軸向力作用下巖柱抗彎剛度的數(shù)值解

皮智鵬 胡和平 肖建清

(1．南華大學城市建設(shè)學院，湖南衡陽 421001; 2．安陽師范學院建筑工程學院，河南安陽 455000)

0 引言

一般材料的抗彎剛度都可以用四點彎曲試驗得到，然而由于巖石的抗拉能力太弱，所以在很低的拉應力下試件即會破壞。為了解在具有較大地應力下礦柱或洞室中巖體抵抗彎矩的能力，需要十分復雜的力學試驗儀器，這為工程及科研帶來了一定難度。本文根據(jù)一般的材料力學和連續(xù)介質(zhì)力學假定，分別以實驗室中小體積巖石的和地下工程中使用的宏觀巖體的本構(gòu)關(guān)系為依據(jù)，使用MATLAB語言對有軸向力作用下巖柱截面進行計算機仿真，得到其不同軸向力作用下的彎矩曲率的變化情況，并用以分析軸向力對巖柱抗彎剛度及巖爆的影響。

1 巖石的本構(gòu)關(guān)系

1．1 巖石受壓時的應力應變曲線

巖石本構(gòu)關(guān)系一般都是根據(jù)巖塊的單軸或三軸試驗得到的應力應變曲線，然后通過數(shù)理統(tǒng)計回歸分析得到。不失一般性，在受壓情況下，巖石的應力應變曲線可以分為五個階段:分別為壓密、彈性、屈服、軟化和塑性流動階段?；诖耍疚膮⒖嘉墨I［1］［2］，建立符合試驗室小試件巖石物理特征的分段線性模型(見圖1);考慮尺寸效應，參考文獻［3］，建立符合洞室及礦柱巖體物理特征的尖角突變模型。

圖1 分段線性模型

1．1．1 分段線性模型

OA段:

AB段:

BC段:

CD段:

DE段:

其中，(εa，σa)，(εb，σb)，(εc，σc)，(εd，σd)，(εe，σe)分別為巖石在壓密、彈性、屈服、軟化和塑性流動階段末端的應變和應力值。

1．1．2 尖角突變模型

尖角突變模型見圖2。

圖2 尖角突變模型

彈性階段:

塑性軟化階段:

塑性流動階段:

其中，σc，εc分別為峰值應力和應變;σg，εg分別為峰值后拐點處的應力和應變;Ec為巖石的壓縮模量;λ為拐點g處的斜率絕對值，為巖石降模量。

1．2 巖石彎曲拉伸時的應力應變曲線

由于巖石材料的特殊性，一般無法直接測得其在受拉情況下的應力應變關(guān)系，而由巴西圓盤試驗和三點、四點間接拉伸試驗研究，巖石在受到拉應力時，開始時巖石的變形與荷載可認為是線性關(guān)系，隨著荷載的增加，巖石突然被拉斷，極限拉應變非常小(見圖3)。綜合考慮以上情況，其計算模型可以簡化為:

其中，σt，εt分別為巖石受拉時的極限應力和極限應變;Et為巖石的拉伸模量，根據(jù)文獻［4］，可取0．6 倍 ～0．8 倍 Ec。

2 不同軸向力下巖柱彎矩曲率關(guān)系的求解

2．1 巖柱橫截面的幾何相容方程

基于平截面假定，忽略巖石非均質(zhì)影響，將巖柱截面沿彎曲方向分成n個條帶，假定同一條帶上各點的應變和應力均等于該條帶中心點處的應變和應力。由于巖石受拉應力應變關(guān)系和受壓應力應變關(guān)系的差異，巖柱截面在壓彎時的中性軸將不在其截面的中心線處，不妨設(shè)截面中心線處的應變?yōu)棣?，則第i個條帶處巖石的應變?yōu)?

其中，ε0為截面中心線處的應變;Zi為每個條帶中心到截面中心的距離;φ為截面的曲率。

圖3 巖石在彎曲拉伸時的本構(gòu)模型

2．2 巖柱橫截面的物理方程

巖柱截面上每個條帶的應變值為一個關(guān)于ε0的線性函數(shù)，代入巖石的本構(gòu)關(guān)系中，可以得到巖柱截面處每一個條形的應力函數(shù)，它同樣也是關(guān)于ε0的函數(shù)，具有非線性特征。在計算中可規(guī)定截面處應力以受壓為正，受拉為負。

本構(gòu)方程為:

其中，f為巖石應力與應變的映射關(guān)系，具體查看上文中的巖石的兩種受壓本構(gòu)模型和受拉本構(gòu)模型。

2．3 巖柱橫截面的平衡方程

圖4 軸向力作用下巖柱橫截面的條帶分析模型

由圖4建立靜力平衡方程:

解非線性函數(shù)方程組(12)，可得到在固定φ值的截面處使得內(nèi)力為N的 ε0值，然后把 ε0和固定的 φ代入第二個方程組(13)，得到該截面的彎矩值，改變φ值，就可得到在定軸力N下不同曲率下的截面彎矩大小，即M—φ曲線。

3 算法流程

本文利用MATLAB編程，運用多M文件嵌套技術(shù)，通過更換本構(gòu)方程(11)，用試位法(method of false position)［5］求解平衡方程組(12)，用求得的σi代入方程(13)得到巖柱截面彎矩值，所求彎矩曲率曲線的斜率值即巖柱在不同軸向力下的抗彎剛度。

4 算例

分段線性模型:

尖角突變模型:

Ec=40 GPa，σc=60 MPa，εg=0．002 0，σg=45 MPa，εgg=0．003 0。

巖石抗拉強度取抗壓強度的10%，受拉模型:

巖柱橫截面尺寸為50 mm×300 mm，截面初始曲率為2×10－5m－1，每次遞增一倍，至0．01 m－1結(jié)束。軸力從10 kN 依次遞增到50 kN。計算結(jié)果見圖5，圖6。

圖5 由分段線性模型計算得到的M—φ曲線

圖6 由尖角突變模型計算得到的M—φ曲線

5 結(jié)語

1)由尖角突變模型計算得到的巖柱截面M—φ曲線在前段呈線性變化，其曲線斜率即巖柱截面的抗彎剛度EI，與EcI值十分接近。由分段線性模型計算得到的M—φ曲線在前段卻已有非線性特征，這主要是由巖石的壓密和屈服段的計算彈性模量與彈性段的彈性模量不同引起的，其平均斜率值與EcABI接近，EcAB為巖石在彈性段的彈性模量。2)隨著軸向力的增加，巖柱在線性段能抵抗的極限彎矩隨之升高，這是由于這里的極限彎矩由拉應變控制，巖石能承受的拉應變非常小，而隨著軸向力的增加，巖柱微段有一個隨著軸向力增加的相對較大的壓應變區(qū)，中和彎矩引起的拉應變，使得巖柱能承受的極限彎矩有所提高，進入軟化區(qū)的界限曲率也在隨之增大。這在地下工程中有著積極的意義，若把采礦中礦柱受到的地應力簡化為軸向力，可以推知，隨著地應力的增加，礦柱能抵抗的極限彎矩逐漸增大。3)巖柱一側(cè)曲率超過界限值時，彎矩曲率曲線發(fā)生突變，巖柱進入能量耗散階段，這在兩個物理模型得到了統(tǒng)一結(jié)果。這時巖柱截面發(fā)生軟化，巖柱的抗彎剛度為負值，到達巖體的擴容階段時，巖柱的抗彎剛度基本為零，理論上巖爆可能發(fā)生在巖體能量開始耗散的階段。若假設(shè)礦柱在某一截面發(fā)生巖爆，設(shè)截面厚度為1，根據(jù)曲率和轉(zhuǎn)角關(guān)系，則上面的計算結(jié)果也可看成是巖柱某截面(或巖爆截面)的M—θ關(guān)系圖，一般認為巖爆發(fā)生是巖石存儲的彈性應變能突然釋放發(fā)生的動力失穩(wěn)現(xiàn)象［6，7］，計算結(jié)果表明隨軸向力增加，其在彈性區(qū)儲存的彎曲應變能也隨之增加［8］，推之，隨地應力增加巖爆中釋放的彎曲應變能愈大。

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