黑龍江大慶163318)

1 問題提出

在常微分方程中，關(guān)于二階常系數(shù)線性微分方程的可解性及解的結(jié)構(gòu)，有著詳盡的討論.而對于變系數(shù)的情形，除了幾種特殊類型的方程以外，關(guān)于其解法的討論尚不多見.現(xiàn)在，在常微分方程的研究中，雖然已經(jīng)出現(xiàn)了許多引人注目的專題，但對于方程的解法的探討，仍是十分重要的課題［1］.

本文給出了一類二階變系數(shù)線性微分方程，利用未知函數(shù)的線性變換轉(zhuǎn)化虛宗量的貝塞爾方程來求解，其通解用虛宗量的貝塞爾函數(shù)表達式表示出來.

考慮如下二階變系數(shù)線性微分方程

其中G(x)是已知可微函數(shù)，n為實數(shù)，λ為不等于零的實數(shù).

2 方程求解

來求解方程(1)，經(jīng)適當未知函數(shù)的線性變換能化為虛宗量的貝塞爾方程.事實上，作變換［2］

將函數(shù)y換成u

把它代入方程(1)，便得到以u為未知函數(shù)二階線性微分方程

再作變換

并記

則得到

方程(4)是以v為未知函數(shù)虛宗量的貝塞爾方程［3］

從而，得到方程(4)的通解為

當n不為整數(shù)時，

當n為整數(shù)時，

這里，In(t)，I－n(t)為第一類虛宗量的貝塞爾函數(shù)，Kn(t)為第二類虛宗量的貝塞爾函數(shù)［4］

其中

(n=1，2，3，…γ 為歐拉常數(shù))

由(5)(6)式可得方程(3)的通解為

當n不為整數(shù)時

將(7)(8)式分別代入(2)式便得到微分方程(1)的通解為

當n不為整數(shù)時

當n為整數(shù)時

3 舉例應(yīng)用

下面舉兩個例子說明這種可解類型的應(yīng)用

例1 解方程，

解 將方程變形成為

方程(10)便是方程(1)的類型，于是作變換

代入方程(10)，得到

則得到

由于n=2為整數(shù)，根據(jù)(5)式得到方程(13)的通解為

由(14)式得到方程(12)的通解

將(15)式代入(11)化簡整理便得到原方程(9)的通解為

例2 解方程

解 將方程變形為

方程(17)便是方程(1)的類型，于是作變換

代入方程(17)，得到

則得到

其中

由(21)式得到方程(19)的通解

將(22)式代入(18)式化簡整理后便得到原方程的通解為

4 結(jié)束語

從上面的討論和應(yīng)用可以看出，根據(jù)虛宗量的貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，當n為半奇數(shù)時，方程(1)的解為初等函數(shù);當n不為半奇數(shù)時，方程(1)的解為用虛宗量的貝塞爾函數(shù)表達式表示出來的級數(shù)形式.

［1］王守田 關(guān)于二階變系數(shù)線性常微分方程的轉(zhuǎn)化問題［J］.齊齊哈爾師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，17(5):7－10.

［2］姬志飛 淺析二階齊次線性變系數(shù)微分方程一個可積類型［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報2006，20(1):125 －128.

［3］王元明.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2004.1:130 －145.

［4］何淑芷.數(shù)學(xué)物理方法［M］.廣州:華南理式大學(xué)出版社，1994.8:251 －265.