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    函數(shù)教學的幾個有效策略

    2015-10-21 16:48:42張國強
    中學課程輔導·教師教育(中) 2015年1期
    關鍵詞:函數(shù)策略教學

    張國強

    【摘要】 函數(shù)是高中數(shù)學的一條基本主線,函數(shù)思想始終貫穿于整個高中數(shù)學課程之中。由于函數(shù)具有抽象程度高,類型多、相關知識的聯(lián)系性強、思想方法復雜等特點,學生在學習函數(shù)時有一定的困難,這就對教師的教學提出了較高的要求。本文提出了函數(shù)教學的五個有效策略。

    【關鍵詞】 函數(shù) 教學 策略

    【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711(2015)01-038-02

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    函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型。德國數(shù)學家克萊因認為:“函數(shù)應該是數(shù)學教育的靈魂。”函數(shù)是高中數(shù)學的一條基本主線,始終貫穿于整個高中數(shù)學課程之中。函數(shù)思想在數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、不等式、線性規(guī)劃、算法、隨機變量等內容中都有突出的體現(xiàn)。由于函數(shù)具有抽象程度高,類型多、相關知識的聯(lián)系性強、思想方法復雜等特點,學生在學習函數(shù)時有一定的困難。下面談談讓學生學好函數(shù)的幾個有效教學策略。

    1. 深挖概念、定理、法則的內涵與外延,加深對數(shù)學知識的本質理解

    案例1:函數(shù)的定義:一般地,我們有:設A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)。記作: y=f(x),x∈A

    在學習這一概念時讓學生思考如下問題:

    (1)如何理解函數(shù)概念中的“任意”及“唯一”?下列四個對應f:A→B.

    哪一個表示從集合A到集合B的一個函數(shù)?

    (2)f(x) 表示什么?含義是不是f乘x?(3)f(x)與f(a)的聯(lián)系與區(qū)別?

    (4)映射與函數(shù)有哪些聯(lián)系與區(qū)別?

    (5)構成函數(shù)有哪些關鍵要素?解析式為y=x2,值域為{1,4}的“不同函數(shù)”共有多少個?

    評析:本案例通過多角度設計問題,讓學生辨析。在辨析中抓住概念的本質,通過“咬文嚼字”和“刨根究底”,充分地揭示數(shù)學概念的內涵與外延,讓學生對函數(shù)的概念本質有了深刻的理解。

    2. 突出數(shù)形結合、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法在解題中的運用

    案例2:a取何值時,函數(shù)f(x)=(2a-1)x+3a,x<1,loga,x,x≥1在整個定義域R上是減函數(shù)?

    教師可引導學生用圖象進行分析,參數(shù)a變化時,函數(shù)的變化如下:

    接著請學生總結:如果函數(shù)f(x)=f1(x),x≤0,lf1(x),x>x0在R上單調遞減,則f(x)滿足什么條件?

    評析:在這個案例中函數(shù)的單調區(qū)間是否能并在一起,是許多學生沒搞明白的一個問題。解題時學生一般知道需要條件 (2a-1)<001oga1,畫圖可讓學生明白其中的原因:函數(shù)f(x)=f1(x),x≤0,lf1(x),x>x0在R上單調遞減,則f(x)滿足兩個條件:(i)f1(x)在(-∞,x0)上單調遞減,f2(x)在(x0,+∞)上單調遞減;(ii)f1(x0)≥f2(x0).學生通過圖象得到直觀清晰的認識,進而引發(fā)對這一問題本質的思考。

    3. 化抽象為具體,通過具體的函數(shù)模型加深對函數(shù)抽象問題的理解

    案例3:已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[0,4],求函數(shù)y=f(x2)的定義域。

    教師可先讓學生思考下列問題:

    評析:本案例中學生容易這樣犯錯誤:因為0≤x≤4,所以0≤x2≤16,所以y=f(x2)的定義域為[0,16]。出現(xiàn)錯誤的原因是函數(shù)記號f(x)和f[g(x)]的形式太抽象,學生難以理解。教師注意應以具體例子為載體化解函數(shù)的抽象性,將問題有效地過度到學生可以理解的教育形態(tài)。為了學生理解,問題(1)(2)通過具體的、簡單具體事例,使學生明白了已知y=f(x)用代入法求解析式y(tǒng)=f(g(x))時g(x)應放的位置,問題(2)使學生明白了g(x)=x2整體位置與y=f(x)中x位置一樣所以范圍一樣,從而“恍然大悟”,悟出:(i)定義域指自變量的范圍的集合(ii)保持y=f(g(x))中g(x)與y=f(x)中x整體范圍一樣。

    4. 注重函數(shù)題型的歸類,強化對錯題的反思與總結

    (2) 求f(x)=4x-2x+1+2(x≥1)的值。

    (3)已知方程(1gx)2-algx+1=0有兩個大于1的不同實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍。

    (4)已知函數(shù)f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],且f(x)的值域為R,求實數(shù)a的取范圍。

    評析:本案例中我將一些函數(shù)相關題型放在一起,讓學生在這些題中去發(fā)現(xiàn)“換元法”,從而找到共性的東西。通過在不同函數(shù)問題中的應用,學生能夠體味到設元的技巧、換元的使用方式,同時還能發(fā)現(xiàn)換元法具有顯露隱含,防止錯解,化難為易,把復雜問題簡單化的良好作用。

    5. 利用函數(shù)的觀點去認識函數(shù)與其他數(shù)學知識的內在聯(lián)系

    這個例子可以看出函數(shù)觀點在求解解析的最值問題中的重要性。此外函數(shù)觀點處理數(shù)列、線性規(guī)劃的最優(yōu)解、方程的根等問題方面也有著重要的應用,很多問題都能用函數(shù)性質去解決。用函數(shù)的思想觀點去解決問題既能實現(xiàn)變量的動與靜、數(shù)與形、外在與內涵的辯證統(tǒng)一,也能反過來加深我們對函數(shù)性質的理解與學習。

    附:小課題《高一數(shù)學學情研究與教學策略》課題編號:GDXKT4399

    [ 參 考 文 獻 ]

    [1] 張宇. 淺談高中數(shù)學思想方法在解題中的重要性[J]教學研究2009,(10).

    [2]康井榮 突破函數(shù)概念教學難點的幾點對策[J] 中學數(shù)學教學2014,(3).

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