負電容在主－被動混合壓電振動控制中的應(yīng)用*

馬小陸 裘進浩 季宏麗 李生權(quán) 朱孔軍

(南京航空航天大學機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室，江蘇南京210016)

壓電材料作為一種智能材料，以其良好的機電耦合特性在結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用．當前的壓電振動控制方法主要分為被動控制、主動控制和半主動控制．壓電被動控制方法是一種壓電分流阻尼技術(shù)，它利用壓電材料的正壓電效應(yīng)，將結(jié)構(gòu)振動的機械能轉(zhuǎn)化為電能，再通過一個外接的分流電路，將電能轉(zhuǎn)化為電阻上消耗的熱能，從而產(chǎn)生壓電分流阻尼，起到抑制結(jié)構(gòu)振動作用．被動控制方法具有實現(xiàn)容易、結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高和魯棒性好等優(yōu)點，但缺少靈活性，對突發(fā)性環(huán)境變化適應(yīng)差［1-3］．壓電主動控制方法是一種由壓電傳感器、壓電驅(qū)動器和控制算法組成的閉環(huán)控制方法．它由壓電傳感器檢測到結(jié)構(gòu)的振動信號，使用主動控制策略經(jīng)過實時計算得到所需的控制信號，從而驅(qū)動壓電片對結(jié)構(gòu)的振動進行抑制．壓電主動控制方法具有很強的靈活性和環(huán)境適應(yīng)能力，可控頻率寬且響應(yīng)速度快，但其控制系統(tǒng)復(fù)雜，需要較高的輸入功率，存在潛在的不穩(wěn)定性，魯棒性差［4-5］．壓電半主動控制方法是一種非線性同步開關(guān)的壓電阻尼技術(shù)．它通過一個狀態(tài)開關(guān)控制壓電分流電路的開閉，當壓電換能器表面因結(jié)構(gòu)振動變形而產(chǎn)生的電荷達到最大值時，開關(guān)迅速閉合，使得壓電元件上的電能被電路中的一些電子元件快速消耗或?qū)崿F(xiàn)電壓翻轉(zhuǎn)，從而達到振動控制的目的．半主動振動方法控制效果好，所需的外界能量小，魯棒性好，性能穩(wěn)定，但目前還未能實現(xiàn)對多模態(tài)振動的有效控制，限制了它在實際工程中的應(yīng)用［6-7］．

近年來出現(xiàn)的主－被動混合振動控制方法，是將被動控制技術(shù)與主動控制技術(shù)有機結(jié)合在一起的控制方法，這種控制方法具有被動控制穩(wěn)定性好、功率需求低的優(yōu)點，又具有主動控制性能高的特點．目前，對主－被動混合振動控制的研究主要是基于電感壓電分支電路的被動壓電阻尼子系統(tǒng)與主動控制子系統(tǒng)之間的混合［8-10］，對基于其它類型壓電分支電路的被動壓電阻尼子系統(tǒng)與主動控制子系統(tǒng)結(jié)合的研究較少．文中將負電容壓電分支電路［3］和小波變換域最小均方誤差(LMS)主動控制相結(jié)合，通過將被控結(jié)構(gòu)的振動能轉(zhuǎn)換成電能并消耗于RpCr負電容分支電路中，對被控結(jié)構(gòu)的振動進行被動控制;同時采用傳感器將被控結(jié)構(gòu)的振動信息反饋到小波變換域LMS控制器中，控制器發(fā)出控制信號，通過電壓源經(jīng)由負電容分支電路驅(qū)動壓電片，對被控結(jié)構(gòu)的振動進行主動控制．文中推導(dǎo)了這種主－被動混合振動控制方法的控制原理，分析了振動幅值與負電容參數(shù)之間的關(guān)系，并進行了仿真和實驗研究．

1 主－被動混合振動控制原理

1．1 理論建模

基于負電容分支電路的主－被動混合振動控制結(jié)構(gòu)如圖1所示．

圖1 基于負電容分支電路的主－被動混合振動控制結(jié)構(gòu)Fig．1 Structure of active-passive hybrid vibration control based on negative capacitance branch circuits

利用哈密頓原理可以推出圖1所示系統(tǒng)的數(shù)學模型［9，11］:

式(1)為被控結(jié)構(gòu)的數(shù)學模型，m、c、k分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量(被控結(jié)構(gòu)和壓電元件的質(zhì)量之和)、阻尼及剛度(被控結(jié)構(gòu)和壓電元件的剛度之和);q為廣義位移;Fm為結(jié)構(gòu)所受的外部激勵力;式(2)為壓電分支電路的數(shù)學模型，Cr、Rp、Cp分別為被動分支電路的負電容絕對值、電阻及壓電元件的等效電容;Q為壓電元件上的電荷;Uc為控制器經(jīng)電壓源發(fā)出的控制電壓;式(3)為壓電傳感器電路的數(shù)學模型;Us為壓電傳感器測得的電壓，與被控結(jié)構(gòu)的振動位移成正比;kc為被控結(jié)構(gòu)與分支電路之間的機電耦合系數(shù)．

壓電片兩端電壓為

對方程(1)和(2)兩邊進行拉氏變換，并令K1=得

將Q=CpUa代入式(4)，并對其兩邊進行拉氏變換，得

設(shè)壓電元件兩端短路時結(jié)構(gòu)的固有頻率ωn=，阻尼比廣義機電耦合系數(shù)ξ=頻率調(diào)節(jié)參數(shù) Ω=ω/ωn，電阻調(diào)節(jié)參數(shù)r=Rpωn/K1，代入式(6)、(7)，得

1．2 負電容參數(shù)對被動控制的影響

根據(jù)文獻［12］可知，分析壓電分流電路參數(shù)時，可忽略結(jié)構(gòu)本身阻尼的影響，式(10)可轉(zhuǎn)化為

圖2 振動幅值隨ξ的變化(r=5)Fig．2 Variation of vibration amplitude with ξ(r=5)

由圖2可見，在共振頻率附近，廣義機電耦合系數(shù)ξ越大，負電容絕對值Cr越接近于壓電電容Cp，被動控制效果越好．

1．3 負電容參數(shù)對主動控制電壓的影響

圖3 電壓放大隨ξ的變化(r=5)Fig．3 Variation of voltage amplification with ξ(r=5)

由圖3可見，廣義機電耦合系數(shù)ξ越大，負電容絕對值Cr越接近于壓電電容Cp，電壓放大的效果越好，且在整個頻帶都有電壓放大效果．

2 小波變換域LMS主動控制

主動振動控制是當前振動工程中的一個研究熱點，而基于最速下降原理的以最小均方誤差為準則算法的線性橫向濾波器，因LMS算法易于實現(xiàn)和計算量小而在實際中經(jīng)常被采用．但LMS算法的收斂速度和穩(wěn)定性主要取決于系統(tǒng)輸入信號的自相關(guān)矩陣，當自相關(guān)矩陣為病態(tài)矩陣時，LMS算法的收斂速度會大大降低，甚至出現(xiàn)發(fā)散的情況，因而其應(yīng)用受到了限制．小波變換作為時頻分析聯(lián)合方法，通過尺度的伸縮與平移，可實現(xiàn)信號的時頻分解與定位，具有較好的去相關(guān)能力．文中主－被動混合控制的主動控制是把小波分析理論和LMS算法結(jié)合起來，采用了小波分解的LMS自適應(yīng)振動控制和Mallat快速算法，提高了小波自適應(yīng)算法的實時性．其控制原理如圖4所示．

圖4 基于小波變換域LMS算法的主動振動控制原理Fig．4 Active vibration control principle based on wavelet transformation LMS algorithm

圖4中:n=0，1，…，N －1;Us(n)為輸入的傳感信號;Uc(n)為輸出的控制電壓信號;d(n)為參考信號;e(n)為偏差信號;rj(n)為小波濾波器;WJ(n)=(w0(n)，w1(n)，…，wJ－1(n))，為自適應(yīng)濾波器權(quán)值向量;vj(n)為小波變換后的信號，

rj(l－ n)為 ψj，k(n)的對偶小波函數(shù)．

因此小波變換域LMS輸出的控制電壓為

更新自適應(yīng)濾波器權(quán)值

其中μ為收斂步長，VJ(n)為小波變換后的信號向量．

3 仿真分析

仿真中自適應(yīng)濾波器長度和收斂系數(shù)分別為32和0．01，自適應(yīng)濾波器初始權(quán)值為0，系統(tǒng)的輸入信號為Matlab中的信號發(fā)生器生成的30．23 Hz單頻正弦信號，采樣頻率為10kHz．

不同負電容值(無控制，ξ=0．1;Cr=121．60nF，ξ =0．2;Cr=97．28nF，ξ=0．4;Cr=93．80nF，ξ=0．6)下的控制效果與ξ的關(guān)系如圖5所示．

實際的壓電智能結(jié)構(gòu)可簡化等效成文獻［6］中所述的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，采用Simlink進行仿真，仿真參數(shù)如下:短路共振頻率f0=30．27 Hz，開路共振頻率 f1=30．33 Hz，開路阻尼系數(shù) ζ=0．0069，壓電元件固有電容C0=91．20 nF，開路電壓與位移響

圖5 被動控制效果與ξ的關(guān)系Fig．5 Relationship between passive control effect and ξ

由圖5可見，負電容參數(shù)值越接近于壓電片電容值(91．20nF)，廣義機電耦合系數(shù)ξ越大，被動控制效果越好．

當小波變換域LMS算法的輸出電壓大小固定為200V時，壓電片兩端電壓隨廣義機電耦合系數(shù)ξ的變化如圖6所示．

圖6 不同ξ下壓電片兩端的電壓Fig．6 Voltages of piezoelectric film with different values of ξ

由圖6可見，負電容參數(shù)值越接近壓電片電容值(91．20nF)，主動控制電壓放大效果越好．

基于負電容的主－被動混合振動控制與單獨的負電容被控制動或小波變換域LMS主動控制的效果比較如圖7所示，為更好地比較，仿真中負電容分支電路參數(shù)和小波變換域LMS主動控制參數(shù)保持不變，Cr=97．28nF，ξ=0．4，Rp=1.0kΩ．

由圖7可見，在負電容分支電路參數(shù)和小波變換域LMS主動控制參數(shù)保持不變的條件下，基于負電容分支電路的主－被動混合控制效果優(yōu)于單獨的被動或主動控制．

圖7 主－被動混合控制與單獨被動或主動控制的仿真效果比較Fig．7 Comparison of simulation effects among active-passivehybrid vibration control，the individual active control and passive control

4 實驗分析

以工程中常見的薄板結(jié)構(gòu)為例，搭建的實驗裝置如圖8所示，其原理示意圖如圖9所示，利用上述主－被動混合振動控制方法對薄板一階振動進行抑制，并通過實驗來驗證該方法的正確性，討論負電容參數(shù)值對控制效果的影響．

四邊固支的鋁鎂合金薄板的外型尺寸及壓電片的粘貼方案如圖10所示，薄板和壓電片的厚度分別為1．0 和0．2mm，合金薄板密度為2．68g/cm3，楊氏模量為68GPa．實驗前利用MSC．Nastran結(jié)構(gòu)分析軟件對薄板進行模態(tài)分析，計算出合金薄板各階共振頻率大小及相應(yīng)的應(yīng)變最大位置．經(jīng)模態(tài)分析知道，壓電片1貼于第一階模態(tài)的應(yīng)變最大位置，可用來控制結(jié)構(gòu)的一階振動;壓電片5用作激勵片，因為它的位置離前三階振動模態(tài)的最大應(yīng)變位置都很近，用它激勵薄板可將薄板前三階振動模態(tài)都激發(fā)出來;壓電片6作為傳感片，用于產(chǎn)生主動控制的輸入信號．壓電片尺寸為 30．0 mm ×30．0 mm ×0．2 mm，壓電片電容值為61．80nF．

圖8 實驗裝置Fig．8 Experimental apparatus

圖9 實驗原理示意圖Fig．9 Schematic diagram of experimental principle

圖10 壓電薄板外形及壓電片粘貼方案(單位:mm)Fig．10 Piezoelectric thin plate shape and piezoelectric film paste program(Unit:mm)

激勵信號選用頻率與需要控制的模態(tài)共振頻率相等的正弦信號，經(jīng)激勵功放連接壓電片5激勵四周固支薄板的振動．對于一階模態(tài)控制，壓電片6或位移傳感器將傳感信號經(jīng)DSpace的AD輸入至控制算法的輸入口，控制算法的輸出經(jīng)負電容分支電路連接至壓電片1，用于控制薄板的振動，負電容電路如圖11所示．

圖11 負電容電路Fig．11 Circuit of negative capacitance

此時，負電容構(gòu)造電路的等效負電容值為

實驗中，R1=2000Ω，可變電阻R2的范圍為0～500Ω，Cg=1μF，只要調(diào)節(jié)可變電阻 R2的大小，即可得到不同的負電容值，最大負電容可達到250 nF．薄板的一階共振頻率為81．81 Hz．主－被動混合振動控制效果與負電容值的關(guān)系如圖12所示，其控制效果如表1所示．

由運算放大器的虛短和虛斷可知，圖11中電路的阻抗為

表1 主－被動混合振動控制效果Table 1 Effect of active-passive vibration hybrid control

由表1可以看出，負電容參數(shù)值越接近于壓電片電容值，即廣義機電耦合系數(shù)越大，主－被動混合振動控制效果越好．

單獨的主動控制是指主－被動混合控制方法中，去掉負電容分支電路，即圖9中小波變換域LMS主動控制器輸出經(jīng)DA端口直接連接至壓電片1;單獨的被動控制是指主－被動混合控制方法中，去掉主動控制器，即圖9中只有負電容分支電路直接連接至壓電片1．

為方便比較，實驗中3種控制方法的負電容分支電路參數(shù)和控制器參數(shù)保持不變．小波變換域LMS主動控制器的收斂系數(shù)、自適應(yīng)濾波器波長和自適應(yīng)濾波器初始權(quán)值分別為0．01、32和0，負電容分支電路中電阻Rp為1.5kΩ，負電容Cr為93．50nF;被動控制中，負電容分支電路中電阻Rp為1.5 kΩ，負電容 Cr為 93．50nF．

主－被動混合控制與單獨被動和主動控制的實驗效果如表2和圖13所示．

圖12 主－被動混合控制振動效果與負電容的關(guān)系Fig．12 Relationship between active-passive hybrid vibration control effect and the negative capacitance

表2 3種控制方法的實驗效果Table 2 Experimental effects of three control methods

由表2可見，在負電容分支電路參數(shù)和控制器參數(shù)相同的條件下，主－被動混合控制效果比單獨的主動或被動控制好，與理論分析及仿真結(jié)果相吻合．

圖13 主－被動混合控制與單獨的被動和主動控制實驗效果比較Fig．13 Experimental comparison of effects among activepassive hybrid vibration，the individual active control and passive control

5 結(jié)語

文中研究了一種含有負電容分支電路的主－被動混合控制系統(tǒng)，并對這種系統(tǒng)的振動抑制效果與負電容參數(shù)關(guān)系進行了探討．仿真和實驗結(jié)果表明，負電容的引入可以增大主－被動混合控制系統(tǒng)的機電耦合系數(shù)，即可以提高被動控制的阻尼，又可以放大主動控制的電壓，其控制效果優(yōu)于單獨的主動控制或被動控制．將負電容引入主－被動混合振動控制對研究其它類的分支電路的主－被動混合振動控制系統(tǒng)具有重要的指導(dǎo)意義．

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