化歸思想在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用

姬利娜，鄭群珍

(1.河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)系，河南鄭州 450002;2.河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南鄭州 450046)

化歸思想在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用

姬利娜1，鄭群珍2

(1.河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)系，河南鄭州 450002;2.河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南鄭州 450046)

通過(guò)分析常微分方程(組)的解法及一階常微分方程解存在唯一性定理的證明，全面總結(jié)了常微分方程中的化歸思想，并闡述了在常微分方程教學(xué)中融入化歸思想的意義.

常微分方程;教學(xué);化歸思想

0 引言

常微分方程是17世紀(jì)與微積分同時(shí)誕生的一門(mén)理論性極強(qiáng)且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一.在歷史上，牛頓正是通過(guò)求解常微分方程證實(shí)了地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓的;亞當(dāng)斯和勒威耶通過(guò)常微分方程的計(jì)算預(yù)見(jiàn)了海王星的存在.隨著科學(xué)的發(fā)展，常微分方程滲透到了諸如電信、化工、航天、生物、醫(yī)藥、經(jīng)濟(jì)、信息、軍事、控制、管理乃至社會(huì)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，顯示了其蓬勃的生機(jī)和活力.

常微分方程是數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)的必修基礎(chǔ)課，對(duì)先修課程(數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù))及后繼課程(數(shù)學(xué)物理方程、微分方程的數(shù)值解、微分幾何、數(shù)學(xué)模型等)起到了承前啟后的作用.

數(shù)學(xué)思想方法以具體的教學(xué)內(nèi)容為載體又高于具體的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)過(guò)程中融入數(shù)學(xué)思想方法可以使學(xué)生深化理解、發(fā)展思維、提高素質(zhì).化歸思想是常微分方程的重要數(shù)學(xué)思想方法，常數(shù)變易法、代換法、逐次逼近法等都體現(xiàn)了該思想的應(yīng)用.化歸思想是指“在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，把待解決的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題”［1］.關(guān)于在常微分方程教學(xué)中融入化歸思想的重要性和意義以及化歸思想在常微分方程求解中的應(yīng)用已有一些研究［2－4］.本文將全面討論總結(jié)常微分方程中體現(xiàn)化歸思想的問(wèn)題.

1 常微分方程中的化歸思想

1.1 一階常微分方程初等解法中的化歸

一階常微分方程的5種常見(jiàn)類(lèi)型(變量分離方程、齊次方程、線性方程、伯努利方程、恰當(dāng)方程)中，作為基礎(chǔ)的是變量分離方程和恰當(dāng)方程，其他類(lèi)型的方程均可借助變量變換或積分因子化為這兩種類(lèi)型.

1.2 一階隱常微分方程解法中的化歸

一階隱常微分方程F(x，y，y')難以直接解出y'，可通過(guò)引入?yún)?shù)將其化為導(dǎo)數(shù)已解出的類(lèi)型(即一階常微分方程的五種常見(jiàn)類(lèi)型之一)求解.

1.3 高階微分方程解法中的化歸

求解常系數(shù)齊次線性方程的特征根法(或歐拉待定指數(shù)函數(shù)法)把微分方程的求解問(wèn)題化為代數(shù)方程的求根問(wèn)題，從而省去了相對(duì)繁雜的積分運(yùn)算.用于求非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦(或余弦)函數(shù)以及它們的某種乘積組合的常系數(shù)非齊次線性方程的待定系數(shù)法，如同特征根法一樣，把原問(wèn)題化為代數(shù)方程求根問(wèn)題.求一般二階非齊次線性方程特解的冪級(jí)數(shù)解法和待定系數(shù)法的簡(jiǎn)化思想類(lèi)似.求解常系數(shù)非齊次線性方程特解的拉普拉斯變換是先將線性微分方程轉(zhuǎn)化為復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程，再由拉普拉斯變換表或反變換公式求出微分方程的解.求解一般非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，是利用對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解通過(guò)變量變換將其轉(zhuǎn)化為易求解的方程或方程組.通過(guò)變量替換將高階方程化為低階方程也是化歸思想的應(yīng)用.

1.4 一階微分方程解的存在唯一性證明中的化歸

一階微分方程解的存在唯一性證明，是將微分方程的求解轉(zhuǎn)化為積分方程的求解;而相應(yīng)積分方程的解的存在唯一性證明，又是通過(guò)逐步逼近法將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的逐步逼近函數(shù)序列的極限函數(shù)的存在唯一性證明的.

1.5 線性微分方程組解法中的化歸

小型線性微分方程組可通過(guò)微分及線性運(yùn)算消元逐步轉(zhuǎn)化為含一個(gè)未知函數(shù)的高階方程.求解常系數(shù)齊次線性方程組的特征值法將方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為高等代數(shù)中的特征值求解問(wèn)題.

2 結(jié)論

化歸思想是數(shù)學(xué)思想方法論中重要的思想方法之一.盡管不同的問(wèn)題所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)化歸方法不同，但其思想原則都是化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知.化歸思想在待解決的問(wèn)題和已解決的問(wèn)題之間架起了橋梁.化歸思想在微積分中也有廣泛的應(yīng)用［5－6］，如高斯公式的證明可化為斯托克斯公式，斯托克斯公式的證明可化為格林公式，而格林公式的證明可化為牛頓—萊布尼茲公式.

在常微分方程教學(xué)中融入化歸思想，不僅可以使學(xué)生站在更高層面理解學(xué)習(xí)內(nèi)容、體會(huì)問(wèn)題本質(zhì)，還可使學(xué)生領(lǐng)悟?qū)W習(xí)方法，在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中受益并形成創(chuàng)新意識(shí)、敢于挑戰(zhàn)新的問(wèn)題.

［1］ 喻平.數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸理論與方法［M］.桂林:廣西師范大學(xué)出版社，1999.

［2］ 黃雪燕.常微分方程的化歸思想［J］.長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，26(4):24－26.

［3］ 張亞圖，王貝.常微分方程教學(xué)中化歸思想的滲透［J］.江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，23(4):53－55.

［4］ 余惠霖.幾種常微分方程解法中的數(shù)學(xué)化歸思想［J］.柳州師專學(xué)報(bào)，2011，26(2):123－126.

［5］ 嚴(yán)慧萍，夏恒.化歸在微積分學(xué)中的應(yīng)用［J］.陜西工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，20(4):66－68.

［6］ 張敏.數(shù)學(xué)分析中導(dǎo)數(shù)知識(shí)的數(shù)學(xué)思維方法［J］.寧德師專學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，22(3):285－287.

Application of Transformation Thought in Ordinary Differential Equation Teaching

JI Li-na1，ZHENG Qun-zhen2

(1.Department of Information and Computational Science，Henan Agricultural University，Zhengzhou450002，China; 2.Department of Mathematics，Henan Institute of Education，Zhengzhou450046，China)

The transformation thought in ordinary differential equation is overall summarized by analyzing the solutions of ordinary differential equations(systems)and the proof of the theorem of existence and uniqueness of the solution of first-order ordinary differential equation.The importance of emphasizing the transformation thought in the ordinary differential equation teaching is also discussed.

ordinary differential equation;teaching;transformation thought

G642.0;O175.1

A

1007－0834(2012)01－0053－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.01.017

2011－11－24

國(guó)家自然科學(xué)基金(11101332)

姬利娜(1979—)，女，河南新安人，河南農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)系講師，博士，主要研究方向:偏微分方程.