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    土水特征曲線參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)及敏感性分析

    2012-08-11 08:50:14譚曉慧沈夢(mèng)芬侯曉亮
    關(guān)鍵詞:吸力砂土黏土

    譚曉慧,李 丹,沈夢(mèng)芬,侯曉亮,胡 娜

    (合肥工業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院,合肥230009)

    土水特征曲線(Soil-water characteristic curve,簡(jiǎn)稱SWCC)表征非飽和土的基質(zhì)吸力與含水率(如重力含水率、體積含水率)或飽和度之間關(guān)系,它包含了土體在任一吸力時(shí)孔隙中含有的水量及孔徑分布信息,由土水特征曲線可以得到非飽和土的抗剪強(qiáng)度、滲透系數(shù)、體積變化等性質(zhì)[1-5]。由于土水特征曲線的重要性,很多學(xué)者對(duì)之進(jìn)行了研究,并提出了大量有關(guān)土水特征曲線的數(shù)學(xué)模型[6-7]。文[1,6-7]通過(guò)研究,指出 Frenlund-Xing模型(簡(jiǎn)稱 FX模型)[10]及van Genutchen模型(簡(jiǎn)稱 VG 模型)[11]效果較好,它們適用的吸力范圍廣,擬合參數(shù)的物理意義明確。采用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示SWCC的優(yōu)點(diǎn)在于:模型的參數(shù)可以量化描述曲線的形狀,可用于土體的分類,可方便地用于估計(jì)其它土性參數(shù)。在涉及到非飽和土的巖土工程數(shù)值分析中,非飽和土的性質(zhì)非常重要,數(shù)值分析的結(jié)果是否正確在很大程度上依賴于SWCC參數(shù)等輸入數(shù)據(jù)的可靠性。在進(jìn)行可靠度分析時(shí),還需要提供參數(shù)的均值、均方差、分布類型等信息。因此,對(duì)SWCC模型參數(shù)進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)分析是十分重要的。

    Sillers等[7]通過(guò)對(duì)二百多組數(shù)據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計(jì),對(duì)8種土的多種SWCC模型及其修正型式求得了模型參數(shù)的均值、均方差及中值,并指出在大多數(shù)情況下,這些擬合參數(shù)的變異性都較大。Puppala等[8]采用FX模型研究了2種膨脹土的SWCC特征,并采用線性回歸分析的方法求解了模型參數(shù)與基本土性參數(shù)間的關(guān)系。Phoon等[9]以VG模型為基礎(chǔ),指出可采用對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)矢量來(lái)表示SWCC的2個(gè)擬合參數(shù)a及n。

    由于FX模型及VG模型的擬合效果較好[1,6-7],筆者以這2類模型及其修正型式為基礎(chǔ),研究SWCC參數(shù)的擬合方法,分析不同土類的SWCC參數(shù)的概率分布特征,并進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析。

    1 土水特征曲線模型及擬合方法

    1.1 SWCC模型

    SWCC可以通過(guò)某種數(shù)學(xué)模型來(lái)表示,即:采用某種特定型式的函數(shù)來(lái)表示試驗(yàn)所得的基質(zhì)吸力與含水率的關(guān)系。筆者以FX模型和VG模型為基礎(chǔ)進(jìn)行研究。根據(jù)具體表達(dá)式的不同,這2類模型又分別分為3種型式,具體如下。

    1.1.1 FX模型 文[10]通過(guò)對(duì)土體孔徑分布曲線的研究,用統(tǒng)計(jì)分析理論推導(dǎo)出非飽和土體積含水率與基質(zhì)吸力之間的對(duì)數(shù)函數(shù)型式的土水特征曲線,其歸一化表達(dá)式如下(FX1模型):

    式中:ψ為基質(zhì)吸力;θ為與基質(zhì)吸力ψ相對(duì)應(yīng)的體積含水率,其取值范圍為[θr,θs],θr和θs分別為殘余含水率和飽和含水率;θn為歸一化的體積含水率(有效飽和度);a、n、m為擬合參數(shù)(a是與進(jìn)氣值有關(guān)的吸力值,對(duì)應(yīng)于曲線的拐點(diǎn);n是與孔徑分布有關(guān)的參數(shù),對(duì)應(yīng)于曲線的斜率;m是與曲線拐點(diǎn)處的不對(duì)稱性有關(guān)的參數(shù));e為自然對(duì)數(shù)的底。

    若在曲線擬合時(shí)視殘余含水率為零,則上式變?yōu)椋‵X2模型):

    當(dāng)土體的體積含水率小于殘余含水率時(shí),上述模型常高估了含水率的數(shù)值。此時(shí),可采用下述方法進(jìn)行修正(FX3模型):

    式中:C(ψ)為修正函數(shù),ψr為與殘余含水率θr對(duì)應(yīng)的基質(zhì)吸力,一般取ψr=3 000kPa[7]。

    1.1.2 VG模型 文[11]通過(guò)對(duì)土水特征曲線的研究,得出非飽和土體積含水率與基質(zhì)吸力之間的冪函數(shù)形式的土水特征曲線,其歸一化表達(dá)式如下(VG1模型):

    與Fredlund-Xing模型類似,van Genutchen模型亦可寫(xiě)成如下2種型式[7]:

    1.2 SWCC擬合方法

    對(duì)于任一組基質(zhì)吸力-體積含水率試驗(yàn)數(shù)據(jù),為獲得上述各種SWCC模型的擬合參數(shù),筆者分別采用科學(xué)編程語(yǔ)言MATLAB中的非線性回歸擬合函數(shù)Nlinfit、最小二乘法擬合函數(shù)Lsqcurvefit及最優(yōu)化求最小值函數(shù)Fminsearch來(lái)進(jìn)行SWCC參數(shù)的求解。

    方法1:Nlinfit是Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的非線性回歸函數(shù),它采用Levenberg-Marquardt算法來(lái)進(jìn)行非線性回歸。它需要的輸入值是:待擬合的數(shù)據(jù)、非線性曲線函數(shù)及擬合參數(shù)的初值。

    方法2:Lsqcurvefit是Matlab優(yōu)化工具箱中的函數(shù),它采用最小二乘法來(lái)求解非線性函數(shù)的參數(shù)。它需要的輸入值除了待擬合的數(shù)據(jù)、非線性曲線函數(shù)及擬合參數(shù)的初值以外,還可以限定所需求解參數(shù)的范圍。

    方法3:Fminsearch屬于 Matlab的基本函數(shù),它采用不需求導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化方法來(lái)求解無(wú)約束多變量函數(shù)的最小值。它需要的輸入變量是目標(biāo)函數(shù)及參數(shù)的初值。筆者定義目標(biāo)函數(shù)值為體積含水率的擬合值與實(shí)測(cè)值之差的平方和。因此,用這種方法求解參數(shù)的實(shí)質(zhì)也是最小二乘法。

    2 土水特征曲線的擬合

    為了研究各種不同土的SWCC形狀及特性,分析SWCC模型、擬合方法等因素對(duì)參數(shù)擬合結(jié)果的影響,對(duì)大量的基質(zhì)吸力-體積含水率數(shù)據(jù)進(jìn)行了參數(shù)擬合及統(tǒng)計(jì)分析。

    2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

    2.1.1 UNSODA數(shù)據(jù)庫(kù)中的黏土和砂土

    UNSODA是由美國(guó)農(nóng)業(yè)部鹽度實(shí)驗(yàn)室開(kāi)發(fā)的有關(guān)非飽和土性質(zhì)的數(shù)據(jù)庫(kù),全稱為非飽和土水力數(shù)據(jù)庫(kù)(UNsaturated SOil hydraulic DAtabase)[9]。該數(shù)據(jù)庫(kù)包含世界各地約790個(gè)土樣的試驗(yàn)數(shù)據(jù),并含有土的分類、試驗(yàn)方法、粒徑分布、密度、飽和體積含水率、土樣所處環(huán)境的溫度及降雨量等內(nèi)容。由于篇幅所限,分別選取該數(shù)據(jù)庫(kù)中實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)條件下的黏土(clay)與砂土(sand)為研究對(duì)象進(jìn)行曲線擬合。其中,黏土與砂土所包含的基質(zhì)吸力-體積含水率的數(shù)據(jù)分別為23組及117組。

    2.1.2 廣西膨脹土及合肥膨脹土

    UNSODA數(shù)據(jù)庫(kù)中的數(shù)據(jù)主要是國(guó)外土樣的試驗(yàn)結(jié)果。為了研究中國(guó)土體的SWCC曲線特征,經(jīng)過(guò)查閱文獻(xiàn),得到了廣西膨脹土的9組基質(zhì)吸力-體積含水率數(shù)據(jù)[12-13]。

    上述UNSODA中的數(shù)據(jù)及廣西膨脹土的數(shù)據(jù)都是由文獻(xiàn)中的資料收集而得的,其各組土樣的具體取樣地點(diǎn)、試驗(yàn)方法及試驗(yàn)條件都不相同。為了研究同一種土、同一種試驗(yàn)方法下SWCC的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,以合肥市某工地的膨脹土為例,采用滲析法試驗(yàn)進(jìn)行了6組重復(fù)試驗(yàn),得到了6組相同試驗(yàn)條件下的基質(zhì)吸力-體積含水率數(shù)據(jù)。

    2.2 SWCC參數(shù)擬合結(jié)果

    2.2.1 影響因素分析

    1)擬合方法對(duì)SWCC參數(shù)的影響

    分別采用3種擬合方法及FX1、FX2、FX3、VG1、VG2、VG3這6種模型對(duì) UNSODA黏土、UNSODA砂土、廣西膨脹土、合肥膨脹土進(jìn)行SWCC參數(shù)擬合。大量數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果表明:對(duì)于同一種SWCC模型,采用不同的擬合方法均能得到很好的擬合效果,但它們所得到的擬合參數(shù)不完全相同,某些參數(shù)值甚至相差較大。例如,表1是對(duì)UNSODA中第2361#黏土采用FX2模型進(jìn)行擬合的結(jié)果,各種擬合方法的擬合參數(shù)初值相同。表1中R2是決定系數(shù),其表達(dá)式為:

    式中:θi及分別為第i個(gè)數(shù)據(jù)的實(shí)測(cè)值及預(yù)測(cè)值,為n個(gè)數(shù)據(jù)的平均值。

    表1 UNSODA中2361#黏土的SWCC擬合參數(shù)值(FX2)

    由表1可見(jiàn),3種擬合方法所得的擬合參數(shù)有一定差別,尤其是a值相差較大。但是,各種擬合方法的決定系數(shù)都大于0.99,這表明這3種擬合方法的效果都很好。圖1為各種擬合方法所得的SWCC擬合曲線,可見(jiàn),這3種擬合方法所得的SWCC擬合曲線幾乎相同。因此,對(duì)于同一組吸力-體積含水率數(shù)據(jù)及同一種曲線擬合模型,采用不同的擬合方法可以得到不同的擬合參數(shù)值,但是它們都能較好地?cái)M合原有數(shù)據(jù)。

    圖1 UNSODA中第2361#黏土的SWCC(FX2)

    2)擬合模型對(duì)SWCC參數(shù)的影響

    大量數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果表明:擬合方法一定時(shí),各種擬合模型所得的SWCC曲線參數(shù)亦有一定差異。圖2是對(duì)UNSODA中第2361#黏土采用Nlinfit進(jìn)行擬合的結(jié)果。由圖2(a)可知:FX1、FX2與FX3的差別主要在于高吸力部分。對(duì)于低吸力部分,它們的SWCC擬合曲線十分接近。由圖2(b)可知,對(duì)于VG系列模型亦有此規(guī)律。

    圖2 UNSODA中第2361#黏土的SWCC(Nlinfit)

    圖2(c)將FX2、FX3、VG2及 VG3的擬合曲線置于同一圖形。盡管這4種模型的擬合參數(shù)有所不同,但由圖2(c)可見(jiàn),在低吸力部分,這4種模型的SWCC卻十分接近;在高吸力部分,F(xiàn)X2與VG2的SWCC接近,F(xiàn)X3與VG3的SWCC幾乎相同。

    由于FX1及VG1都是4參數(shù)模型(參數(shù):a、n、m、θr),而其它4個(gè)模型都是3參數(shù)模型(參數(shù):a、n、m),因此,對(duì)于相同數(shù)目的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn),F(xiàn)X1及VG1對(duì)應(yīng)的擬合效果相對(duì)較差,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)殘余含水率為負(fù)的不合理現(xiàn)象。后續(xù)分析只對(duì)FX2、FX3、VG2及VG3模型進(jìn)行研究。

    2.2.2 SWCC參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析 為了研究SWCC曲線擬合參數(shù)的概率分布特征,基于上述研究,分別對(duì)采用FX2、FX3、VG2、VG3模型及3種擬合方法得到的參數(shù)a、n、m進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,求解UNSODA黏土、UNSODA砂土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的SWCC擬合參數(shù)的均值、均方差、變異系數(shù)、分布類型及參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)。在進(jìn)行參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析時(shí),根據(jù)3倍均方差的原則進(jìn)行異常數(shù)據(jù)的剔除。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明:UNSODA黏土及砂土的SWCC擬合參數(shù)滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布;廣西膨脹土及合肥膨脹土由于參與統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)組數(shù)偏少,未對(duì)其統(tǒng)計(jì)參數(shù)的概率分布類型。4種土的SWCC擬合參數(shù)均值統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)圖3。

    圖3 SWCC擬合參數(shù)的均值

    圖3中,左、中、右圖形分別代表參數(shù)a、n、m的統(tǒng)計(jì)結(jié)果;橫坐標(biāo)的數(shù)字1~4分別代表FX2、FX3、VG2及VG3模型;縱坐標(biāo)代表參數(shù)a、n、m的均值,a的單位是kPa。

    由圖3可知:對(duì)于同一種土,SWCC擬合方法及擬合模型不同時(shí),擬合參數(shù)值不同。但是,從統(tǒng)計(jì)意義上看,參數(shù)a、n、m的均值受擬合方法的影響不大,而受擬合模型的影響較大,即:擬合模型相同但擬合方法不同時(shí),參數(shù)a、n、m的均值有一定變化,但相對(duì)變化量較??;擬合方法相同但擬合模型不同時(shí),參數(shù)a、n、m的均值有較大變化。

    對(duì)參數(shù)a、n、m的均方差及變異系數(shù)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì),亦可得出上述規(guī)律。為簡(jiǎn)化起見(jiàn),文中只列出擬合方法2及模型FX2、VG2對(duì)應(yīng)的擬合參數(shù)均值及變異系數(shù),見(jiàn)表2~5。

    表2 UNSODA黏土的擬合參數(shù)(Lsqcurvefit)

    表3 UNSODA砂土的擬合參數(shù)(Lsqcurvefit)

    表4 廣西膨脹土的擬合參數(shù)(Lsqcurvefit)

    表5 合肥膨脹土的擬合參數(shù)(Lsqcurvefit)

    以上述4種土的SWCC擬合均值為參數(shù),可以繪制各種土的SWCC擬合曲線。例如,F(xiàn)X2模型的SWCC曲線如圖4所示。由該圖知:UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的SWCC曲線形狀較為一致,因?yàn)樗鼈兺瑢儆陴ね?;相?duì)于UNSODA砂土而言,它們的曲線相對(duì)平緩,曲線拐點(diǎn)不明顯;而UNSODA砂土的SWCC曲線之斜率相對(duì)較大,曲線拐點(diǎn)相對(duì)較為明顯。這種現(xiàn)象可結(jié)合表6進(jìn)行解釋。表6是對(duì)表2~5中FX2模型進(jìn)行匯總得到的,它將UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土匯總為黏土,并統(tǒng)計(jì)了其擬合參數(shù)均值及變異系數(shù)的變化范圍。由表6可見(jiàn),對(duì)于均值而言,黏土的a值遠(yuǎn)大于砂土的a值,但黏土的n及m值卻分別小于砂土的相應(yīng)值;但對(duì)于變異系數(shù)而言,黏土與砂土的變異系數(shù)大小無(wú)明顯區(qū)別。對(duì)表2~5中VG2模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì),亦可同到類似的結(jié)論。

    圖4 SWCC擬合曲線(FX2模型,Lsqcurvefit)

    表6 黏土及砂土擬合參數(shù)對(duì)比分析(Lsqcurvefit)

    2.2.3 SWCC參數(shù)的敏感性分析

    為研究SWCC參數(shù)a、n、m對(duì)體積含水率θ的影響程度,判斷各參數(shù)的相對(duì)影響,需要進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析。

    參數(shù)的敏感性可以用因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示。在進(jìn)行敏感性分析時(shí),SWCC擬合參數(shù)為基本變量,飽和體積含水率為定值。為消除飽和體積含水率的影響,此處以歸一化的體積含水率θn為研究對(duì)象進(jìn)行參數(shù)的敏感性分析。

    對(duì)于FX2模型,由式(1)可以推導(dǎo)出θn對(duì)3個(gè)擬合參數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式如下:

    對(duì)于VG2模型,由式(5)可求得θn對(duì)3個(gè)擬合參數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為:

    對(duì)于FX3及VG3模型,只需將式(9)~(14)分別乘以修正函數(shù)C(ψ),即可得到其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)求解公式。

    為了消除變量單位的影響,文[14]定義了無(wú)量綱化的敏感因子。對(duì)于系統(tǒng)特性P(X),X=(X1,X2,…,Xn),敏感性因子的計(jì)算公式為:

    式中:x*= (x1,x2,…,xn)*為變量X的基準(zhǔn)值。

    當(dāng)變量間具有相關(guān)性時(shí),文[15]定義了可靠指標(biāo)對(duì)參數(shù)均值的相對(duì)敏感性計(jì)算公式。借鑒這種方法,定義體積含水率對(duì)各參數(shù)的相對(duì)敏感性為:

    以FX2模型及UNSODA黏土為例,歸一化體積含水率θn對(duì)3個(gè)變量的相對(duì)敏感性見(jiàn)圖5。其中,圖5(a)是假設(shè)變量間不相關(guān)時(shí)的敏感性曲線,圖5(b)是根據(jù)參數(shù)a、n、m的統(tǒng)計(jì)結(jié)果(參數(shù)a與n、a與m、n與m間的相關(guān)系數(shù)分別為(0.36、0.48、0.33)計(jì)算而得的敏感性曲線,它考慮了參數(shù)間的相關(guān)性。由圖5可見(jiàn),對(duì)于UNSODA黏土,在工程常見(jiàn)的吸力范圍內(nèi),θn對(duì)參數(shù)a的敏感性很小,對(duì)參數(shù)n、m的變化較為敏感;隨著吸力的增加,θn對(duì)參數(shù)n的敏感性逐漸減小,敏感性數(shù)值由正轉(zhuǎn)負(fù);θn對(duì)參數(shù)m的敏感性數(shù)值為負(fù)值,其絕對(duì)值在60kPa左右達(dá)到最大值;參數(shù)間的相關(guān)性對(duì)參數(shù)a的敏感性有較大影響,但對(duì)參數(shù)n及m的敏感性影響不大。

    圖5 歸一化體積含水率對(duì)SWCC參數(shù)的敏感性(UNSODA黏土)

    3 結(jié) 論

    以Fredlund-Xing模型的3種型式(FX1、FX2、FX3)及van Genuchten模型的3種型式(VG1、VG2、VG3)為SWCC曲線的擬合模型,以科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言 Matlab中的3種函數(shù)(Nlinfit、Lsqcurvefit、Fminsearch)為擬合方法,對(duì)UNSODA數(shù)據(jù)庫(kù)中的黏土與砂土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的大量基質(zhì)吸力-體積含水率數(shù)據(jù)進(jìn)行了曲線擬合,得到了這4類土的擬合參數(shù)均值、均方差、變異系數(shù)、分布類型及參數(shù)間的相關(guān)系數(shù);求得了這4種土的典型SWCC曲線;提出了歸一化體積含水率對(duì)SWCC曲線參數(shù)的相對(duì)敏感性計(jì)算公式,進(jìn)行了參數(shù)的敏感性分析。這些研究成果為非飽和土工程的可靠度分析提供了必要的研究基礎(chǔ)。

    計(jì)算結(jié)果表明:

    1)擬合方法對(duì)SWCC擬合參數(shù)有一定影響,不同的擬合方法可以得到不同的擬合結(jié)果;但從統(tǒng)計(jì)意義而言,大量擬合參數(shù)的均值、均方差及變異系數(shù)受擬合方法的影響不明顯。

    2)擬合模型對(duì)SWCC擬合參數(shù)影響較大,采用不同的擬合模型可以得到不同的擬合參數(shù)。對(duì)于相同數(shù)目的數(shù)據(jù)點(diǎn),F(xiàn)X2、FX3、VG2、VG3的擬合效果優(yōu)于FX1及VG1;FX2、FX3、VG2與VG3在低吸力部分的SWCC曲線一致;在高吸力部分,F(xiàn)X2與VG2的SWCC接近,F(xiàn)X3與VG3的SWCC接近。

    3)UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土同屬于黏土,其SWCC曲線形狀較為一致,它們的a值一般較大,n值相對(duì)較小,曲線拐點(diǎn)不明顯,曲線中部的斜率較小。UNSODA砂土的a值較小,n值較大,曲線拐點(diǎn)較為明顯,曲線的斜率相對(duì)較大。

    4)敏感性分析結(jié)果表明:參數(shù)a對(duì)歸一化體積含水率θn的影響程度較小,θn對(duì)參數(shù)a的變化不敏感,而對(duì)參數(shù)n及m的變化則較為敏感。

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