近極槽永磁電動機齒頂漏磁對轉(zhuǎn)矩的影響

夏加寬 彭 兵 王成元 董 婷 孫宜標(biāo) 韓桂新

（1.沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 沈陽 110870 2.沈陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院機械裝備系 沈陽 110045）

1 引言

直接驅(qū)動的表貼式永磁同步電機通常采取近極槽方案，獲得了一些優(yōu)異的性能，如高轉(zhuǎn)矩密度、高的系統(tǒng)效率和高伺服精度[1-3]，在航空航天、機床、汽車、計算機等領(lǐng)域倍受青睞[4-7]。與傳統(tǒng)分布繞組永磁電機相比，近極槽永磁同步電機的磁路發(fā)生了一些變化，帶來了一些寄生影響，齒頂漏磁是其寄生影響之一。

嚴(yán)重的齒頂漏磁降低了永磁材料的利用率，降低了電機的輸出轉(zhuǎn)矩。當(dāng)電機旋轉(zhuǎn)時還會引起鏈過各相繞組的磁通發(fā)生周期性波動，使電機繞組感生的反電動勢發(fā)生波動，產(chǎn)生紋波轉(zhuǎn)矩，影響系統(tǒng)的控制精度[8]。文獻[9]研究了近極槽配合表貼式永磁同步電機齒頂漏磁的有限元計算方法，得到了一些有益的結(jié)論；文獻[10]研究了單齒齒頂漏磁的計算方法，給出了單齒齒頂漏磁的解析表達式；文獻[11]研究了單齒齒頂漏磁和平均每極齒頂漏磁的計算方法，分析了平均每極齒頂漏磁的大小和電機結(jié)構(gòu)參數(shù)對齒頂漏磁的影響。但是以上文獻均沒有分析齒頂漏磁對鏈過三相繞組主磁通的影響，沒有分析其引起的紋波轉(zhuǎn)矩和對平均電磁轉(zhuǎn)矩降低的程度。

本文以單齒齒頂漏磁為基礎(chǔ)，分析了一對極下的齒頂漏磁的規(guī)律，把齒頂漏磁和三相繞組聯(lián)系了起來。接著對齒頂漏磁函數(shù)進行了傅里葉分解。然后分析了齒頂漏磁與反電動勢和轉(zhuǎn)矩的關(guān)系。最后，以120槽80極外轉(zhuǎn)子永磁同步電機為例，結(jié)合Ansoft有限元仿真軟件驗證齒頂漏磁對電機轉(zhuǎn)矩影響分析方法的正確性。

2 近極槽表貼式永磁電機齒頂漏磁諧波

2.1 單齒齒頂漏磁函數(shù)

假設(shè)鐵心導(dǎo)磁率為無窮大，不考慮槽口漏磁，根據(jù)文獻[11]可知，當(dāng)齒中線與鄰近的q軸重合時，該齒的齒頂漏磁最大；齒中線與鄰近的d軸重合時，該齒的齒頂漏磁為零，在一個齒距內(nèi)，單齒齒頂漏磁與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過角度θ 的關(guān)系如圖1所示。

圖1 單齒齒頂漏磁通圖Fig.1 Zigzag leakage flux diagram of one tooth

圖1中，z為槽數(shù)；p為極對數(shù)；bs為槽距；τ為極距；bm為永磁體寬度，bm=αpτ，αp是極弧系數(shù)；n為轉(zhuǎn)速；Φm為永磁體向外磁路提供的磁通；ΦLt為齒頂漏磁通；θ為q軸相對定子槽中線沿氣隙圓周的夾角。

可以看出，它是一個周期函數(shù)，其基波分量的波長等于一個齒距。據(jù)圖1可寫出單齒齒頂漏磁ΦLt的方程式

2.2 基于一對極下的齒頂漏磁

在圖 1b位置，2齒的齒頂漏磁最大，此時，2齒的齒中線與第 1個磁極右側(cè)的 q1軸重合。第 2p個磁極右側(cè)的的 q2p軸與 1齒的齒中線相差|360°/z-360°/(2p)|角度，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過|360°/z - 360°/(2p)|角度后，1齒的齒頂漏磁達到最大，如此循環(huán)，電機轉(zhuǎn)動一周后，齒頂漏磁周期數(shù)nL為

nL也是槽數(shù)和極數(shù)的最小公倍數(shù)，這和齒槽轉(zhuǎn)矩周期數(shù)相一致。反映到一對極下，其周期數(shù)nT為

對3槽2極單元電機，nT=6；對12槽10極單元電機，nT=12；對9槽8極單元電機，nT=18，周期數(shù)nT為相數(shù)的偶數(shù)倍。

對于近極槽三相對稱繞組單元電機，A、B、C繞組是依次排列的，且連續(xù)幾個槽都是A相，接著是B相，然后是C相，如12槽10極單元電機的繞組排列為A-A-BBC-C-AAB-B-CC?？梢哉J(rèn)為每個齒都對應(yīng)于某相下的某個線圈，這樣就把齒頂漏磁和A、B、C三相繞組聯(lián)系起來了。圖2為電機轉(zhuǎn)過一對極時的全部齒頂漏磁曲線圖。

圖2 電機轉(zhuǎn)過一對極的全部齒頂漏磁Fig.2 Zigzag leakage flux under one pair of poles

2.3 齒頂漏磁的傅里葉分解

纏有A相繞組線圈齒的齒頂漏磁如圖2所示，正負(fù)半周各有z/(3|z-2p|)個三角波組成。結(jié)合圖1，得到所有A相繞組線圈齒的齒頂漏磁ΦLtA的傅里葉展開式為

式中 ν——諧波次數(shù)；

ΦL0——傅里葉展開式的常數(shù)項；

ΦLaν——傅里葉展開式余弦分量幅值；

ΦLbν——傅里葉展開式正弦分量幅值。

由于該非正弦周期信號的波形關(guān)于原點對稱，則ΦL0和ΦLaν為零，且不含偶次諧波分量。則式（4）化簡為

為簡化分析，假設(shè)極弧系數(shù)αp=1，在這里只分析z/(3|z-2p|)=1，即正負(fù)半周各只有一個三角波情況時的傅里葉展開式

由式（6）可以看出，各次諧波的幅值與極數(shù)和槽數(shù)有關(guān)，通過調(diào)整極槽數(shù)的組合，可以削弱某些次的齒頂漏磁諧波，式（6）適合單元電機為3槽2極和3槽4極類的電機。所有B、C相繞組線圈齒的齒頂漏磁形式與A相相同，只是相位相差120°。

3 齒頂漏磁的寄生影響

3.1 齒頂漏磁對反電動勢的影響

近極槽永磁同步電機的氣隙磁通Φ 主要分成兩部分：齒頂漏磁ΦLt和鏈過電樞繞組的有效氣隙磁通Φg。有效氣隙磁通Φg可以表示為

當(dāng)轉(zhuǎn)子磁場旋轉(zhuǎn)時，鏈過電樞繞組的有效氣隙磁通Φg在繞組中產(chǎn)生運動電動勢，也即反電動勢，實現(xiàn)機電能量轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩。電機一旦設(shè)計完成，永磁同步電機的氣隙磁通Φ 就確定了，而齒頂漏磁ΦLt與轉(zhuǎn)子磁極和定子齒之間的相對位置有關(guān)，齒頂漏磁的周期性波動也就引起了鏈過電樞繞組的有效氣隙磁通Φg發(fā)生了波動。由圖1可知，在圖1b的位置，2齒的齒頂漏磁ΦLt最大，此時2齒處于交軸位置，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過π/2角度后，氣隙磁通Φ 全部進入2齒，此時2齒處于直軸位置，則可近似認(rèn)為氣隙磁通Φ 與齒頂漏磁通ΦLt相位相差π/2。

假設(shè)氣隙磁通Φ 為所有奇次諧波組成，則

式中 θs——轉(zhuǎn)子磁極軸線相對定子A相繞組軸線沿氣隙圓周的夾角。

根據(jù)上述分析可知，θs與θ的關(guān)系為

式中 ωr——基波角頻率。

由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，當(dāng)鏈過電機繞組的磁通發(fā)生變化時，會在A相繞組中感應(yīng)反電動勢

式中 N——每相繞組串聯(lián)匝數(shù)；

kwν——ν次諧波的繞組系數(shù)。

把式（5）、式（8）和式（9）代入式（10）得

式中 Emν——與氣隙磁通Φ 相對應(yīng)的各次反電動勢諧波的幅值，Emν=νkwνNωrΦmν；

ELtν——與ΦLtν相對應(yīng)的各次反電動勢諧波的幅值，Emν=νkwνNωrΦLtν。

繞組系數(shù)影響了反電動勢諧波的幅值大小，近極槽永磁電機的繞組系數(shù)與槽數(shù)/極數(shù)比，以及繞組層數(shù)有關(guān)。表1是部分近極槽單元永磁電機的諧波繞組系數(shù)。選擇槽數(shù)與極數(shù)的配合以及繞組的層數(shù)，可以降低齒頂漏磁對反電動勢波形的影響。

表1 部分近極槽單元永磁電機諧波繞組系數(shù)Tab.1 Harmonic winding factors of unit permanent magnet motor with similar pole and slot number

3.2 齒頂漏磁對轉(zhuǎn)矩的影響

假設(shè)磁路不飽和，忽略電樞反應(yīng)作用。若電機的定子繞組為Y型聯(lián)結(jié)，沒有中線，且由三相對稱的正弦電流源供電。通過磁場定向控制可知，可將A相電流和感應(yīng)電動勢分別寫為[12]

式中 Im——基波電流幅值。

電機的電磁轉(zhuǎn)矩為

式中 Ωr——轉(zhuǎn)子的機械角速度；

T0——平均電磁轉(zhuǎn)矩；

T6，T12，…——相應(yīng)次的紋波轉(zhuǎn)矩幅值。

由式（15）可知平均電磁轉(zhuǎn)矩T0隨著齒頂漏磁的增大而降低?；娏髋c齒頂漏磁引起的5次、7次諧波電動勢作用，產(chǎn)生6次紋波轉(zhuǎn)矩，與齒頂漏磁引起的13次、11次諧波電動勢作用，產(chǎn)生12次紋波轉(zhuǎn)矩，……齒頂漏磁引起的各次紋波轉(zhuǎn)矩有些能削弱由氣隙磁場畸變產(chǎn)生的紋波轉(zhuǎn)矩，有些和由氣隙磁場畸變產(chǎn)生的紋波轉(zhuǎn)矩相疊加而進一步增大紋波轉(zhuǎn)矩。

在近極槽永磁電機中，齒頂漏磁和由于氣隙磁場畸變引起的反電動勢諧波主要是5次和7次，電機設(shè)計完畢后，齒頂漏磁和氣隙磁場也就固定了，其引起的6次紋波轉(zhuǎn)矩脈動的幅值大小就由供電電流的幅值決定了。

3.3 案例分析

對于120槽80極單層繞組表貼式永磁電機，不考慮其他漏磁，根據(jù)式（6）和式（15），可得到平均電磁轉(zhuǎn)矩和6次紋波轉(zhuǎn)矩如下：

由式（16）可以看出，平均電磁轉(zhuǎn)矩由于齒頂漏磁而降低了17.55%，也就是說由于齒頂漏磁而導(dǎo)致永磁材料的利用率只有82.45%。齒頂漏磁引起的7次和5次反電動勢幅值之差為3.1%Em1，假設(shè)氣隙磁場是正弦的，即Em5、Em7均等于零，齒頂漏磁引起的6次紋波轉(zhuǎn)矩的峰-峰值為3ImEm1/（2Ωr）的2×3.1%。

4 有限元驗證

本節(jié)以一臺120槽80極單層繞組不等厚永磁磁極電機為例進行仿真驗證。仿真只是為了驗證齒頂漏磁引起的轉(zhuǎn)矩脈動，所以沒有從實用性方面去考慮電機的設(shè)計。為了消除齒槽轉(zhuǎn)矩和由于開槽而導(dǎo)致的氣隙磁場畸變的影響，電機為閉口槽。電機的相關(guān)參數(shù)見表2。

表2 電機參數(shù)Tab.2 Electric machine parameters

4.1 定子繞組開路時的齒槽轉(zhuǎn)矩和氣隙磁場

為了仿真計算齒頂漏磁引起的紋波轉(zhuǎn)矩，必須消除齒槽轉(zhuǎn)矩和氣隙磁場畸變產(chǎn)生的6次紋波轉(zhuǎn)矩，或者先計算出齒槽轉(zhuǎn)矩和氣隙磁場畸變產(chǎn)生的6次紋波轉(zhuǎn)矩，然后把總的脈動轉(zhuǎn)矩減去齒槽轉(zhuǎn)矩和氣隙磁場畸變產(chǎn)生的紋波轉(zhuǎn)矩后就是齒頂漏磁引起的紋波轉(zhuǎn)矩。120槽80極永磁電機的齒槽轉(zhuǎn)矩是6次脈動轉(zhuǎn)矩。根據(jù)電機學(xué)理論，閉口槽永磁電機的齒槽轉(zhuǎn)矩應(yīng)該為零，但由于開槽，還是會帶來微小的齒槽轉(zhuǎn)矩。圖3是利用Ansoft有限元軟件仿真的定子繞組開路、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過一對極時產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩波形，其齒槽轉(zhuǎn)矩很小，峰-峰值為0.96N·m，可忽略不計。

圖4a是轉(zhuǎn)子磁極在氣隙中產(chǎn)生的氣隙磁密波形圖，圖4b是利用Matlab軟件分析的諧波含量的頻譜圖，由于對電機轉(zhuǎn)矩起作用的主要是 1次、5次、7次諧波，為了簡化分析，這里只分析1次、5次、7次諧波。由圖4可看出，5次諧波幅值為基波的0.5%，7次諧波幅值為基波的0.3%，根據(jù)式（16）可知，它們引起的 6次紋波轉(zhuǎn)矩只有平均轉(zhuǎn)矩的0.2%?？梢姴捎貌坏群翊艠O后，轉(zhuǎn)子在氣隙中產(chǎn)生的磁場波形正弦度非常好，可以忽略由于氣隙磁場畸變產(chǎn)生的紋波轉(zhuǎn)矩。

圖3 120槽80極永磁電機的齒槽轉(zhuǎn)矩Fig.3 Cogging torque of 120-slot 80-pole PMSM

圖4 氣隙磁通密度與頻譜圖Fig.4 Air gap flux density and spectrogram

4.2 負(fù)載時的轉(zhuǎn)矩及齒頂漏磁引起的轉(zhuǎn)矩脈動

為了排除鐵心飽和的影響，這里先利用Ansoft有限元軟件計算不同電流下的平均轉(zhuǎn)矩，接著再計算轉(zhuǎn)矩與電流（有效值）的比值（轉(zhuǎn)矩常數(shù) kT）。在不同電流下，如果kT值基本不變，可認(rèn)為在此區(qū)域內(nèi)的負(fù)載電流均不會引起鐵心的飽和。電機供給如式（12）所示的三相電流，Im分別為13.1×(2/16)A、13.1×(3/16)A、13.1×(4/16)A、13.1×(5/16)A，采用id=0控制策略，轉(zhuǎn)矩波形如圖5所示，平均轉(zhuǎn)矩T0分別為82N·m、122N·m、159N·m、195N·m，脈動轉(zhuǎn)矩 Tr分別為 4.34N·m、6.88N·m、8.92N·m、11N·m，轉(zhuǎn)矩常數(shù) kT分別為 70.23N·m/Arms、70.81N·m/Arms、68.64N·m/Arms、67.35N·m/Arms。前三種電流供電時，由于轉(zhuǎn)矩常數(shù)kT基本相同，說明電機基本是線性的。

假設(shè)沒有齒頂漏磁，根據(jù)式（16），當(dāng)電流為13.1×(4/16)A 時，則平均電磁轉(zhuǎn)矩 T0=3ImEm1/(2Ωr)=159/(1-17.55%)N·m=192.8N·m。實際上，齒頂漏磁是近極槽永磁電機不可克服的缺陷，不可能完全消除齒頂漏磁，只能通過槽數(shù)/極數(shù)的配合、極弧系數(shù)的選擇和電機氣隙直徑的選擇來盡量減小齒頂漏磁。

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩Fig.5 Electromagnetic torque

根據(jù)電機學(xué)原理，三相對稱繞組電機供給三相對稱正弦電流，如果轉(zhuǎn)子磁場正弦，則不會產(chǎn)生紋波轉(zhuǎn)矩。由前述分析可知，在供電電流小于13.1×(4/16)A時，電機工作在線性狀態(tài)，由于齒槽轉(zhuǎn)矩非常小，此時的脈動轉(zhuǎn)矩基本就是由齒頂漏磁引起的。根據(jù)電機的轉(zhuǎn)速和極數(shù)，可知其供電頻率為18.667Hz，周期為 53.57ms，從圖 5可看出，一個供電周期，轉(zhuǎn)矩有六次脈動，可見齒頂漏磁引起的脈動轉(zhuǎn)矩主要是6次紋波轉(zhuǎn)矩。從圖5還可以可看出，紋波轉(zhuǎn)矩Tr基本與供電電流成正比。如果根據(jù)式（16）計算，齒頂漏磁引起的6次紋波轉(zhuǎn)矩的峰-峰值T6為平均電磁轉(zhuǎn)矩的2×3.1%倍，在上述電流下，理論上的 6次紋波轉(zhuǎn)矩的峰-峰值分別為5.08N·m、7.56N·m、9.8N·m、12.09N·m。比較圖5和圖3b可以看出，齒槽轉(zhuǎn)矩與紋波轉(zhuǎn)矩是反相位的，這是仿真值比理論值小的原因。上述仿真結(jié)果與理論分析基本一致，說明了分析方法的正確性。

5 結(jié)論

本文分析了近極槽配合表貼式永磁同步電機一對極下齒頂漏磁的特點，通過對一相繞組齒頂漏磁函數(shù)的傅里葉分解，得出齒頂漏磁諧波是由一系列奇次諧波組成，通過調(diào)整極數(shù)和槽數(shù)的組合可以控制某些次齒頂漏磁諧波的含量。研究了齒頂漏磁與電機反電動勢的關(guān)系，從反電動勢的角度發(fā)現(xiàn)齒頂漏磁引起的轉(zhuǎn)矩脈動主要是6次紋波脈動轉(zhuǎn)矩。最后通過有限元仿真，準(zhǔn)確的計算出齒頂漏磁引起的6次紋波轉(zhuǎn)矩。

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