一類解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式

郭 棟，李宗濤，楊家穩(wěn)

(1．滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽滁州239000;2．廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，廣東廣州510403)

1 引言與結(jié)果

FEKETE和SZEG?［1］于1933年證明了如下結(jié)果．

且對每個μ等號均能成立．

其中的冪函數(shù)取主值．當(dāng) θ=0時，Bθ(λ，α，ρ)=B(λ，α，ρ)．文獻［2］、［3］討論了 B(λ，α，ρ)的單葉條件、單葉半徑、包含關(guān)系、偏差定理、函數(shù)的不等式性質(zhì)和覆蓋定理．文獻［4］討論了 B(λ，α，ρ)的Fekete-Szeg?不等式．本文研究了 Bθ(λ，α，ρ)的Fekete-Szeg?不等式，得到了它的精確結(jié)果，文獻［4］中的定理1是本文定理1的一個推論，但使用的方法不同．

記

設(shè)f(z)=z+a2z2+a3z3+…，φ(z)=

由于

通過計算有

比較系數(shù)得

由于 e-2iθ+1=e-iθ(eiθ+e-iθ)=2e-iθcosθ，令u=eiθ/(2cosθ)，于是有

為了導(dǎo)出本文的主要結(jié)果，先給出如下引理:

引理1［5］設(shè) φ(z)=c1z+c2z2+c3z3+…在 U內(nèi)解析且滿足，極值函數(shù)φ(z)=z2;

在定理1中令θ=0，得

注釋1 推論1就是文獻［4］的定理1．

特別地當(dāng)θ=0時，有

其中，μ1=

2 定理的證明

定理1的證明 利用引理中的估計(ii)，對于

或

令

當(dāng)(α+λ)(α+2λ)≠0時，有

于是

則式(4)可以寫成

綜上所述，本定理得證．

推論2的證明 當(dāng)μ是實數(shù)時，由于

于是

當(dāng)λ ＞ -α/2，-∞ ＜μ≤(1-α)/2，或λ ＜ -α/2，+∞＞μ≥(1-α)/2時，

綜合式(5)、(6)，得

結(jié)論得證．

［1］FEKETE M，SZEG? G．Eine Bermrkung uberungerade schlichte funktionen［J］．JLondon Math Soc，1933，8:85-89．

［2］LIU Mingsheng．On certain subclass of P-valent functions［J］．Soochow Jof Math，2000，26(2):163-171．

［3］LIU Mingsheng．Properties for some subclasses of analytic functions［J］．Bulletin of the Institute of Math Acdaemia Sinica，2002，30(1):9-26．

［4］郭棟，劉名生．關(guān)于解析函數(shù)類的Fekete-Szeg?問題［J］．華南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2007(2):33-38．

［5］NEHARIZ．Conformalmapping［M］．New York:McGraw-Hill，1952:108．