四元數(shù)分析中正則函數(shù)向量的非線性邊值問題

鄢盛勇

(成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川成都611130)

四元數(shù)分析、Clifford分析是近代分析的重要分支，它有非常重要的理論意義和應(yīng)用價值，如在Maxwell方程、Yang-Mill場理論以及量子力學(xué)等方面都應(yīng)用到它的結(jié)論［1-2］．近年來許多學(xué)者研究了四元數(shù)分析中的一些奇異積分算子，并考慮了其中一些邊值問題［3-4］．文獻(xiàn)［5］研究了 Clifford分析中無界域上正則函數(shù)向量的非線性邊值問題．本文利用積分方程的方法和Schauder不動點(diǎn)定理，討論四元數(shù)分析中有界域上正則函數(shù)向量適合下列邊界條件的一類帶共軛的非線性邊值問題:

證明了其解的存在性，給出了解的積分表達(dá)式，推廣了文獻(xiàn)［4］中有關(guān)邊值問題的一些結(jié)果．

1 預(yù)備知識

用2表示四元數(shù)空間，設(shè)Ω是2中一有界區(qū)域，其邊界?Ω=S是一光滑曲面．用Cβ(S)表示S上有界H?lder連續(xù)函數(shù)所構(gòu)成的函數(shù)集，其H?lder指數(shù)為 β(0＜β＜1)．對?φCβ(S)，定義模C(φ)+H(φ)，其中 C(φ)．顯然 C(S)構(gòu)成一個 Baβnach 空間，且對?φ1，φ2Cβ(S)，易得

定義 1［4］設(shè) φ(ζ)C(S)(0＜ β ＜1)，稱函β數(shù)ψ(z)為Cauchy型積分，其中

引理 1［4］當(dāng) tS時，在Cauchy主值意義下，有

引理2［4］(Plemelj公式)用 Ω+表示 Ω，Ω-表示ˉΩ的余集．當(dāng)z從Ω+和 Ω-分別趨近t(S)時，定義1中的函數(shù)ψ(z)的極限存在，分別記為ψ+(t)和ψ-(t)，且滿足:

引理 3［4］設(shè) φ(ζ)C(S)(0 ＜ β ＜1)，則βCauchy型積分 ψ(z)的邊界值 ψ±(ζ)Cβ(S)，并且ψ(z)Cβ(Ω±)．

引理4 設(shè) ζ，t1，t2S，有

2 正則函數(shù)向量

設(shè) F(t)=(f1(t)，f2(t)，…，fn(t))，G(t)=(g1(t)，g2(t)，…，gn(t))(fi(t)，gi(t)Cβ(S)，i=1，…，n)是函數(shù)向量，定義加(減)法運(yùn)算和乘法運(yùn)算如下:F(t)±G(t)=(f1(t)±g1(t)，…，fn(t)±gn(t))，F(xiàn)(t)?G(t)=(f1(t)g1(t)，…，fn(t)gn(t))．

定義函數(shù)向量的絕對值為:

用Cnβ(S)表示S上依絕對值H?lder連續(xù)的函數(shù)向量的集合，其H?lder指數(shù)都為β(0＜β＜1)，連續(xù)是指每個分量都連續(xù)．對?FCnβ(S)，定義C(F)+H(F)，其中 C(F)=sup，H(F)=．容易證得下述結(jié)果:

引理5(1)Cnβ(S)按范數(shù)構(gòu)成一個Banach空間，且

定義2 若fi(x)(xΩ，i=1，…，n)是正則函數(shù)，則稱 F(x)=(f1(x)，f2(x)，…，fn(x))是 Ω 上的正則函數(shù)向量．

由引理2易得正則函數(shù)向量的Plemelj公式:

其中(PF)(t)=((Pf1)(t)，…，(Pfn)(t))．

3 正則函數(shù)向量的非線性邊值問題

設(shè)Ω是具有光滑Liapanov邊界S的有界區(qū)域，記號 Ω+和 Ω-同引理 2．設(shè) A(t)=(a1(t)，…，an(t))，B(t)=(b1(t)，…，bn(t))，C(t)=(c1(t)，…，cn(t))，D(t)=(d1(t)，…，dn(t))，E(t)=(e1(t)，…，en(t))，函數(shù)向量 F(t，Φ+(t)=(f1，…，fn)在S×2×2×2×2連續(xù)．我們要找在Ω±上正則，在上連續(xù)，且滿足Φ-(∞)=0的函數(shù)向量Φ(z)=(φ1(z)，…，φn(z))，使其滿足式(1)的邊界條件，稱此邊值問題為問題N．

定義算子 θφi=Pφi(i=1，…，n);θφ =(θφ1，…，θφn)．將此代入式(1)整理得:(A+C)?θφ +(B+D)?θφ+

其中I為各分量為1的常數(shù)向量．引入算子Lφ=(A+C)?θφ+(B+D )+(A+I)?φ+B?ˉφ-E?F，故式(3)可寫成:則邊值問題N轉(zhuǎn)化為求解積分方程(4)．

下面設(shè)S是光滑定向的Liapunov曲面，γ為其Liapunov曲面常數(shù)．按其定義，對于S內(nèi)任意點(diǎn)t，以t為中心，γ(或小于γ的正數(shù))為半徑的超球把S分成兩部分，它們分別位于超球內(nèi)外，并且與過t的法線相平行的直線和S在超球內(nèi)部分的交點(diǎn)不超過一個．以t為原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系，ξ4軸放在沿S在t點(diǎn)處外法線上，設(shè)S包含在超球內(nèi)的部分為S1，則S1的方程可表示為 ξ4= ξ4(ξ1，ξ2，ξ3)．記 S1在 t點(diǎn)切平面內(nèi)的投影區(qū)域?yàn)棣?，設(shè)S1上任意點(diǎn)ζ處外法

定理1 設(shè) φi(t)Cβ(S)(0 ＜ β ＜1，i=1，…，n)，S是光滑定向的Liapunov曲面，則存在與φ無關(guān)的正常數(shù)G0，使得(下面的記號中，G1，G2，…都同樣表示與φ無關(guān)的正常數(shù))．

則tS

對于I1，由前面對Liapunov曲面的討論有

類似地，對于I2有

下面估計I3:

對于L1，因積分是正常積分，且積分區(qū)域S2有界，故

又因?yàn)镾有界，故取正常數(shù)N，使得以t1為中心，N為半徑的超球包含S，利用球坐標(biāo)變換有:

由式(10)、(11)、(13)可得:

由式(7)～(9)、(14)，結(jié)合三角不等式可得:

其次考慮3δ≥γ的情況．由式(7)有

故根據(jù)式(15)、(16)，不管哪種情況都可得

推論1 當(dāng) φi(t)Cβ(S)時，0 ＜β ＜1，有

證明 由定理1和引理5，有

推論3 設(shè) φ(t)滿足定理2的要求，Pφ=(Pφ1，…，Pφn)，則有

定理3 設(shè)問題N中A(t)，B(t)，C(t)，D(t)，E(t)Cn(S)，函數(shù)向量F滿足:β

設(shè) f(t0，0，0，0，0)=0，t0為 S 上一定點(diǎn)，=δ，則當(dāng)0＜δ＜，問題N可解，且解表達(dá)式如式(22)．

證明 記HM=≤M}．首先證明算子L映HM到自身．由定理2、引理5及推論2可得:

下證L在HM上連續(xù)．對任意的一致收斂函數(shù)向量列{φ(m)}?HM，設(shè)在S上一致收斂于函數(shù)向量φHM(指函數(shù)向量列{φ(m)}的每一個分量形成的函數(shù)列{φ(im)}都一致收斂于函數(shù)向量φ的相對應(yīng)的分量{φi}，i=1，…，n)，即對?ε ＞0，當(dāng) n 足夠大時，恒有

所以L是映射HM到自身的連續(xù)映射．根據(jù)Arzela-Ascoli定理知，HM是連續(xù)空間中Cn(S)的緊子集．因此連續(xù)映射L映射Cn(S)中的閉凸集HM到自身，并且 L(HM)也是 Cn(S)中的緊子集．再利用Schauder不動點(diǎn)定理知，至少存在一個適合奇異積分(4)，所以問題N至少存在一解，并且解的積分表達(dá)式:

顯然滿足Φ(∞)=0．

［1］GROSSF，TZE H C．Complex and quaternionic analyticity in chiral and gauge theories［J］．Ann of Phys，1980，128:29-130．

［2］GüRLEBECK K，SPR?SSIG W．Quaternionic analysis and elliptic boundary value problem［M］．Boston:Birkh?user，1990．

［3］SUDBERY A．Quaternionic analysis［J］．Math Proc Comb Phil Soc，1979，85:199-225．

［4］楊丕文．四元數(shù)分析與偏微分方程［M］．北京:科學(xué)出版社，2009．

［5］謝永紅，楊賀菊．Clifford分析中無界域上向量值函數(shù)的非線性邊值問題［J］．高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2010，25(2):163-171．