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      雙參數(shù)指數(shù)分布無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析

      2012-07-25 08:15:08翟艷敏
      統(tǒng)計(jì)與決策 2012年13期
      關(guān)鍵詞:指數(shù)分布置信水平數(shù)理統(tǒng)計(jì)

      翟艷敏

      0 引言

      在可靠性試驗(yàn)中,特別是在高可靠性,小樣本問題的定時(shí)截尾試驗(yàn)中,常會(huì)遇到“無失效數(shù)據(jù)”。自從文獻(xiàn)[1]發(fā)表以來引起國內(nèi)外的重視,并且取得一些研究成果。文獻(xiàn)[2]提出了配曲線方法;文獻(xiàn)[3]、[4]分別提出極小χ2法和等效失效數(shù)法;文獻(xiàn)[5]提出修正似然函數(shù)法;文獻(xiàn)[6]從生存分析中的CLASS-K方法及條件期望著手,提出改進(jìn)的CLASS-K;文獻(xiàn)[7]~[11]利用先驗(yàn)分布給出可靠性參數(shù)的Bayes估計(jì)或者多層Bayes估計(jì);文獻(xiàn)[12]、[13]利用樣本空間的序關(guān)系得到可靠性參數(shù)的置信限。以往的研究文獻(xiàn)大多討論參數(shù)的點(diǎn)估計(jì),而對置信限的研究極少。本文旨在對雙參數(shù)指數(shù)分布場合下的無失效數(shù)據(jù),在μ已知和μ未知的兩種情形下,分別給出可靠性參數(shù)的置信限,并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證所得結(jié)論的有效性、可行性。

      1 無失效數(shù)據(jù)模型與可靠性參數(shù)置信限

      1.1 無失效數(shù)據(jù)模型

      對某產(chǎn)品進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn),截尾時(shí)間為ti(i=1,2,…,m)(t1<t2<…<tm),相 應(yīng) 的 樣 品 數(shù) 為ni(i=1,2,…,m),總的樣品數(shù)結(jié)果所有樣品無一失效,稱(ti,ni)(i=1,2,…,m)為無失效數(shù)據(jù)。

      1.2 可靠性參數(shù)的置信限

      設(shè)某產(chǎn)品的壽命服從雙參數(shù)指數(shù)分布,分布函數(shù)為

      定理1設(shè)產(chǎn)品壽命服從雙參數(shù)指數(shù),T~Exp(t;μ,σ),其中μ已知,對產(chǎn)品進(jìn)行m次定時(shí)截尾試驗(yàn),結(jié)果無一失效,獲得無失效數(shù)據(jù) (ti,ni)(i=1,2,…,m),,則σ的置信水平為1-α的置信下限為:

      證明:壽命T~Exp(t;μ,σ),則一個(gè)產(chǎn)品在t時(shí)刻前失效的概率F(t)=P(T<t)=若在第i次定時(shí)截尾試驗(yàn)中有 Xi個(gè)樣品失效(Xi=1,2,…,ni,i=1,2,…,m),則

      由于產(chǎn)品的是失效率都很小,所以

      根據(jù)泊松定理有:

      則事件{ }X1=r1,X2=r2,…,Xm=rm的聯(lián)合概率為:

      對于無失效數(shù)據(jù)情形,有:

      解得:

      引理1設(shè)E是Z的所有可能值組成的集合,?(u1,u2,…,u2n)是任何Borel函數(shù),對任何z∈E,令:

      gL(Z)=inf{g (θ):G(Z,θ)> α}

      則gL(Z)是g(θ)的置信水平為1-α的置信下限。

      定理2設(shè)產(chǎn)品壽命服從雙參數(shù)指數(shù),T~Exp(t;μ,σ),其中μ未知,對n產(chǎn)品進(jìn)行次定時(shí)截尾試驗(yàn),結(jié)果無一失效,截尾時(shí)間為t1,t2,…,tn,則

      σ的置信水平為1-α的置信下限為:

      證明:對于無失效數(shù)據(jù)情形,由引理1有σ的置信水平為1-α的置信下限

      其中:t(1)=min{ }t1,t2,…,tn

      其中:

      2 實(shí)例

      上海薩澳液壓傳動(dòng)有限公司生產(chǎn)的某型號發(fā)動(dòng)機(jī),其壽命服從雙參數(shù)指數(shù)分布對該型號發(fā)動(dòng)機(jī)做定時(shí)截尾試驗(yàn),所得無失效數(shù)據(jù)如表1(單位時(shí)間:小時(shí))。

      表1 發(fā)動(dòng)機(jī)的無失效數(shù)據(jù)

      根據(jù)定理1,其中μ=100,計(jì)算結(jié)果如表2。

      表2 μ已知時(shí)可靠性參數(shù)的置信限

      根據(jù)定理2,計(jì)算結(jié)果如表3。

      表3 μ未知時(shí)可靠性參數(shù)的置信限

      從上述結(jié)果來看,利用定理1和定理2所得的結(jié)論,對于給定的不同的置信水平,可靠度的估計(jì)具有很好的穩(wěn)健性,理論計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情況比較相符。

      [1] Martz H F,Waller R A.A Bayes Zero-failure(BAZE)Reliability Dem?onstration Testing Procedure[J].Journal of Quality Technology,1979,11(3).

      [2] 峁詩松,羅朝斌.無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率,1989,4(4).

      [3] 張忠占,楊振海.無失效數(shù)據(jù)的處理[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率,1989.

      [4] 張忠占,楊振海.等失效數(shù)在無失效數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率,1991,6(3).

      [5] 王玲玲,王炳興.無失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析-修正似然函數(shù)方法[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率,1996,11(1).

      [6] 殷弘,楊瑛,丁邦俊等.關(guān)于無失效數(shù)據(jù)的分析[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率,1996,11(3).

      [7] 張繼昌.無失效數(shù)據(jù)的Bayes分析[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1995,10(1).

      [8] 韓明.無失效數(shù)據(jù)的多層Bayes可靠性分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),1998,11(2).

      [9] 韓明.失效概率的Bayes估計(jì)及應(yīng)用[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2001,18(3).

      [10] 翟艷敏.無失效數(shù)據(jù)的貝葉斯分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2008,(11).

      [11] 翟艷敏.威布爾分布的無失效數(shù)據(jù)分析[J].統(tǒng)計(jì)學(xué)評論,2009,5(1).

      [12] Martz H F,Waller R A.Bayesian Reliability Analysis[M].New York:John Wiley and Sons,1982.

      [13] Berger J O.Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis[M].New York:Springer-Verlag,1985.

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