基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的雙基地雷達(dá)線性調(diào)頻信號的參數(shù)聯(lián)合估計新方法

李 麗 邱天爽

①(大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)部 大連 116024)

②(大連大學(xué)信息工程學(xué)院 大連 116622)

1 引言

雙基地雷達(dá)在反隱身、抗干擾、抗反輻射導(dǎo)彈等方面具有潛在的優(yōu)勢，但在實現(xiàn)上存在著時間、角度、頻率同步的三大技術(shù)難題。多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)是一種新體制雷達(dá)，具有很多優(yōu)點，因而成為學(xué)術(shù)界研究的熱點。雙基地MIMO雷達(dá)能夠在沒有角度同步條件下，實現(xiàn)接收站目標(biāo)角度和發(fā)射站目標(biāo)角度的同時測量，為雙基地雷達(dá)目標(biāo)定位提供一個新途徑[1-3]。

目前，關(guān)于雙基地雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計的文獻還沒有大量出現(xiàn)，文獻[3]基于雙重求根多項式來估計收發(fā)角，且能夠?qū)崿F(xiàn)收發(fā)角的自動配對。文獻[4]利用發(fā)射陣和接收陣的平移不變結(jié)構(gòu)，采用經(jīng)典的ESPRIT算法估計目標(biāo)的2維方位角，但需要額外的2維參數(shù)配對過程。文獻[5]基于多項式求根的方法分別對發(fā)射角和接收角進行估計。文獻[6]通過多徑信號的散列函數(shù)來估計多普勒頻移和時間延遲。文獻[7]針對L型陣列的MIMO雷達(dá)推導(dǎo)出多目標(biāo)的2維發(fā)射角和 2維接收角的估計式。文獻[8]利用矩陣的雙正交性構(gòu)造代價函數(shù)，通過迭代法分階段估計了收發(fā)角和多普勒頻移。文獻[9]根據(jù)平行因子分析法實現(xiàn)了 MIMO雷達(dá)的收發(fā)角和多普勒頻移的估計。盡管上述方法取得了很好的參數(shù)估計效果，但是由于所采用的相位編碼信號本身的弱點，易于受到外界干擾，特別是惡意干擾。線性調(diào)頻(LFM)信號的突出特點是匹配濾波器對回波的多普勒頻移不敏感，并具有更好的低截獲概率特性，因而廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納等領(lǐng)域。目前的文獻中，在雙基地 MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中以線性調(diào)頻信號作為發(fā)射信號的研究很少，是雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)研究的薄弱環(huán)節(jié)。

為此，本文利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRFT)對線性調(diào)頻信號的能量聚集特性，提出了一個新的時頻平面內(nèi)的陣列信號模型，并采用分?jǐn)?shù)階匹配濾波器對回波信號進行匹配濾波。然后利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)角度與信號的頻率調(diào)制率之間的關(guān)系以及分?jǐn)?shù)域內(nèi)峰值點對多普勒頻移尺度和時延進行了有效估計。最后構(gòu)造分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的空間時頻分布數(shù)據(jù)模型，通過 FRFT-MUSIC譜峰搜索，估計發(fā)射角和接收角，且實現(xiàn)了角度的自動配對。該方法不存在交叉干擾，能夠很好地抑制噪聲的干擾，且運算量小。仿真實驗驗證了算法的有效性。

2 信號模型的提出

本文所用的雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。發(fā)射和接收陣元數(shù)目分別為Q和N，陣元間距分別為dt和dr，設(shè)雷達(dá)工作在寬帶遠(yuǎn)場條件，發(fā)射陣列和接收陣列處于同一相位中心。假設(shè)在相同距離分辨單元上存在L個目標(biāo)，(φl,θl)表示第l個目標(biāo)所對應(yīng)的雷達(dá)發(fā)射角和接收角。為了提高抗干擾性，考慮發(fā)射陣元發(fā)射信號為線性調(diào)頻信號，在寬帶假設(shè)條件下，雷達(dá)接收到的回波信號是多普勒頻移的多徑分量的疊加信號，因此依據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對線性調(diào)頻信號的能量聚集特性，本文提出一個新的陣列信號模型，第n個接收陣元接收到的回波信號可表示為

圖1 雙基地MIMO雷達(dá)陣列模型

3 基于提出模型的FRFT分析

3.1 LFM信號的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

由分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義[13]，可以得到第q個發(fā)射陣元發(fā)射的LFM信號xq(t)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換：

其中α≡pπ/ 2,p為 FRFT 的階數(shù)，0＜p≤2,Fp表示FRFT算子。

當(dāng)α=αq0=-a rccot(μq0)時，Xq(α,m)具有最佳的能量聚集特性，且

當(dāng)m=mq0=fq0sinαq0時，Xq(αq0,m)出現(xiàn)峰值，峰值點為 (αq0,mq0)，其中αq0和mq0表示發(fā)射信號xq(t)在分?jǐn)?shù)域上峰值點的坐標(biāo)。此時， (αq0,mq0)和 (fq0,μq0)的關(guān)系為

從式(5)可以看出，信號的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的階數(shù)p只與LFM信號的頻率調(diào)制率有關(guān)。

3.2 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的匹配濾波器

由于有限長LFM信號的Wigner分布在時頻平面上呈現(xiàn)為斜直線的背鰭形分布，因此，若在與該斜直線相垂直的分?jǐn)?shù)階域上求信號的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，則在該域的某點會出現(xiàn)明顯的峰值。另一方面，對于具有不同頻率調(diào)制率的信號在該分?jǐn)?shù)域上則不會出現(xiàn)能量聚集，且噪聲的能量一般是均勻地分布在整個時頻平面內(nèi)。這樣，當(dāng)信號xq(t)在α=αq0域出現(xiàn)峰值時，其他的信號不會出現(xiàn)峰值，且峰值信號的能量絕大部分集中在以mq0為中心的一個窄帶內(nèi)，而其他不同頻率調(diào)制率的信號及噪聲均不會在該處出現(xiàn)明顯的能量聚集[11]。

本文設(shè)計一個以mq0為中心的分?jǐn)?shù)域內(nèi)的帶通濾波器，選擇合適的帶寬，將回波信號在分?jǐn)?shù)域內(nèi)通過帶通濾波器進行信號提取，再進行-p階的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，反變換回時間域，就可提取到想要的回波信號rq,n(t)：

其中rq,n(t)表示第q個發(fā)射陣元發(fā)射LFM信號經(jīng)L個目標(biāo)反射后到達(dá)第n個接收陣元的單次回波信號 。rq,n∈[r1,1, … ,r1,n, … ,r1,N, … ,rq,1, … ,rq,n, … ,rq,N,… ,rQ,1, … ,rQ,n, … ,rQ,N]。

圖2顯示了兩分量LFM回波信號，混有SNR=10 dB的高斯白噪聲，分?jǐn)?shù)階步長Vp= 0 .01。從圖2(a)可以看出2個發(fā)射陣元的發(fā)射信號經(jīng)過3個目標(biāo)的反射后的回波信號，集中在兩個頻帶內(nèi)，采用分?jǐn)?shù)域內(nèi)的匹配濾波器即可實現(xiàn)信號的提取。

4 基于FRFT的參數(shù)聯(lián)合估計新方法

4.1 多普勒頻移的估計

對式(6)所示rq,n(t)進行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換：

在(α,m)平面上，對Rq,n(α,m)進行峰值點的 2維搜索，為了提高搜索效率，根據(jù)發(fā)射陣元發(fā)射信號的調(diào)制率來確定搜索范圍(a,b)，確定步長Vp。不同頻率調(diào)制率的信號及噪聲均不會在某個旋轉(zhuǎn)角度處出現(xiàn)明顯的能量聚集，可搜索到L個峰值點及每個峰值點的位置(αql,mql)，其中αql和mql表示發(fā)射信號xq(t)經(jīng)過第l個目標(biāo)反射后的回波信號在分?jǐn)?shù)域內(nèi)峰值點的坐標(biāo)。已知信號的頻率調(diào)制率μql與分?jǐn)?shù)階傅里葉變換旋轉(zhuǎn)角度和多普勒頻移尺度參數(shù)之間的關(guān)系，分別如式(8)和式(9)所示。

根據(jù)式(8)和式(9)，信號經(jīng)第l個目標(biāo)反射產(chǎn)生的多普勒頻移尺度參數(shù)的估計值al為

4.2 多徑時延的估計

第q個發(fā)射陣元發(fā)射的LFM信號，在第n個接收陣元的輸出如式(6)所示，又由式(2)可得

根據(jù)式(11)，式(13)，式(6)可寫成式(14)：

根據(jù)式(15)和式(16)，式(14)可表示為

對式(17)進行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，得

圖2 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的帶通濾波器的信號提取

當(dāng)α=αql=-a rccotμql,l= 1 ,2,… ,L時，Rq,n(α,m)具有能量聚集特性，且

對式(12)中的yq,l(t)進行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，可得

對于式(19)，當(dāng)m=mql= (fql-μql τl) /cscαql時，Rq,n(αql,m)出現(xiàn)峰值，結(jié)合式(21)，有式(22)：

因此，可得經(jīng)第l個目標(biāo)反射的回波信號的時延τl的估計值為

4.3 發(fā)射角和接收角的估計

由式(19)和式(22)可知，

其中Rq,n,l(αql,mql)表示發(fā)射信號xq(t)經(jīng)過第l個目標(biāo)反射后的回波信號在分?jǐn)?shù)域內(nèi)峰值點的幅度。

令

將式(15)代入式(25)得

根據(jù)式(21)，式(25)和式(26)，式(24)可寫成

在第l個目標(biāo)反射的回波信號的峰值點(αql,mql)處，

由于具有不同時頻特性的其他 LFM 信號在(αql,mql)處的取值很小，在處理中可以視為干擾項，因此將式(27)代入式(28)得

選擇分?jǐn)?shù)階傅里葉域上L個峰值點的數(shù)據(jù)作為該陣元的觀測數(shù)據(jù)，則第n個陣元上的空間時頻輸出為

將所有陣元的空間時頻輸出表示為向量形式，即可得到基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的空間時頻分布數(shù)據(jù)模型

本文構(gòu)造兩個子陣R1和R2，兩個子陣的空間時頻輸出的數(shù)據(jù)模型為

4.3.1 接收角的估計首先，構(gòu)造子陣R1的相關(guān)矩陣RR1R1。

由于信號與噪聲不相關(guān)，所以式(41)后兩項為零，因此，

又由于信號與噪聲相互獨立，式(42)的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可分解為與信號、噪聲有關(guān)的兩部分，其中RYY是信號協(xié)方差矩陣，C′RYYC′H是信號部分。

對RR1R1進行特征分解有

其中UY是由大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即信號子空間，而UN是由小特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即噪聲子空間。

利用分?jǐn)?shù)階傅里葉域的相關(guān)矩陣代替?zhèn)鹘y(tǒng)的陣列相關(guān)矩陣，并可根據(jù) MUSIC算法得到分?jǐn)?shù)域內(nèi)的FRFT-MUSIC空間譜為

對P(θ)進行譜峰搜索，可得到第l個目標(biāo)發(fā)射回波信號的接收角的估計值θl。

4.3.2 發(fā)射角的估計同理，子陣R2的 FRFTMUSIC空間譜為

由于接收角θl已經(jīng)由式(44)估計得到，對P(φ)進行譜峰搜索，可得到第q個發(fā)射陣元相對第l個目標(biāo)的發(fā)射角的估計值為φl。

本文給出的參數(shù)估計算法，發(fā)射角和接收角的估計是在同一次迭代過程中完成的，因此實現(xiàn)了參數(shù)的自動配對。

5 仿真實驗及分析

仿真實驗參數(shù)設(shè)置，發(fā)射陣元和接收陣元數(shù)目分別為Q=2和N=2，并假設(shè)雙基地MIMO雷達(dá)遠(yuǎn)場存在2個目標(biāo)，即L=2，相對于發(fā)射陣元和接收陣元的發(fā)射角和接收角分別為 (φ1,θ1) = ( 20°,3 0°),(φ2,θ2) = ( 50°,6 0°)，多普勒頻移尺度參數(shù)a1= 0 .9,a2= 1 .1，多徑時延分別為τ1= 8 0/fs,τ2= 1 60/fs。兩個LFM信號的初始頻率、頻率調(diào)制率及幅度分別為f10= 0 .25 MHz,μ10= 1 00 MHz,A1=2,f20=0.3 MHz,μ20=- 2 00 MHz,A2=4，初相φ10=0,φ20= 0 ，采樣頻率為fs= 1 MHz ，采樣點數(shù)為1000，進行300次Monte-Carlo實驗。

實驗1比較本文方法和文獻[6]方法的目標(biāo)多普勒頻移尺度和時間延遲估計值的均方根誤差RMSE隨SNR的變化曲線。

圖3顯示了本文方法和文獻[6]方法對時延估計RMSE隨SNR變化的曲線。從圖中可以看出，本文方法在SNR大于-12 dB，目標(biāo)的時延估計均方根誤差迅速減小，并且保持穩(wěn)定，與文獻[6]方法時延估計性能基本一致。而在SNR小于-12 dB時，本文方法在兩目標(biāo)時延估計均方根誤差較大，但性能仍比文獻[6]方法要稍好。

圖4 顯示了本文方法和文獻[6]方法對多普勒頻移尺度估計RMSE隨SNR的變化曲線。從圖中可以看出，當(dāng)SNR大于-18 dB時，本文算法RMSE很小，并保持穩(wěn)定；而文獻[6]方法要達(dá)到本文算法的性能需要SNR大于-10 dB左右；當(dāng)SNR小于-18 dB時，本文算法兩個目標(biāo)的多普勒頻移尺度估計RMSE有些偏大，但仍優(yōu)于文獻[6]方法的性能。這是因為 LFM 信號在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域內(nèi)具有很好的能量聚集性，而噪聲在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域上不具有能量聚集特性，因此本文方法可以很好地估計多個目標(biāo)的時延和多普勒頻移參數(shù)。實驗證明，本算法在低SNR時仍具有很好的性能。

實驗2信噪比為10 dB時，兩目標(biāo)多普勒頻移尺度和時延估計的均方根誤差RMSE隨分?jǐn)?shù)階步長Vp的變化曲線。

從圖5和圖6中可以看出，步長的選取直接影響兩個參數(shù)的RMSE，隨著分?jǐn)?shù)階步長的變小，其均方根誤差也迅速變小。這是因為本文提出時延和多普勒頻移尺度估計算法是在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域內(nèi)進行的，且與分?jǐn)?shù)階的階數(shù)直接相關(guān)。因此分?jǐn)?shù)階步長越小，參數(shù)估計的均方根誤差越小，但時間復(fù)雜度也會增加。

實驗3比較本文方法和文獻[3]方法的目標(biāo)發(fā)射角和接收角估計值的均方根誤差 RMSE隨 SNR的變化曲線。

圖3 時延RMSE隨SNR的變化曲線

圖4 多普勒頻移尺度RMSE隨SNR的變化曲線

圖5 時間延遲估計RMSE變化曲線

圖6 多普勒頻移尺度估計RMSE變化曲線

從圖7中可以看出，在SNR較大時，本文方法與文獻[3]方法發(fā)射角和接收角估計性能基本一致，而在SNR比較低時，性能比文獻[3]方法要稍好。從圖 7(a)和 7(b)的對照可以看出，發(fā)射角估計的RMSE比接收角估計的RMSE要大一些，這是因為本算法是先估計接收角，之后再根據(jù)接收角的估計值來估計發(fā)射角，可見發(fā)射角的估計會受到接收角估計值的影響。通過實驗仿真，本算法能夠?qū)崿F(xiàn)收發(fā)角的自動配對，并具有很好的估計性能。關(guān)于接收角估計的誤差對發(fā)射角估計精度的影響，是后續(xù)工作繼續(xù)研究的重點。

實驗4當(dāng)SNR=5 dB時，發(fā)射角和接收角的估 計 值 為 (φ1,θ1) = ( 19.9850°,2 9 .9935°), (φ2,θ2)=(50.0145°, 6 0.0120°)，圖8顯示了發(fā)射角和接收角配對估計星座圖，由圖可以看出發(fā)射角和接收角的估計很準(zhǔn)確，實驗證明該方法具有較好的性能。

6 結(jié)論

本文提出了一種基于 FRFT的雙基地 MIMO雷達(dá)線性調(diào)頻信號參數(shù)估計的新方法。在雙基地MIMO雷達(dá)中，本文選用線性調(diào)頻信號作為發(fā)射信號，利用其具有大時寬頻寬積特性，使得匹配濾波器對回波信號的多普勒頻移不敏感，從而獲得更好的低截獲概率特性。依據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對線性調(diào)頻信號的能量聚集特性，本文提出了一個新的在分?jǐn)?shù)域內(nèi)進行參數(shù)估計的信號模型，并提出相應(yīng)的多普勒頻移和時延參數(shù)的估計方法，在低信噪比時具有很好的性能。本算法在分?jǐn)?shù)域內(nèi)構(gòu)造兩個空間時頻輸出的數(shù)據(jù)模型，通過 FRFT-MUSIC算法譜峰搜索依次估計接收角和發(fā)射角，且實現(xiàn)了收發(fā)角的自動配對，不需要額外的配對運算。另一方面，只要目標(biāo)數(shù)目不大于接收陣元和發(fā)射陣元數(shù)目之和，則本文算法均可給出很好的目標(biāo)參數(shù)估計結(jié)果。仿真實驗證明本文提出的方法具有較低的RMSE，具有很好的性能。

圖7 收發(fā)角估計的RMSE隨SNR變化曲線

圖8發(fā)射角和接收角估計星座圖

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