一種基于二階Markov目標(biāo)狀態(tài)模型的多幀關(guān)聯(lián)動(dòng)態(tài)規(guī)劃?rùn)z測(cè)前跟蹤算法

鄭岱堃 王首勇 楊 軍 杜鵬飛

(空軍雷達(dá)學(xué)院 武漢 430019)

1 引言

檢測(cè)前跟蹤(Track-Before-Detect, TBD)是一種基于跟蹤的檢測(cè)技術(shù)，它將雷達(dá)各掃描數(shù)據(jù)幀作幾乎沒有信息損失的相關(guān)處理，同時(shí)得到檢測(cè)結(jié)果和目標(biāo)航跡，目前被認(rèn)為是檢測(cè)弱目標(biāo)的有效途徑。TBD算法將所有的觀測(cè)數(shù)據(jù)均假設(shè)為目標(biāo)狀態(tài)，形成目標(biāo)狀態(tài)序列，即假設(shè)航跡，沿航跡進(jìn)行能量積累從而根據(jù)積累值進(jìn)行檢測(cè)判斷。將動(dòng)態(tài)規(guī)劃(Dynamic Programming, DP)算法應(yīng)用于TBD，可在得到全局最優(yōu)解的前提下大大降低運(yùn)算量[1]，是一種重要的 TBD實(shí)現(xiàn)方法。文獻(xiàn)[2]首次提出了用于弱運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)的 DP-TBD算法并分析了其性能[3]，該算法把航跡跟蹤中的多階段問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)單階段問題，用觀測(cè)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)對(duì)指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行積累更新，并通過搜索指標(biāo)函數(shù)在前一階段的最大值來關(guān)聯(lián)目標(biāo)狀態(tài)，以分段最優(yōu)化實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)。文獻(xiàn)[4]考慮了有、無目標(biāo)兩種假設(shè)下的似然函數(shù)，以其似然比構(gòu)造指標(biāo)函數(shù)，提高了檢測(cè)性能，但是僅適用于非起伏模型目標(biāo)；文獻(xiàn)[5]提出直接采用假設(shè)目標(biāo)的信號(hào)幅度構(gòu)造指標(biāo)函數(shù)的 DP-TBD算法，這類算法簡(jiǎn)便易行，可以檢測(cè)起伏模型的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)；文獻(xiàn)[6]利用極限值理論分析了Tonissen算法的性能，給出了虛警概率和檢測(cè)概率的近似表達(dá)式。近些年對(duì)DP-TBD算法的研究[7-13]主要集中于對(duì)能量積累中的指標(biāo)函數(shù)的改進(jìn)和觀測(cè)數(shù)據(jù)的預(yù)處理。例如文獻(xiàn)[8]綜合回波數(shù)據(jù)中的幅度和相位信息，構(gòu)造了一種復(fù)數(shù)形式的似然比函數(shù)，改善了信噪比性能并且降低了運(yùn)算量。文獻(xiàn)[9]將目標(biāo)彌散區(qū)域內(nèi)的多點(diǎn)信號(hào)幅度進(jìn)行空域上的累加，提高了檢測(cè)性能，但該方法更適用于光學(xué)傳感器而非雷達(dá)。上述這些方法都是僅以當(dāng)前幀觀測(cè)數(shù)據(jù)與前一幀的指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)積累的，對(duì)目標(biāo)狀態(tài)在連續(xù)幀間的相關(guān)性和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征的考慮不充分。這樣在低信噪比時(shí)，容易造成幀間狀態(tài)關(guān)聯(lián)的錯(cuò)誤，嚴(yán)重影響了DP-TBD算法的檢測(cè)和跟蹤性能。

針對(duì)上述問題，本文利用多幀觀測(cè)數(shù)據(jù)來更新指標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行能量積累和目標(biāo)關(guān)聯(lián)，提出了一種多幀數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的 DP-TBD算法。為了實(shí)現(xiàn)有效積累，該算法以有目標(biāo)和無目標(biāo)假設(shè)下的條件概率之比最大為最優(yōu)準(zhǔn)則，充分考慮了目標(biāo)狀態(tài)的相關(guān)性，采用二階Markov過程對(duì)目標(biāo)狀態(tài)和觀測(cè)數(shù)據(jù)建模，并依據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征給出了一種與目標(biāo)轉(zhuǎn)彎角度相關(guān)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率模型來修正指標(biāo)函數(shù)。在低信噪比條件下，將本文算法與傳統(tǒng)的DP-TBD算法進(jìn)行仿真比較，結(jié)果表明本文算法的檢測(cè)和跟蹤性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

2 傳統(tǒng)的DP-TBD算法

雷達(dá)在第k次掃描的M×N個(gè)分辨單元內(nèi)的觀測(cè)數(shù)據(jù)可表示為

式中xk=(ik,jk),ik=1,2,… ,M,jk= 1 ,2,…,N，為第k次掃描的位置坐標(biāo)表示的假設(shè)目標(biāo)狀態(tài)；sk表示目標(biāo)信號(hào)幅度，對(duì)非起伏目標(biāo)sk=s;mk(xk)∈{0 ,1}，表示目標(biāo)存在與否，即當(dāng)分辨單元(ik,jk)內(nèi)有目標(biāo)出現(xiàn)時(shí)，mk(xk) = 1，否則mk(xk)=0;vk(xk)為觀測(cè)噪聲，通常服從零均值的高斯分布。

DP-TBD算法將航跡跟蹤過程分解為多個(gè)階段進(jìn)行能量積累，通過遞歸求解表征目標(biāo)能量的指標(biāo)函數(shù)的最大值來進(jìn)行目標(biāo)的檢測(cè)和跟蹤。設(shè)Vk(xk)為由第1幀積累到第k幀時(shí)，對(duì)應(yīng)于狀態(tài)位置xk的指標(biāo)函數(shù)，表示所有到達(dá)第k幀狀態(tài)xk的假設(shè)航跡中能量最大的航跡的積累值，則傳統(tǒng)DP-TBD算法的基本模型可表示為[5]

其中Tk(xk)為第k-1幀到第k幀的狀態(tài)轉(zhuǎn)移集合，由目標(biāo)的位置、最大速度等信息得到；Yk(xk)為回溯函數(shù)，用來記錄各個(gè)階段使指標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大的目標(biāo)狀態(tài)。

3 基于二階Markov目標(biāo)狀態(tài)模型的多幀關(guān)聯(lián)DP-TBD算法

為實(shí)現(xiàn)基于多幀數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的目標(biāo)能量有效積累，本文以有、無目標(biāo)假設(shè)下的狀態(tài)條件概率之比最大為最優(yōu)準(zhǔn)則，導(dǎo)出了多幀關(guān)聯(lián)的 DP-TBD算法。在該算法中，提出引入二階 Markov模型進(jìn)行基于條件概率比的指標(biāo)函數(shù)遞歸計(jì)算；在考慮目標(biāo)狀態(tài)相關(guān)性的基礎(chǔ)上，根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征給出了一種與目標(biāo)轉(zhuǎn)彎角度相關(guān)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率模型來修正指標(biāo)函數(shù)。

3.1 基于條件概率比的指標(biāo)函數(shù)遞歸計(jì)算模型

雷達(dá)在K次掃描中的觀測(cè)值z(mì)k可表述為二元統(tǒng)計(jì)假設(shè)

記XK= {x1,x2,… ,xK}為第 1次掃描到第K次掃描的目標(biāo)狀態(tài)序列，ZK= {z1,z2,… ,zK}為第1幀直到第K幀的觀測(cè)數(shù)據(jù)序列。目標(biāo)狀態(tài)序列的對(duì)數(shù)條件概率密度比可定義為[4]

式中的p(XK|ZK)表示在觀測(cè)序列為ZK的條件下，目標(biāo)存在且狀態(tài)序列為XK的概率密度，p(H0|ZK)表示觀測(cè)序列為ZK的條件下目標(biāo)不存在的概率密度。使式(5)取得最大值的目標(biāo)狀態(tài)序列即為最佳的航跡估計(jì)值。

在應(yīng)用DP-TBD求解時(shí)，需將式(5)變換為形如式(2)的遞歸形式，根據(jù)Bayes原理和條件概率公式，式(5)中目標(biāo)狀態(tài)序列Xk(為不失一般性，在下文的分析中均以Xk代替XK,Zk代替ZK)的條件概率密度可以表示為

同樣，觀測(cè)序列條件下目標(biāo)不存在的條件概率密度為

將式(6)和式(7)代入式(5)，得到對(duì)數(shù)條件概率比的遞歸形式

考慮到目標(biāo)運(yùn)動(dòng)在相鄰幀間的相關(guān)性，設(shè)雷達(dá)在第k次掃描時(shí)的目標(biāo)狀態(tài)與第k-1,k-2,…,k-n(n≥1)次掃描時(shí)的狀態(tài)均有關(guān)，目標(biāo)狀態(tài)序列為n階Markov模型。實(shí)際中，目標(biāo)在第k-3及其之前各次掃描時(shí)的狀態(tài)對(duì)當(dāng)前狀態(tài)的影響較小，故取n=2，則目標(biāo)狀態(tài)序列可用如下的二階Markov模型描述

同樣有

將式(9)和式(10)代入式(8)，得到簡(jiǎn)化的遞歸方程為

根據(jù)條件概率公式，式(11)中

在式(4)中，假設(shè)目標(biāo)是非起伏的，vk為高斯相關(guān)噪聲。此時(shí)式(12)中的p(zk,zk-1,zk-2|Xk)和p(zk-1,zk-2|Xk)分別為均值為s，方差為s2，相關(guān)系數(shù)為r的3維和 2維聯(lián)合高斯分布概率密度函數(shù)。同樣，無目標(biāo)假設(shè)下，式(13)中p(zk,zk-1,zk-2|H0)和p(zk-1,zk-2|H0)分別為均值為0，方差為s2，相關(guān)系數(shù)為r的3維和2維聯(lián)合高斯分布概率密度函數(shù)。

將式(12)，式(13)及其相應(yīng)的多維聯(lián)合分布概率密度函數(shù)代入式(11)，得

其中

于是，對(duì)數(shù)條件概率比的最大化遞歸運(yùn)算為

由式(15)可知，對(duì)目標(biāo)狀態(tài)序列的尋優(yōu)可遞歸分解為對(duì)每一幀的目標(biāo)狀態(tài)的尋優(yōu)，即第k幀所有的假設(shè)航跡的最大能量積累值僅與狀態(tài)xk有關(guān)。

根據(jù)最優(yōu)化原理，可使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法求解該多階段最優(yōu)化問題。由于l3為與觀測(cè)數(shù)據(jù)無關(guān)的單獨(dú)常數(shù)項(xiàng)，對(duì)于最大化遞歸尋優(yōu)的同一階段的每一個(gè)假設(shè)目標(biāo)狀態(tài)，其值都是相等的，所以將其略去并不影響得到最優(yōu)的航跡估計(jì)。這樣，指標(biāo)函數(shù)的遞歸模型即為

由式(16)可見，在關(guān)聯(lián)算法中，不僅利用了第k幀的觀測(cè)數(shù)據(jù)，也利用了第k-1,k-2幀的觀測(cè)數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了基于多幀數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的有效積累。此外，考慮到目標(biāo)自身的運(yùn)動(dòng)特性，對(duì)于不同的xk區(qū)分對(duì)待，用目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率p(xk|xk-1,xk-2)修正指標(biāo)函數(shù)。

3.2 目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率模型

傳統(tǒng) DP-TBD算法主要通過對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的積累判斷來進(jìn)行目標(biāo)狀態(tài)關(guān)聯(lián)，對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征的考慮不充分，而式(16)說明目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的選擇至關(guān)重要。為了提高DP-TBD算法的性能，本文基于目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征給出了一種與目標(biāo)轉(zhuǎn)彎角度相關(guān)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率模型。

圖1描述了在雷達(dá)相鄰的3次掃描過程中，當(dāng)目標(biāo)的前兩幀狀態(tài)xk-2和xk-1確定后，目標(biāo)在第k幀的狀態(tài)xk的出現(xiàn)情況。

圖1 相鄰3次掃描中的目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移示意圖

可以看出在xk-2和xk-1確定的條件下，目標(biāo)狀態(tài)xk與其轉(zhuǎn)彎角度q直接相關(guān)，滿足

其中qk∈(-p,p]，目標(biāo)逆時(shí)針轉(zhuǎn)彎時(shí)，qk為正值，否則為負(fù)值?；谏鲜鲫P(guān)系，當(dāng)前幀狀態(tài)xk的轉(zhuǎn)移情況可由隨機(jī)變量qk來描述，即

p(qk)為非負(fù)函數(shù)，與qk的絕對(duì)值呈負(fù)相關(guān)，且在(-p,p]上對(duì)qk定積分為 1，滿足概率密度函數(shù)的非負(fù)性條件和規(guī)范性條件。

3.3 多幀數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的DP-TBD算法

綜合以上分析，基于二階 Markov模型的多幀數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)DP-TBD算法如下：

(1)初始化 將第1幀各個(gè)假設(shè)目標(biāo)狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的分辨單元內(nèi)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，經(jīng)由l1加權(quán)后，定義為指標(biāo)函數(shù)的初始值V1(x1)，將函數(shù)Y1(x1)初始化為(0 ,0)，該函數(shù)用來記錄與當(dāng)前幀當(dāng)前狀態(tài)相關(guān)性最大的前一幀的目標(biāo)狀態(tài)，以便回溯航跡。

(2)起始積累 對(duì)第 2幀所有分辨單元內(nèi)的目標(biāo)狀態(tài)x2確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移集合：

T2(x2)中的元素為有可能轉(zhuǎn)移至第2幀位置x2的第1 幀的目標(biāo)狀態(tài)。max和max分別為目標(biāo)在x方向和y方向的最大速度，T為掃描周期。根據(jù)式(16)，按式(23)，式(24)更新指標(biāo)函數(shù)和回溯函數(shù)

由于在航跡起始的第1幀和第2幀，目標(biāo)有可能轉(zhuǎn)向任何方向，因此p(x2|x1)是狀態(tài)轉(zhuǎn)移集合T2(x2)上的均勻分布。

(3)遞歸積累 當(dāng)3≤k≤K時(shí)，對(duì)第k幀的所有分辨單元內(nèi)的目標(biāo)狀態(tài)確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移集合：

(4)檢測(cè)k=K時(shí)，對(duì)VK(xK)做門限檢測(cè)。

C為候選航跡終止位置集合。VT為預(yù)先設(shè)定的檢測(cè)門限。

(5)航跡回溯 對(duì)所有的＾xK∈C，當(dāng)k=K-1,K- 2 ,… , 1 時(shí)，有

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文提出的基于二階 Markov目標(biāo)狀態(tài)模型的多幀數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián) DP-TBD算法對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)和跟蹤性能，在高斯相關(guān)噪聲條件下，從跟蹤航跡、平均跟蹤誤差和航跡檢測(cè)概率幾個(gè)方面進(jìn)行仿真分析，并與傳統(tǒng)的Tonissen類DP-TBD算法[5]進(jìn)行比較。

4.1 仿真條件

(1)雷達(dá)和目標(biāo)參數(shù) 假設(shè)雷達(dá)在x方向的觀測(cè)范圍為150~200 km,y方向的觀測(cè)范圍為120~170 km,x和y方向上的距離分辨單元均為 100 m，觀測(cè)誤差為半個(gè)分辨單元，共掃描 20幀，掃描周期T= 1 s ；設(shè)目標(biāo)在雷達(dá)掃描過程中全程出現(xiàn)，從初始位置(180 km, 160 km)開始，第1~10 s做勻速直線運(yùn)動(dòng)，x和y方向上的速度均為100 m/s; 11~15 s做轉(zhuǎn)彎速率為0.35 rad/s的順時(shí)針轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，16~20 s又恢復(fù)勻速直線運(yùn)動(dòng)。目標(biāo)是非起伏的，其信號(hào)幅度為確定值。

(2)觀測(cè)噪聲參數(shù) 觀測(cè)噪聲vk為高斯分布，考慮一般情況，vk為相關(guān)過程。因此，本文使用自回歸(Auto Regressive, AR)模型的輸出序列得到高斯相關(guān)噪聲

其中ai(i= 1 ,2,… ,P)為模型系數(shù)，P為模型的階數(shù)，wk為高斯白噪聲序列。仿真中取P=3,a1=-2,a2=1.7,a3=0.64;wk～N( 0,1)。

(3)性能統(tǒng)計(jì)指標(biāo)及其它相關(guān)參數(shù) 設(shè)第k次掃描時(shí)，目標(biāo)的真實(shí)位置為l(k)，第i次 MonteCarlo仿真對(duì)目標(biāo)位置的估計(jì)值為(k)，則均方根誤差為

其中MC為MonteCarlo仿真次數(shù)。

將均方根誤差對(duì)k取得的平均值定義為平均RMSE。

航跡檢測(cè)概率用PD表示，它被定義為檢測(cè)到目標(biāo)并且在恢復(fù)航跡過程中至少有兩個(gè)以上的單元為真實(shí)目標(biāo)單元的概率[14]，本文以MonteCarlo仿真來近似。仿真中取MC=200。

4.2 仿真結(jié)果和性能分析

在SNR=6 dB時(shí)，兩種算法的航跡跟蹤效果如圖2所示。從中可以看出，本文算法的跟蹤效果要優(yōu)于傳統(tǒng)算法，尤其是在目標(biāo)機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎之后，傳統(tǒng)算法已經(jīng)丟失目標(biāo)，而本文算法依然具有良好的跟蹤效果。

圖3給出了SNR=6 dB時(shí)兩種算法的均方根誤差曲線。從圖中可以看出，本文算法的均方根誤差明顯小于傳統(tǒng)算法，尤其是在目標(biāo)機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎的第11~15 s，跟蹤性能的優(yōu)勢(shì)十分顯著；就整個(gè)跟蹤過程而言，本文算法和傳統(tǒng)算法的平均RMSE分別為5.83和8.26，與傳統(tǒng)算法相比，本文算法的誤差降低了29.42%。此外，在航跡的起始和結(jié)束時(shí)，算法的跟蹤誤差較大，這是由于在跟蹤的初始階段積累幀數(shù)較少，而目標(biāo)每一幀的能量積累值會(huì)擴(kuò)散到下一幀的鄰域窗內(nèi)，在積累末段形成虛警點(diǎn)團(tuán)，所以與中段相比，其誤差較大。

圖 4比較了不同信噪比下兩種算法的平均誤差。從中可以看出，本文算法的平均誤差要小于傳統(tǒng)算法，誤差平均降低了20%左右。而且在信噪比較低時(shí)，本文算法跟蹤性能的優(yōu)勢(shì)更加顯著。

為了驗(yàn)證本文算法的檢測(cè)性能，圖5給出了虛警概率為 1 0-3時(shí)，兩種算法在不同信噪比下的航跡檢測(cè)概率。從中可以看出，當(dāng)檢測(cè)概率為 0.5時(shí)，本文算法的檢測(cè)性能比傳統(tǒng)算法的信噪比改善了1.5 dB左右。

以上的仿真結(jié)果和分析表明，本文提出的基于二階Markov目標(biāo)狀態(tài)模型的多幀關(guān)聯(lián)DP-TBD算法的檢測(cè)和跟蹤性能均優(yōu)于傳統(tǒng)DP-TBD算法。此外，本文算法雖然是在非起伏目標(biāo)模型的假設(shè)下推導(dǎo)出的，但對(duì)于起伏模型目標(biāo)同樣適用，對(duì)信號(hào)幅度服從瑞利分布的Swerling-Ⅰ型目標(biāo)的仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文算法的檢測(cè)和跟蹤性能也比傳統(tǒng)算法有較大的提高。

圖2 二階Markov多幀關(guān)聯(lián)DP-TBD與傳統(tǒng)DP-TBD的跟蹤性能比較(SNR=6 dB)

圖3 二階Markov多幀關(guān)聯(lián)DP-TBD與傳統(tǒng)DP-TBD跟蹤的均方根誤差曲線(SNR=6 dB)

圖4 二階Markov多幀關(guān)聯(lián)DP-TBD 與傳統(tǒng)DP-TBD跟蹤的平均誤差曲線

圖5 二階Markov多幀關(guān)聯(lián)DP-TBD與傳統(tǒng)DP-TBD的航跡檢測(cè)概率曲線

5 結(jié)束語

傳統(tǒng)DP-TBD算法僅使用當(dāng)前幀數(shù)據(jù)的觀測(cè)信息來進(jìn)行能量積累和目標(biāo)關(guān)聯(lián)，未充分考慮目標(biāo)狀態(tài)在連續(xù)幀間的相關(guān)性和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征，對(duì)目標(biāo)鄰域窗內(nèi)各狀態(tài)的指標(biāo)函數(shù)不加區(qū)分地同等積累，在低信噪比情況下極易造成狀態(tài)關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤，影響DP-TBD算法的檢測(cè)和跟蹤性能。因此本文提出了多幀數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的DP-TBD算法。該算法以有、無目標(biāo)假設(shè)下的狀態(tài)條件概率之比最大為最優(yōu)準(zhǔn)則，考慮了目標(biāo)狀態(tài)的相關(guān)性，采用二階Markov模型對(duì)關(guān)聯(lián)算法建模，并依據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性，給出了一種與目標(biāo)轉(zhuǎn)彎角度相關(guān)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率模型來修正積累。仿真結(jié)果表明本文算法的檢測(cè)及跟蹤性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

[1]Leon Cooper and Mary W Cooper,著, 張有為, 譯. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃導(dǎo)論[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 1985: 11-24.

[2]Barniv Y. Dynamic programming solution for detecting dim moving targets[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1985, AES-21(1): 144-156.

[3]Barniv Y and Kella O. Dynamic programming solution for detecting dim moving targets Part II: analysis[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1987,AES-23(6): 776-788.

[4]Arnold J, Shaw S, and Pasternack H. Effcient target tracking using dynamic programming[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1993, 29(1): 44-56.

[5]Tonissen S M and Evans R J. Performance of dynamic programming techniques for track-before-detect[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1996,32(4): 1440-1451.

[6]Johnston L A and Krishnamurthy V. Performance analysis of a dynamic programming track before detect algorithm[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2002, 38(1): 228-242.

[7]譚曉宇, 陳謀, 姜長(zhǎng)生. 改進(jìn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法在小目標(biāo)檢測(cè)中的應(yīng)用[J]. 光電工程, 2008, 35(5): 23-27.

Tan Xiao-yu, Chen Mou, and Jiang Chang-sheng.Application of improved dynamic programming algorithm in small targets detection[J].Opto-Electronic Engineering, 2008,35(5): 23-27.

[8]Davey S J, Cheung B, and Rutten M G. Track-before-detect for sensors with complex measurements[C]. 12th International Conference on Information Fusion, Seattle, WA,USA, 2009: 618-625.

[9]張玉葉, 王春歆. 基于改進(jìn)DPA的空間小目標(biāo)檢測(cè)算法[J].電子學(xué)報(bào), 2010, 38(3): 556-560.

Zhang Yu-ye and Wang Chun-xin. Space small targets detection based on improved DPA[J].Acta Electronica Sinica, 2010, 38(3): 556-560.

[10]陳翼, 王盛利. 一種基于相參積累的檢測(cè)前跟蹤算法[J]. 現(xiàn)代雷達(dá), 2010, 32(5): 26-30.

Chen Yi and Wang Sheng-li. A track-before-detect algorithm based on coherent integeration[J].Modern Radar, 2010, 32(5):26-30.

[11]Liu N, Li L, and Yang J. The reunite effect eliminating using dynamic programming in track before detect algorithm based on passive millimeter waves[C]. 2010 2nd International Conference on Signal Processing Systems, Dalian, China,2010, 3: 653-657.

[12]Yue S, Kong L, Yang J,et al.. Tracking accuracy analysis of dynamic programming track before detect algorithm[C]. 2010 International Conference on Communication, Circuits and Systems (ICCCAC), Chengdu, China, 2010: 441-443.

[13]Zhang Hai-ying, Duan Hong, and Liao Ming-hong. The TBD method for dim targets based on multi-lever crossover and matching operator[J].Journal of Harbin Institute of Technology, 2011, (1): 57-61.

[14]強(qiáng)勇. 超視距雷達(dá)抗干擾與目標(biāo)檢測(cè)方法[D]. [博士論文], 西安電子科技大學(xué), 2004.

Qiang Yong. Suppressing interference and target detection for over-the-horizon radar[D]. [Ph.D. dissertation], Xidian University, 2004.