矯直過程截面復雜反彎的應力分布與反彎特性解析

管奔，臧勇，逄曉男，呂智勇，曲為壯

(1. 北京科技大學 機械工程學院，北京，100083；2. 山東省萊蕪鋼鐵股份有限公司型鋼廠，山東 萊蕪，271126)

彈塑性彎曲是一種重要的金屬加工技術。在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，板條、型材和板的彈塑性彎曲被廣泛地應用于大型金屬結構及各種日常用品的制造過程[1]，而在金屬條材的生產(chǎn)過程中，作為最后一道塑性變形性質的輥式矯直工序更是典型的需要經(jīng)歷多次反彎的復雜彈塑性彎曲過程[2]。為設定輥式矯直過程合理的工藝參數(shù)及保證矯后條材的幾何精度，需要對輥式矯直過程所特有的此類連續(xù)彈塑性反彎過程進行深入研究和準確認識。針對彈塑性彎曲，國內(nèi)外學者進行了許多基于理論探索和工程應用的研究工作[3-5]，大部分工作是以一次彎曲成型的金屬塑性加工為應用背景，從而不存在考慮彎曲歷史對截面特性的影響問題。實際上，金屬條材的矯直是典型的多次彈塑性反彎的力學過程，矯直理論研究的力學基礎卻依然是基于不考慮截面彎曲歷史的簡單彈塑性彎曲理論，從而將截面各次反向彎曲作為沒有關聯(lián)的、各自獨立的過程進行分析，因而造成理論分析與現(xiàn)場應用的較大差距[2,6-7]。使得對矯直過程現(xiàn)實問題的有效分析手段多為各種數(shù)值方法[8-14]。彈塑性彎曲是一種典型的截面不均勻變形狀態(tài)，會使截面產(chǎn)生宏觀殘余應力[15]，所以輥式矯直過程中截面多次彈塑性反彎是一個不斷產(chǎn)生新的殘余應力而同時截面應力又在不斷進行重分布的演變過程，在此過程中前次彎曲產(chǎn)生的殘余應力遺傳至下一彎曲過程又必將會對下一彎曲過程的反彎特性產(chǎn)生影響。所以，在金屬條材彈塑性連續(xù)反彎過程中存在一種截面彎曲特性與應力分布相耦合的演變過程，這時經(jīng)典彈塑性彎曲理論已經(jīng)不再適用，彎曲參數(shù)與力學參數(shù)間簡單的函數(shù)關系也將不復存在。因此，要建立合理的輥式矯直過程彎曲力學模型、精確分析多次反彎的截面彎曲特性，必須建立考慮遺傳變形歷史的截面彈塑性彎曲理論。本文作者以無量綱化的矩形截面為例，基于彈塑性彎曲的基本理論，建立考慮截面反彎特性與應力遺傳關系的彈塑性二次反彎過程力學模型體系，并對彎曲歷史對截面應力分布及彎曲特性的影響進行研究，在此基礎上，揭示輥式矯直過程截面彎曲特性的復雜函數(shù)關系，并對進一步的輥式矯直過程截面更多次反彎的參數(shù)關系解析函數(shù)形式進行論述。

1 矩形截面的彎曲特性

設矩形截面寬度為B，高度為H，彈性極限彎矩為Mt，彈性極限曲率角為At。彎曲時，截面彈性區(qū)高度為Ht，截面彎矩為M。

對矩形截面定義如下4個參數(shù)：

由此，則實現(xiàn)了整個彎曲過程曲率、彎矩等各關系的無量綱化，無量綱參數(shù)ξ，C和是截面不同參數(shù)相對其彈性極限狀態(tài)的比值。由截面高度為±1的無量綱化的矩形截面推導產(chǎn)生的各種關系適用于任何理想金屬的矩形截面。

2 彎曲應力與反彎特性耦合解析

2.1 簡單彈塑性彎曲

若完全不考慮(或不存在)截面的彈塑性彎曲歷程及由其產(chǎn)生的殘余應力，則在此狀態(tài)下進行的彈塑性彎曲可定義為簡單彈塑性彎曲過程。而金屬條材的輥式矯直截面第一次彎曲過程即屬于此簡單彈塑性彎曲狀態(tài)。

經(jīng)典的彈塑性彎曲理論中彈塑性彎曲和彈復過程如圖1所示，其截面應力分布可分為加載應力和卸載后殘余應力2種狀態(tài)[16]。設截面屈服極限為σs，彎曲曲率比為C，則沿矩形截面高度z方向彎曲加載過程應力分布方程為

對應力分布方程進行積分，得彎矩與曲率比的關系(即M-C關系)為

卸載后截面彎曲殘余應力分布方程為

圖1 簡單彈塑性彎曲截面應力演變過程Fig.1 Evolution of section stress during simple elastic-plastic bending process

2.2 二次彈塑性反彎

復雜彈塑性彎曲即是彎曲截面在簡單彈塑性彎曲基礎上，再經(jīng)過了一次或多次彈塑性彎曲的過程。在復雜彈塑性彎曲過程中，由于殘余應力的存在和作用，截面的變形歷史開始影響彎曲過程中的曲率比與彎矩的關系。以輥式矯直截面第2次反彎過程為例進行分析，其在力學模型上是最簡單的2次反彎過程，設截面第1次正向彎曲曲率比為CI，第2次反向彎曲曲率比為CII，現(xiàn)分析其第二次彎曲過程。

2.2.1 應力分布

設第1次彎曲截面殘余應力為σcI，第2次彎曲過程產(chǎn)生的彎曲應力為σwⅡ，根據(jù)彎曲過程變形的幾何協(xié)調(diào)性和殘余應力的疊加性，若不考慮應力的屈服條件，其理論彎曲應力的基本方程應為

第2次彎曲單獨形成有應力在彈性變形區(qū)應滿足下式：

殘余應力則滿足式(3)。

設 ξII為截面二次彎曲后的彈塑性分界點，應力滿足：

在ξII以外為塑性區(qū)應力應直接取為sσ。

由式(5)可以確定 ξII的位置。不過，由式(3)和圖1(b)的復雜性可知：ξII和ξI的相對位置(前后二次的彎曲曲率比)不同，截面的應力分布不同，具體如圖2所示，所以式(5)所確定的ξII的具體公式也不一樣。

圖2 復雜彈塑性彎曲加載過程應力分布情況Fig.2 Distribution of section stress during loading step of complicated elastic-plastic bending process

(1) ξII＞ξI。當后一次彎曲程度相對較低，加載后不能統(tǒng)一前一次彎曲造成的殘余應力疊加效應時，截面應力分布如圖2(a)所示，稱為1類應力分布方式。將式(3)及式(4)帶入式(5)可得：

整理得彈區(qū)比ξⅡ：

在考慮截面應力屈服條件的情況下，此時的截面加載后應力分布方程如下：

將式(7)帶入上式并整理得復雜彈塑性彎曲過程的1類彎矩與曲率比關系方程(即M-C關系)如下：

(2) ξII＜ξI。當后一次彎曲程度相對較高，加載后完全消除前一次彎曲造成的殘余應力效應時，截面應力分布如圖2(b)所示，稱為第2類應力分布方式。與第1類應力分布推導相同，可以獲得：

2.2.2 應力分布形式判別

由以上推導可知：復雜彎曲加載過程的應力分布形式與CI和CII的組合關系有關。為求得應力分布方式的判定方法，可取兩分布方程都適用的邊界情況，則：

整理得兩類應力分布邊界函數(shù)為：

實際上，式(12)就是 ξII=ξI的關系式。

另外，除上述的彈塑性變形外，第二次彎曲也有可能存在彈性變形的情況。其極限情況是僅在邊部出現(xiàn)塑性應力。此時由式(6)確定的ξII應落在邊部，即為1。相應的彎曲曲率比即為復雜彈塑性彎曲狀態(tài)下截面的彈性極限彎曲曲率比，即

由式(13)可以看出：復雜彈塑性彎曲狀態(tài)下，截面彈性極限彎曲曲率比CtII已經(jīng)不再等于 1，而是 CI的函數(shù)，即與截面的變形歷史有關。正常情況下， CI＞1，因此CtII＜1，即需要較小的力矩即可使斷面產(chǎn)生塑性變形。

將式(12)和式(13)表示的曲線畫在(CI，CII)平面上，可以得到復雜彈塑性彎曲過程的應力狀態(tài)分布情況(圖3)。上述2條曲線將平面分為彈性變形、1類應力和2類應力3個區(qū)域，具體情況則與CI和CII2個參數(shù)的搭配相關，即復雜彈塑性彎曲的應力分布由2個彎曲參數(shù)共同決定。

由此可見：在輥式矯直截面二次反彎過程中，代表截面彎曲歷史的參數(shù) CI對后次彎曲存在遺傳影響作用，不考慮截面變形歷史的彈塑性彎曲理論已經(jīng)無法精確描述截面的彎曲性質。

圖3 復雜彎曲過程在(CI，CII )平面上的應力分布Fig.3 Variation of stress distribution with bending parameter combination (CI, CII)

2.3 高次復雜彈塑性彎曲

在輥式矯直的實際過程中，金屬條材各截面最終都將經(jīng)歷3次以上的彈塑性連續(xù)反彎過程。由以上二次反彎的彈塑性解析可知：隨著截面反彎次數(shù)的不斷增多，其應力遺傳耦合關系將會越來越復雜。

通過對二次反彎的推導，可以對更高次的復雜彈塑性彎曲的截面彎曲特性函數(shù)進行如下描述：若設輥式矯直過程截面經(jīng)歷n次彎曲，則其截面變形歷史將由CI，CII，…，Cn共 n個彎曲參數(shù)進行定義，其應力分布方程可能是一個n元2n+1段的分段函數(shù)，其應力分布特征需采用n維空間方可進行描述。

可見：采用解析方法對輥式矯直高次的復雜彈塑性彎曲過程進行徹底的解析較為困難，有賴于采用合理的數(shù)值方法進行分析。

3 二次反彎過程的彎曲特性分析

3.1 加載過程M-C曲線

加載過程中的 M-C曲線集中反映著彈塑性彎曲加載過程截面的彎曲特性，對于實際工程應用中合理地設定彎曲參數(shù)具有重要指導意義。

由以上理論公式(8)和(11)可以得到二次反彎加載過程中彎曲特性(即M-C曲線)，如圖4所示。

圖4 二次反彎過程M-C曲線Fig.4 M-C curves during the second reverse bending process

由圖4的M-C曲線可以看出：CI=1時，前次彎曲并沒有進入彈塑性彎曲狀態(tài)，二次反彎過程的M-C曲線與簡單彈塑性彎曲過程相同。對比CI=1的曲線，前次簡單彎曲若進入彈塑性彎曲狀態(tài)，則二次反彎過程截面彈性極限彎矩將按照式(13)的規(guī)律減小，相同曲率比條件下截面所需彎矩更小，即截面更易于發(fā)生彈塑性彎曲。同時，隨著前次彎曲曲率比的增大，截面二次反彎彎矩減小的趨勢將放緩。而 M-C關系在整個(CI，CII)平面上的曲面及等值線投影見圖5。

由以上對復雜反彎加載過程進行的分析可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)歷二次反彎的截面更易于進行彎曲。這也就是說，在實際輥式矯直的彈塑性彎曲過程中，矯直機第3輥(即截面第 2次彎曲位置)相較于經(jīng)典理論應減小彎矩水平，即適當減小壓下量，才能達到截面理想的彎曲曲率要求。

圖5 二次反彎過程M-C關系在(CI，CII)平面上的曲面Fig.5 M-C relation surface on (CI, CII) coordinate plane during the second reverse bending process

3.2 卸載過程應力分布及回彈特性

由于二次反彎加載彈復后應力分布函數(shù)σ及M-C關系函數(shù)極為復雜，因此不再列出完整的二次反彎殘余應力分布函數(shù)。

以sσ=235 MPa為例，當CII=3時，卸載后截面的殘余應力分布狀態(tài)隨CI的變化如圖6所示。由圖6可以看出：前次彈塑性彎曲歷史對截面中心部位的殘余應力分布形式具有很大的影響，而在連續(xù)反彎過程中截面邊部的殘余應力水平則與本次反彎參數(shù)相關較大，邊部殘余應力處在不斷變化的狀態(tài)，對經(jīng)歷輥式矯直過程多次彎曲的截面殘余應力狀態(tài)的分析有賴于其整個變形歷史的彎曲參數(shù)。

圖6 CII=3的二次反彎卸載后截面殘余應力分布Fig.6 Distribution of section residual stress after unloading step of the second reverse bending process for CII=3

同樣，由于彈復過程的純彈性效應，彈復后截面曲率比Cf符合下式：

回彈比是考察截面回彈特性的重要參照量。該量在板條彎曲加工中用于判斷截面是否能更好地保持受彎時的形狀[1]。在輥式矯直過程中也是對條材殘留曲率比計算的重要指標。二次反彎過程中回彈比隨前次彎曲參數(shù)的變化如圖7所示。

圖7 二次反彎回彈比曲線Fig.7 Springback ratio curve during the second reverse bending process

由圖7可以看出：前次彎曲歷史的存在會使得回彈比增大，而且隨著前次彎曲曲率比的增大回彈比也呈增大趨勢，即彎曲曲率比CII與彈復后曲率比Cf更加接近。這就說明經(jīng)歷二次反彎的截面卸載時能更好地保持受彎時的形狀。因此對于輥式矯直過程而言，經(jīng)歷前次彎曲的金屬條材在矯直機第3輥的2次反彎過程中需要相對于經(jīng)典公式減小壓下量以利于其殘余曲率比的控制。

4 結論

(1) 理論解析證明輥式矯直多次彈塑性反彎過程中截面存在著與反彎歷史相關的、復雜的應力分布與反彎特性關系。

(2) 復雜彈塑性彎曲的彎曲特性參數(shù)均是包含截面整個彎曲歷史參數(shù)的復雜函數(shù)。

(3) 輥式矯直過程經(jīng)歷二次反彎的條材截面彈性極限彎矩減小，截面更易于彎曲。

(4) 輥式矯直過程經(jīng)歷復雜反彎的截面殘余應力狀態(tài)有賴于其整個變形歷史的彎曲參數(shù)。

(5) 經(jīng)歷二次反彎的截面回彈比增大，截面能更好地保持受彎時的形狀，應有針對性地相對于經(jīng)典公式減小壓下量，控制殘余曲率比。

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