不同抽樣頻率下創(chuàng)業(yè)板指數(shù)波動(dòng)的測度

楊建輝，魯旭芬

0 引言

正確度量創(chuàng)業(yè)板的投資風(fēng)險(xiǎn)對投資者無疑具有重要意義。波動(dòng)率是金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)研究的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。波動(dòng)率指關(guān)于資產(chǎn)未來價(jià)格的不確定性的度量。根據(jù)信心提取的時(shí)間順序，傳統(tǒng)的波動(dòng)率測度主要采用兩種指標(biāo)，隱含波動(dòng)率和歷史波動(dòng)率。傳統(tǒng)歷史波動(dòng)率的方法主要有GARCH類模型和隨機(jī)波動(dòng)模型[1]。GARCH類模型采用改變的條件方差來捕捉價(jià)格波動(dòng)的時(shí)變性和序列相關(guān)性，隨機(jī)波動(dòng)模型假定時(shí)變方差遵循某種不可觀測的隨機(jī)過程，并不依賴于過去的觀測值。近年來受益于計(jì)算機(jī)等技術(shù)的發(fā)展，高頻數(shù)據(jù)變得容易獲得。高頻數(shù)據(jù)是相對于日間或者更長時(shí)間間隔的數(shù)據(jù)而言，主要針對以小時(shí)、分鐘或秒為采集頻率的數(shù)據(jù)。高頻數(shù)據(jù)比低頻數(shù)據(jù)包含了更豐富的日內(nèi)收益波動(dòng)、微觀市場噪聲等信息，因此在金融研究領(lǐng)域備受關(guān)注。

Anderson和Bollerslev[2]提出了一種全新的波動(dòng)率測度方法，在高頻時(shí)間序列下構(gòu)造了經(jīng)典的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（realized volatility,RV），把一段時(shí)間內(nèi)收益率的平方和作為波動(dòng)率的估計(jì)。相比傳統(tǒng)低頻領(lǐng)域的條件異方差模型和隨機(jī)波動(dòng)模型，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)不需要模型及參數(shù)估計(jì)，而且計(jì)算簡單。在已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的基礎(chǔ)上學(xué)者又提出了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的改進(jìn)方法。徐正國和張世英[3]針對調(diào)整“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)的長記憶性和“杠杠”效應(yīng)建立ARFIMAX模型，通過設(shè)定一系列標(biāo)準(zhǔn),全面比較基于調(diào)整“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)的ARFIMAX模型、GARCH模型以及SV模型的預(yù)測能力。

Martens和Dijk[4]利用金融資產(chǎn)價(jià)格的極值理論，構(gòu)造了已實(shí)現(xiàn)極差波動(dòng)率(realized range-based volatility,RRV)。針對日內(nèi)效應(yīng)，唐勇和張世英[5]提出了賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差波動(dòng)，并證明了其無偏性和最小方差性。針對市場微觀結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的跳躍間斷點(diǎn)，Barndorff-Nielsen和Shephard[6]率先提出已實(shí)現(xiàn)雙冪波動(dòng)(realized bipower volatility,RBV)，解決了跳躍間斷點(diǎn)對波動(dòng)測度的干擾，但沒有考慮日內(nèi)效應(yīng)。鑒于此，李勝歌和張世英[7]在已實(shí)現(xiàn)雙冪波動(dòng)的基礎(chǔ)上賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)雙冪波動(dòng)，并證明了其是積分波動(dòng)的無偏估計(jì)，比“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)、賦權(quán)“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)以及“已實(shí)現(xiàn)”雙冪次變差更有效。Barndorff-Nielsen[8]等針對跳躍間斷點(diǎn)還提出了已實(shí)現(xiàn)核估計(jì)。徐正國和張世英[9]把基于一維高頻數(shù)據(jù)的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率擴(kuò)展到多維高頻數(shù)據(jù)情形,給出“已實(shí)現(xiàn)”協(xié)方差陣,并給出了協(xié)方差陣的極限性質(zhì),用以刻畫多維金融變量的波動(dòng)率和相關(guān)性。

使用“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率來估計(jì)金融時(shí)間序列真實(shí)的波動(dòng)性的誤差主要包括測量誤差和市場微觀結(jié)構(gòu)誤差兩方面。測量誤差隨著抽樣頻率的升高而降低，但抽樣頻率過高會(huì)引起市場微觀結(jié)構(gòu)誤差的增大。所以，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)準(zhǔn)確度量的關(guān)鍵是高頻數(shù)據(jù)抽樣頻率的選擇。Jeff Fleming等[10]在研究微觀市場結(jié)構(gòu)噪聲跳躍間斷點(diǎn)時(shí)，基于MMI中的20只股票對不同抽樣頻率下的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)分布進(jìn)行了詳細(xì)刻畫，但國內(nèi)文獻(xiàn)中大部分學(xué)者在對已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)研究時(shí)直接取抽樣頻率5分鐘，并沒有考慮不同抽樣頻率下波動(dòng)率分布的不同特征及誤差的大小。

為實(shí)現(xiàn)對創(chuàng)業(yè)板指數(shù)波動(dòng)的準(zhǔn)確測度，本文基于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)模型，研究不同頻率下創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的波動(dòng)特征。

1 創(chuàng)業(yè)板指數(shù)收益特征分析

1.1 樣本選取與數(shù)據(jù)來源

創(chuàng)業(yè)板指數(shù)于2010年6月1日起正式編制和發(fā)布，基日為2010年5月31日，基點(diǎn)為1000點(diǎn)。本文選取2010年6月1日至2011年12月13日創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的高頻數(shù)據(jù)作為研究樣本。樣本共計(jì)372個(gè)交易日，1分鐘間隔下有372×240=89280個(gè)數(shù)據(jù)；另外，我國股市全天交易時(shí)長為240分鐘，金融高頻數(shù)據(jù)的最短抽樣間隔為1分鐘，相對于國外市場全天390分鐘交易時(shí)長，我國金融高頻數(shù)據(jù)的抽樣頻率取值范圍要小的多，若抽樣頻率去1分鐘間隔以下或幾分零幾秒的數(shù)值，對實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值不大，所以抽樣頻率完全可以采用列舉法[11]。故本文抽樣頻率選取1min，3min，5min，10min,15min,20min,30min,40min,60min等9個(gè)間隔。數(shù)據(jù)來源于國泰安數(shù)據(jù)庫。

1.2 創(chuàng)業(yè)板指數(shù)1分鐘對數(shù)收益率的基本統(tǒng)計(jì)特征

本文以1分鐘間隔為例，來研究高頻環(huán)境下創(chuàng)業(yè)板指數(shù)對數(shù)收益率的統(tǒng)計(jì)特征。用Eviews6.0計(jì)算創(chuàng)業(yè)板指數(shù)收益率。假設(shè)第t交易日內(nèi)第k個(gè)時(shí)間間隔的指數(shù)為It,k，該時(shí)間間隔的收益率為rt,k，收益率采用一階對數(shù)差分形式:

rt,k=lnIt,k-lnIt,k-1

圖1為創(chuàng)業(yè)板指數(shù)1分鐘對數(shù)收益率的變化過程。在一定的時(shí)間間隔頻率內(nèi)，在大幅波動(dòng)后往往跟隨著一個(gè)大幅波動(dòng)，小幅波動(dòng)后往往有更多的小幅波動(dòng)，反映出創(chuàng)業(yè)板市場和其他金融市場一樣具有波動(dòng)聚集效應(yīng)。大致從第71250個(gè)時(shí)間間隔起，即從2011年8月左右開始，指數(shù)有較大的波動(dòng)，最大波動(dòng)幅度甚至達(dá)到了4%。這與從8月份起歐洲債務(wù)危機(jī)的愈演愈烈不無關(guān)系。對1分鐘對數(shù)收益率序列進(jìn)行了ADF單位根檢驗(yàn)，序列是平穩(wěn)的。

圖1 創(chuàng)業(yè)板指數(shù)1分鐘對數(shù)收益率

如表1所示，創(chuàng)業(yè)板指數(shù)1分鐘對數(shù)收益率序列的偏度為-4.0284（左偏），峰度達(dá)到了454.5223。從圖2中可以看到，QQ圖的中部為直線，上端右偏離該直線，下端左偏離該直線，具有明顯的尖峰厚尾特征。正態(tài)檢驗(yàn)值Jarque-Bera遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0，說明該序列不服從正態(tài)分布。

表1 創(chuàng)業(yè)板指數(shù)1分鐘對數(shù)收益率的統(tǒng)計(jì)特征

本文隨機(jī)選取2011年4月12日來觀察高頻數(shù)據(jù)中的日內(nèi)效應(yīng)，圖3為2011年4月12日創(chuàng)業(yè)板指數(shù)1分鐘對數(shù)收益率的折線圖。從圖中可以看到，對數(shù)收益率從第一個(gè)1分鐘-0.000731迅速上升至第二個(gè)1分鐘0.000210，并且在開盤和收盤時(shí)波動(dòng)幅度比其他時(shí)段明顯增大。劉向麗等[11]認(rèn)為產(chǎn)生這種現(xiàn)象與金融市場的微觀結(jié)構(gòu)和隔夜信息的消化、吸收和釋放有直接的關(guān)系，但王遠(yuǎn)志等[12]認(rèn)為是集合競價(jià)導(dǎo)致了市場開盤的高波動(dòng)性。另外，對數(shù)收益率從119分鐘的-6.97e-06上升到120分鐘的0.000188，從121分鐘的0.001192下降到122分鐘的-5.47e-05,這說明對數(shù)收益率波動(dòng)幅度在中午收盤和下午開盤時(shí)有顯著增大。下午開盤前是沒有集合競價(jià)的，所以劉向麗等[11]認(rèn)為下午開盤前的高波動(dòng)性是由于在這段無交易時(shí)間內(nèi)積蓄的信息釋放的結(jié)果，而不是由集合競價(jià)導(dǎo)致的開盤的高波動(dòng)性。收益率的急升急降從另一個(gè)側(cè)面反映了跳躍間斷點(diǎn)（jump）的存在。

圖2 創(chuàng)業(yè)板指數(shù)1分鐘對數(shù)收益率的QQ圖

圖3 2011年4月12日創(chuàng)業(yè)板指數(shù)1分鐘對數(shù)收益率

2 基于經(jīng)典已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)不同抽樣頻率下的創(chuàng)業(yè)板指數(shù)波動(dòng)測度

2.1 經(jīng)典已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)原理

Hull&White[13]研究期權(quán)定價(jià)時(shí)，給出期權(quán)買權(quán)持有期內(nèi)收益波動(dòng)率的計(jì)算公式:

IVt（Integrated Volatility）是第t時(shí)期持有期為(T-t)的收益波動(dòng)率，即積分波動(dòng)。σu2是第u時(shí)刻的波動(dòng)率。式（1）表示一段時(shí)間金融頭寸的波動(dòng)率可以由在這段時(shí)間上波動(dòng)率的積分得到。

積分波動(dòng)的基本思想是價(jià)格符合連續(xù)擴(kuò)散過程，對數(shù)收益率為特殊半鞅過程（special martingale），條件協(xié)方差矩陣為二次協(xié)方差過程。因此，第t日的創(chuàng)業(yè)板指數(shù)收益率 rt滿足[14]：

其中，k為時(shí)間間隔序數(shù)，w(s)服從幾何布朗隨機(jī)游走過程，u(s)表示該過程的漂移項(xiàng)，σ(s)表示波動(dòng)率。Anderson等[14]多次證明在無套利市場，滿足：

即只要收益率的取值頻率足夠高，N趨向于無窮大時(shí)，一天內(nèi)連續(xù)時(shí)間收益率的平方和可以作為日波動(dòng)率的估計(jì)值，用RVt表示第t日的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率，則

所有的r2t,k均是可觀測的，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)測度沒有模型和參數(shù)，簡單易行。

2.2 實(shí)證結(jié)果

使用Matlab7.0和Eviews6.0計(jì)算不同抽樣頻率下的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RV及其統(tǒng)計(jì)特征。隨著抽樣間隔的增加，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的均值不斷增加，60分鐘間隔已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的均值為1分鐘間隔已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)均值的2.44倍。標(biāo)準(zhǔn)差呈持續(xù)上升趨勢，唯獨(dú)30分鐘間隔處相比20分鐘間隔處略微下降，說明抽樣間隔越大，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的值和波動(dòng)幅度越大。所取抽樣間隔下已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的偏度都大于2，峰度都大于8，且總體呈下降趨勢，但在15分鐘間隔和40分鐘間隔上偏度和峰度逆趨勢增加。這是市場微觀結(jié)構(gòu)誤差和測量誤差此消彼長共同作用的結(jié)果。不同的抽樣間隔對已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度均有顯著影響。

從圖4可以看到，在30分鐘處，標(biāo)準(zhǔn)差略微下降，偏度最小為2.252276，峰度也最小為8.794841，從標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度綜合考慮，30分鐘的抽樣間隔優(yōu)于其他抽樣間隔。

圖5為不同抽樣頻率下創(chuàng)業(yè)板指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，1、3、5、10、15分鐘等間隔處波動(dòng)總體趨勢類似，但波動(dòng)范圍逐漸增大。5個(gè)間隔的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)圖形都從第290天（2011年8月9日）起波動(dòng)明顯增大，與前文1分鐘間隔對數(shù)收益率在2011年8月份波動(dòng)幅度增大的結(jié)果一致。20、30、40和60分鐘間隔處已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)總體趨勢類似，相比前5個(gè)間隔，在0～40天和90～130天處波動(dòng)幅度更大，并且更密集。不同于在前5個(gè)間隔后期波動(dòng)幅度比前期大，在后4個(gè)間隔中，創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)前期的波動(dòng)幅度比后期大，前期波動(dòng)更明顯。表明不同的抽樣間隔對同一時(shí)間的波動(dòng)測度影響較大。由于在創(chuàng)業(yè)板開板初期，創(chuàng)業(yè)板指數(shù)并沒有發(fā)布，所以不能得知?jiǎng)?chuàng)業(yè)板開板時(shí)指數(shù)的波動(dòng)幅度。

表2 不同抽樣頻率下已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特征

3 結(jié)論

圖5 不同抽樣頻率下創(chuàng)業(yè)板指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率

本文對不同抽樣頻率下創(chuàng)業(yè)板指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的特征進(jìn)行分析，不同的抽樣間隔對已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度均有顯著影響。在綜合考慮微觀市場結(jié)構(gòu)誤差和測量誤差的基礎(chǔ)上認(rèn)為，30分鐘為創(chuàng)業(yè)板指數(shù)經(jīng)典已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的最優(yōu)抽樣間隔。大多數(shù)文獻(xiàn)在研究已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)時(shí)簡單直接的取5分鐘作為抽樣間隔的方法是不可取的，抽樣頻率對已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的準(zhǔn)確度量具有重要影響。但對最優(yōu)抽樣頻率的選取標(biāo)準(zhǔn)還有待進(jìn)一步研究。

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