聚焦邏輯推理 巧構(gòu)圖形解題

吳發(fā)繼

摘? 要：在解題教學(xué)中，教師應(yīng)該與學(xué)生共同探究、追根溯源、聚焦推理、深度思考，從不同角度探求解決問(wèn)題的方法. 文章以一道幾何題為例，淺談在教學(xué)中要如何解題及為什么這樣解題，并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行反思、變式、拓展，從而使學(xué)生在解題中積累經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)化解題方法，發(fā)展思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：邏輯推理;巧構(gòu)圖形;輔助元素

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題，解題能力是一種綜合能力的體現(xiàn). 解題教學(xué)可以分為三個(gè)層次：第一個(gè)層次，只教“怎樣做”，即簡(jiǎn)單解讀解題過(guò)程;第二個(gè)層次，教會(huì)學(xué)生“怎樣做”，即以知識(shí)轉(zhuǎn)化為思路引領(lǐng)，追根溯源，明晰“怎么想到這么做”;第三個(gè)層次，教會(huì)學(xué)生類比，即由一道題拓展到一類題，追求“解一題，通一片”的效果. 筆者認(rèn)為，解題教學(xué)的關(guān)鍵在于以下三個(gè)步驟. 第一步，怎么想，為什么這么想？第二步，怎么做，還有其他方法嗎？第三步，反思，再拓展. 本文以一道幾何題為例，淺談如何運(yùn)用以上幾個(gè)步驟對(duì)典型問(wèn)題與方法進(jìn)行再探究、再拓展，意在加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生能反思解題、學(xué)會(huì)解題，掌握基本的解題策略，領(lǐng)悟解題之道.

一、題目呈現(xiàn)與分析

題目? 如圖1，在四邊形ABCD中，[∠BAD= ∠BCD=]90°，[BC=CD，AB=3，AD=4.] 求AC的長(zhǎng).

此題圖形簡(jiǎn)潔、數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單、條件清晰. 求線段的長(zhǎng)，學(xué)生首先會(huì)想到以下3種思路. 思路1是運(yùn)用勾股定理、相似等方法，卻發(fā)現(xiàn)AC所在的三角形不是直角三角形，于是想到添加輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題. 思路2是通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)已知條件[AB=3，AD=][4]與AC有著某種關(guān)聯(lián)，但是如何將其建立聯(lián)系呢？能否將AB，AC，AD轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，這是一個(gè)難點(diǎn)，仔細(xì)分析，喚醒解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)利用旋轉(zhuǎn)變換可以解決. 思路3是在四邊形ABCD中，由[∠BAD=∠BCD=][90°]可以得到A，B，C，D四點(diǎn)共圓，利用圓的知識(shí)加以解決. 以上3種思路通過(guò)添加輔助線和嚴(yán)密的邏輯推理都能形成解決問(wèn)題的方案，不斷的將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較熟悉的問(wèn)題，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

二、解法探究

1. 構(gòu)造直角三角形求解

解法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)A，C分別作[AE⊥BD，CF⊥BD，] 垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).

在[Rt△ABD]中，由勾股定理，得[BD=5.]

在[Rt△ABD]和[Rt△BCD]中，根據(jù)等面積法，分別求得[AE=][125，] [CF=52.]

在[Rt△ABE]中，由勾股定理，得[BE=95.]

在等腰直角三角形[BCD]中，由[CF⊥BD，] 得[BF=][12BD=52.]

所以[EF=BF-BE=710.]

由[AE⊥BD，CF⊥BD，] 易證得[△AEO∽△CFO.]

所以[AOCO=EOFO=AECF.]

所以[CO=2524AO，F(xiàn)O=2524EO.]

由[EF=EO+OF，] 易得[EO=1235.]

在[Rt△AEO]中，由勾股定理，得[AO=1227.]

所以[CO=25214.]

所以[AC=AO+CO=722.]

此解法從求線段長(zhǎng)的基本方法切入，過(guò)程比較復(fù)雜，計(jì)算量也較大. 但這種方法是學(xué)生容易想到的方法，也貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，是符合學(xué)生認(rèn)知水平的自然解法.

2. 運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換求解

解法2：如圖3，將[△ACD]繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到[△ECB].

則[△ACD≌△ECB，∠ECA=90°.]

所以[AC=EC，AD=BE，∠ADC=∠EBC.]

在四邊形ABCD中，易證得[∠ABC+∠ADC=180°，]

所以[∠ABC+∠EBC=180°.]

所以A，B，E三點(diǎn)共線.

所以[AE=AB+BE=7.]

在等腰直角三角形AEC中，由勾股定理，可得[AC=722.]

此解法運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)變換，過(guò)程較為簡(jiǎn)單，計(jì)算量也相對(duì)較小，但難點(diǎn)在于如何想到利用旋轉(zhuǎn)變換解題. 其實(shí)，對(duì)于這種方法，學(xué)生已經(jīng)有過(guò)相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于題目中出現(xiàn)已知幾條線段的長(zhǎng)，但線段較為分散且無(wú)法直接利用時(shí)，可以利用旋轉(zhuǎn)變換加以解決. 旋轉(zhuǎn)變換改變圖形的位置，但不改變圖形的形狀與大小，有利于組合圖形，構(gòu)造出新的特殊圖形.

3. 利用輔助圓求解

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深度思考：由條件中的[∠BAD=][∠BCD=90°]還能推出什么結(jié)論？師生共同探究、討論，發(fā)現(xiàn)可以引入輔助圓來(lái)解決問(wèn)題.

解法3：在[Rt△ABD]中，由勾股定理，得[BD=5.]

由已知條件，易證得[BC=CD=522.]

因?yàn)閇∠BAD+∠BCD=180°.]

所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

因?yàn)閇BC=CD，]

所以[∠CAD=∠CBD=45°.]

如圖4，過(guò)點(diǎn)C作[CM⊥AD，] 垂足為點(diǎn)M.

則[AM=CM.]

設(shè)[AM=x，] 則[CM=x，DM=4-x.]

在[Rt△CDM]中，由勾股定理，得[CM2+DM2=CD2，]

即[x2+4-x2=5222.]

解得[x=72]或[x=12]（舍）.

在[Rt△AMC]中，由勾股定理，得[AC=722.]

對(duì)于此種解法，如何才能想到添加輔助圓呢？此題中有一個(gè)關(guān)鍵條件就是[∠BAD=][∠BCD=90°，] 即[∠BAD+][∠BCD=][180°，] 通過(guò)對(duì)角互補(bǔ)得到四點(diǎn)共圓. 在日常教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生多積累解題經(jīng)驗(yàn)，反思解題思路，內(nèi)化解題方法，從而提升學(xué)生的解題能力.

三、思維拓展

1. 借力旋轉(zhuǎn)變換再探究

問(wèn)題：題目中線段AB，AC，AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，在解法2中，如圖3，利用旋轉(zhuǎn)變換求AC長(zhǎng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可以將AB，AC，AD三條分散的線段集中到同一個(gè)三角形中構(gòu)造出[△AEC，] 得到[△ACE]是等腰直角三角形. 由勾股定理易得[AE=2AC，] 即[AB+AD=][2AC，] 得到AB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系.

通過(guò)以上分析發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)變換解決等腰直角三角形問(wèn)題時(shí)，可以將條件中分散的線段集中到一起構(gòu)造出特殊圖形，從而找到問(wèn)題解決的切入點(diǎn).

2. 借力旋轉(zhuǎn)變換再拓展

變式：如圖5，[⊙O]的半徑為1，點(diǎn)A，B在[⊙O]上，C為[⊙O]內(nèi)一點(diǎn)，[AB=AC，∠BAC=90°，] 求OC的最小值.

在上述題目求線段AC的過(guò)程中，已經(jīng)討論過(guò)當(dāng)有等腰直角三角形時(shí)可以嘗試?yán)眯D(zhuǎn)變換進(jìn)行解題. 于是有如下解法.

解：如圖6，連接OA，將[△OAC]繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到[△DAB，] 連接OB，OD.

由旋轉(zhuǎn)，得[△OAC≌△DAB，∠DAO=90°.]

所以[DB=OC，AD=AO.]

所以在[Rt△OAD]中，由勾股定理，得[OD=2.]

在[△ODB]中，因?yàn)閇BD>OD-OB=2-1，]

所以O(shè)C的最小值是[2-1.]

此題中，對(duì)于求線段OC的最小值問(wèn)題，由學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)可知，條件中已知了[AB=AC，∠BAC=] [90°，] 從而聯(lián)想到運(yùn)用旋轉(zhuǎn)來(lái)解題，將分散的線段集中到同一個(gè)三角形中，最后再利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”使問(wèn)題得到解決.

四、幾點(diǎn)思考

1. 聚焦邏輯推理，喚醒解題思路

數(shù)學(xué)解題的核心在于如何分析問(wèn)題、喚醒解題思路、提出解決方案，而解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于嚴(yán)密的邏輯推理. 對(duì)于問(wèn)題的分析，教師要引導(dǎo)學(xué)生一層一層揭開(kāi)問(wèn)題的面紗，直擊問(wèn)題的核心，形成嚴(yán)密的邏輯推理思路，從而使學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入地理解. 對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，分析上述題目的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造一個(gè)線段AC所在的直角三角形. 給出的3種解法各有特點(diǎn)，無(wú)論哪種方法都需要一個(gè)解決問(wèn)題的切入點(diǎn). 解法1是作垂線，綜合運(yùn)用勾股定理、相似、等面積法，求解難度較大，但這是貼近學(xué)生認(rèn)知水平的一種自然解法;對(duì)于解法2和解法3，學(xué)生不易想到，切入點(diǎn)也不同，一個(gè)是利用旋轉(zhuǎn)變換將分散的線段集中到同一個(gè)三角形中，另一個(gè)是從四點(diǎn)共圓的角度思考. 這兩種解法都需要學(xué)生有日常解題經(jīng)驗(yàn)的積累.

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題首先要分析題目的條件和結(jié)論，思考解決問(wèn)題的常用方法，喚醒學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中積累的解題經(jīng)驗(yàn)，制定解題方案，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力.

2. 添加輔助元素，內(nèi)化解題方法

解題教學(xué)的重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生從“怎樣解題”到“學(xué)會(huì)解題”. 波利亞曾指出，引入輔助元素是擬定解題方案的常用方法. 如何引入輔助元素，從何處添加輔助線，這是解題的關(guān)鍵所在. 題目中要求線段AC的長(zhǎng)，學(xué)生容易想到勾股定理、相似、等面積法等，也就是需要構(gòu)造直角三角形. 結(jié)合題目條件具體分析，因?yàn)轭}目中兩個(gè)直角三角形的各邊長(zhǎng)都能求出，運(yùn)用等面積法可以求出斜邊上的高，所以自然想到作兩條垂線段. 解法2特點(diǎn)明顯，要喚醒學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)，將分散的線段集中到同一個(gè)三角形中. 解法3需要學(xué)生有一定的分析問(wèn)題的能力和解題經(jīng)驗(yàn)作為支撐. 在四邊形中，由兩個(gè)對(duì)角互補(bǔ)聯(lián)想到四點(diǎn)共圓，再根據(jù)圓周角定理得到[∠CAD=45°.] 如何利用45°這個(gè)特殊角呢？學(xué)生自然會(huì)想到等腰直角三角形，于是作一條垂線的思路自然生成，最后再根據(jù)勾股定理、方程等相關(guān)知識(shí)加以解決. 解題方法的不同代表思考的方向不同，切入點(diǎn)不同，學(xué)生要反思每一種解法，理解每一種解法的特點(diǎn)，并思考能否將這種方法遷移到其他問(wèn)題的解決中. 這樣長(zhǎng)期的思考能使學(xué)生內(nèi)化解題方法、提升解題能力、發(fā)展解題素養(yǎng).

3. 反思解題過(guò)程，發(fā)展思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是思維培養(yǎng)的主陣地. 波利亞把解題概括為四個(gè)步驟，即“弄清問(wèn)題—擬定計(jì)劃—實(shí)現(xiàn)計(jì)劃—回顧反思”. 部分師生常常會(huì)忽略第四步，而回顧反思是對(duì)題目進(jìn)一步的深刻思考，反思解題方法和解題思路，并進(jìn)一步思考能否對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式和拓展等，意義深遠(yuǎn). 反思上述題目，線段的轉(zhuǎn)化常常需要借助圖形變換，解題的過(guò)程體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)變換的價(jià)值，方法簡(jiǎn)單、思維深刻，這種方法在等腰直角三角形、等邊三角形、正方形等問(wèn)題中都有著廣泛應(yīng)用.

對(duì)于解題教學(xué)，教師不能僅停留在會(huì)解題、會(huì)講題的層面，更要教會(huì)學(xué)生解題，與學(xué)生一起反思知識(shí)中蘊(yùn)涵的思想方法，總結(jié)方法的步驟序列，剖析步驟序列中的指導(dǎo)思想，感悟方法之中的思想策略. 通過(guò)解題后的反思使學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟基本思想方法，進(jìn)而將外在的學(xué)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的精神力量. 解題反思是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行再探究、再拓展，引發(fā)學(xué)生新的思考，有利于培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，使學(xué)生將已有的解題經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到新的情境中，從而發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的解題素養(yǎng).

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