賈天嬌 岳 林
南京航空航天大學(xué),南京,210016
傳統(tǒng)的實驗?zāi)B(tài)分析方法已經(jīng)在航空航天、建筑、運輸、機械、能源等幾乎所有與結(jié)構(gòu)動態(tài)分析有關(guān)的領(lǐng)域中得到了廣泛而成功的應(yīng)用[1],該類方法要求同時測得結(jié)構(gòu)上的激勵和響應(yīng)信號。而運行模態(tài)分析僅根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)進行結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)辨識,不需施加人工激勵,試驗簡便且不受結(jié)構(gòu)形狀和大小的限制,不影響結(jié)構(gòu)的正常工作,同時也避免了對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生損傷,安全性好。因此,運行模態(tài)分析比傳統(tǒng)的實驗?zāi)B(tài)分析方法更具有優(yōu)越性,更適合工程實際應(yīng)用中一些大型結(jié)構(gòu)(如橋梁、高層建筑以及海洋平臺等)或特殊系統(tǒng)(如運轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、運行中的飛行器等)的測試和分析。
運行模態(tài)系統(tǒng)參數(shù)識別的數(shù)據(jù)非平穩(wěn),含有大噪聲,為寬帶隨機激勵且輸出信號較弱,對于高柔度的飛機或橋梁以及輸油管線結(jié)構(gòu),一般還存有密集模態(tài)。目前,在假設(shè)結(jié)構(gòu)為線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,運行模態(tài)辨識的方法很多,但對弱響應(yīng)輸出且固有頻率非常密集的結(jié)構(gòu)的識別效果往往不盡人意。2004年,LMS公司推出PolyMax法[2],即多參 考 最 小 二 乘 復(fù) 頻 域 (least squares complex frequency,LSCF)法,該方法對小阻尼密集模態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)采用穩(wěn)定圖法進行多次識別,有較好的精度。此外,小波分析方法在非平穩(wěn)響應(yīng)參數(shù)識別方面,有很好的去除噪聲、獲取系統(tǒng)主要模態(tài)頻率的效果,對短樣本、大噪聲和密頻數(shù)據(jù)的模態(tài)識別效果良好[3-6]。實際測量過程中獲得的響應(yīng)信號的各階特征能量往往相差懸殊,在利用響應(yīng)信號的相關(guān)函數(shù)[7-8]進行振動結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別時,由于相關(guān)函數(shù)使大能量信號增強,小能量信號減弱[9],已有的PolyMax法和小波模態(tài)辨識法,無法有效地對能量極小的弱響應(yīng)模態(tài)特征進行辨識。為了解決此問題,本文先通過傳遞率的計算來突出弱響應(yīng)信號的頻率特征,然后針對大噪聲、密頻的特點再采用小波模態(tài)辨識法識別模態(tài)頻率和阻尼比。
當(dāng)激勵力為近似平穩(wěn)白噪聲時,系統(tǒng)的激勵力為f(t),設(shè)每個測點i輸出的響應(yīng)信號為xi(t),i=1,2,…,n。對一個測點j,系統(tǒng)頻響函數(shù)的H1估計為
式中,F(xiàn)(ω)、Xj(ω)分別為激勵力f(t)和輸出xi(t)的傅里葉變換;GFF(ω)為激勵力f(t)的自功率譜密度;GXF(ω)為輸出xi(t)和激勵力f(t)的互功率譜密度。
對兩個測點j和p(j≠p),系統(tǒng)的傳遞率定義為
式中,Gpp(ω)為測點p響應(yīng)的自功率譜密度;Gpj(ω)為測點p和測點j響應(yīng)的互功率譜密度。
比較式(1)與式(2),可知傳遞率與頻響函數(shù)的H1估計非常相似[10],對傳遞率作傅里葉逆變換后,就可進行模態(tài)參數(shù)識別。一般情況下,應(yīng)選取響應(yīng)較大的測點為參考點,計算其他測點與該參考測點的傳遞率。
式(2)中,傳遞率以參考點p的自功率譜密度Gpp(ω)作為分母,當(dāng)參考點p的特征頻率ωr(r=1,2,…,N,系統(tǒng)共有N階固有頻率)的能量越大時,自譜Gpp(ωr)的值也越大,而1/Gpp(ωr)的值越小,相對應(yīng)的aj(ωr)減小,即此處的大能量信號削弱。同理,特征頻率ωr的能量越小,aj(ωr)越大,即小能量信號更加突出。例如,兩正弦信號x1和x2,取 采 樣 點 數(shù) 4096,采 樣 率 160Hz,x1=100sin(40πt)+0.1sin(60πt),x2= 80sin(40πt)+sin(60πt),顯然,信號x1和x2各自的2階特征能量均相差懸殊,選信號x1作為參考,計算得到的信號x1和x2的互譜密度如圖1所示。信號x1和x2的傳遞率的幅頻特性如圖2所示。
圖1 信號x1和x2的互譜密度
圖2 信號x1和x2的傳遞率幅頻特性
由圖1、圖2可知,信號間的相關(guān)函數(shù)導(dǎo)致30Hz的小能量特征被削弱,難以辨識;而信號間的傳遞率計算導(dǎo)致的20Hz的大能量特征相互抵消,同時使得30Hz的弱小特征更加突出。因而,傳遞率法對弱小模態(tài)特征的辨識具有很大的優(yōu)勢。
本文提出的聯(lián)合相關(guān)函數(shù)和傳遞率的小波模態(tài)辨識方法(簡稱聯(lián)合方法)的實現(xiàn)步驟如下:
(1)選擇參考點。每次分析,選擇一個輸出作為參考后,再取一個輸出,如(2)~(4)采用選定的兩組輸出信號進行系統(tǒng)模態(tài)辨識。
(2)計算相關(guān)函數(shù)和傳遞率。對大能量響應(yīng)模態(tài)的辨識先計算相關(guān)函數(shù),對弱響應(yīng)模態(tài)的辨識則先計算傳遞率,使其更加突出后再用傅里葉逆變換求出傳遞率對應(yīng)的時域信號。
(3)連續(xù)小波變換。針對數(shù)據(jù)短樣本、大噪聲、密頻的特點,對相關(guān)函數(shù)和傳遞率對應(yīng)的時域信號分別進行連續(xù)小波變換。
(4)模態(tài)參數(shù)辨識。根據(jù)小波系數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系[11],對用小波系數(shù)脊提取法分離出的單一頻率信號,通過小波骨架包絡(luò)線的自然對數(shù)的斜率和小波骨架相位的斜率,識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。
(5)統(tǒng)計結(jié)果。重復(fù)(1)~(4),對所得模態(tài)辨識結(jié)果進行統(tǒng)計,得到完整的系統(tǒng)參數(shù)辨識結(jié)果。
聯(lián)合方法模態(tài)辨識思路如圖3所示。
圖3 聯(lián)合方法模態(tài)辨識流程圖
為了驗證聯(lián)合方法的有效性,采用GARTEUR飛機模型數(shù)據(jù)建立隨機激勵的數(shù)值仿真模型。GARTEUR飛機模型是歐洲航空科技研究集團于20世紀(jì)90年代設(shè)計的具有真實飛機高柔度密集模態(tài)的飛機模型,該模型真實地模擬了實際飛機的動態(tài)特性[12],第3~5階為密集模態(tài),頻率依次為33.01Hz、33.66Hz和35.14Hz,阻尼比均為1%。
GARTEUR模型在運行狀態(tài)下,信號采樣率為256Hz,采樣點數(shù)為15360,共7個通道,其中通道2~7為不同測點的輸出。各輸出通道響應(yīng)信號0~40Hz的傅里葉譜如圖4所示。由圖4可知,系統(tǒng)的第1階特征的能量極大。圖5所示為輸出通道6的15~40Hz的響應(yīng)信號傅里葉譜。由圖5可知,第2階及30~40Hz的3階密集特征的能量極小、淹沒在噪聲中。因此,系統(tǒng)各階特征的能量相差懸殊,要得到完整而精確的辨識結(jié)果有較大的難度。
圖4 各輸出通道響應(yīng)信號的傅里葉譜(0~40Hz)
圖5 通道6響應(yīng)信號的傅里葉譜(15~40Hz)
下面將通道2作為參考,以通道6為例,具體說明本文提出的聯(lián)合方法的模態(tài)辨識過程。首先,分別計算通道2和通道6間的互相關(guān)和傳遞率?;ハ嚓P(guān)的傅里葉譜即互譜如圖6所示,從其上僅能觀察到能量極大的第1階特征。而在圖7所示的傳遞率幅頻特性中,第1階的大能量特征相互抵消,同時,第2階及第3~5階弱小特征都得到清晰地展現(xiàn),使得此4階模態(tài)易于辨識。顯然,對于具有弱小特征的系統(tǒng)響應(yīng),使用響應(yīng)信號的傳遞率,可增強信號,保證其可辨識性。
圖6 通道2和通道6間的互譜
圖7 通道2和通道6間傳遞率的幅頻特性
其次,對互相關(guān)和傳遞率傅里葉逆變換信號分別進行連續(xù)小波變換,連續(xù)小波變換后的小波時頻圖及小波骨架如圖8、圖9所示。
圖8 互相關(guān)的時頻圖及小波骨架
圖9 傳遞率傅里葉逆變換信號的時頻圖及小波骨架
然后,由小波系數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。圖10所示為第1階特征至第4階弱小特征的小波模態(tài)識別的小波系數(shù)幅值擬合圖和相位擬合圖。
圖10 GARTEUR模型的5階模態(tài)識別的小波系數(shù)幅值擬合圖和相位擬合圖
為了對本文方法的仿真結(jié)果進行驗證,采用LMS國際公司推出的 MACEC(modal analysis on civil engineering construction)系統(tǒng)識別商業(yè)軟件[13](3.1版本)進行識別,選擇多參考最小二乘復(fù)頻域法(pLSCF)的運行模態(tài)分析結(jié)果作為參考。pLSCF算法理論的總體思路與時域的最小二乘復(fù)指數(shù)法(LSCE)很相似,用于運行模態(tài)分析時,是以自譜、互譜矩陣為基礎(chǔ)的。分析過程中,pLSCF法的自譜、互譜采用相關(guān)圖法計算,即由相關(guān)函數(shù)間接求得,圖11a所示為以通道2為參考,與通道6間的互譜,第1階特征明顯且其余4階弱小特征無法觀察到,同本文計算的互譜圖6辨識效果一致;選擇GARTEUR數(shù)據(jù)的6個輸出通道為參考通道,相關(guān)函數(shù)計算時延為1024,最后計算的穩(wěn)態(tài)結(jié)果如圖11b所示,圖11c所示為穩(wěn)態(tài)圖的局部效果圖,從圖中可以更清楚地觀察30~40Hz間的3階密集模態(tài)識別結(jié)果,其中⊕表示頻率、阻尼和模態(tài)3種參數(shù)全部穩(wěn)定,辨識結(jié)果可靠。
圖11 基于最小二乘復(fù)頻域法(pLSCF)計算的互譜和穩(wěn)態(tài)圖
表1所示為聯(lián)合方法模態(tài)辨識統(tǒng)計結(jié)果與pLSCF法辨識結(jié)果對比。
由表1可知,PolyMax法在一般情況下的效果良好,但針對本文“響應(yīng)信號數(shù)據(jù)樣本較短、模態(tài)密集以及弱響應(yīng)信號淹沒在大噪聲中”的情況,此方法的識別效果并不令人滿意,因盡管其模態(tài)頻率辨識精度較高,但其阻尼比的辨識結(jié)果卻非常不理想。相比而言,本文提出的聯(lián)合方法盡管模態(tài)頻率辨識相對誤差要比PolyMax法稍大,但總體來說其模態(tài)頻率辨識精度還是較好的;另外,聯(lián)合方法不僅極大地提高了阻尼比的辨識精度,而且還明顯地改善了30~40Hz間的3階模態(tài)密集的弱響應(yīng)的模態(tài)識別效果。
表1 GARTEUR模型在兩種不同方法下的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果
(1)響應(yīng)信號間的相關(guān)函數(shù)會導(dǎo)致大能量信號的增強,但與此同時會導(dǎo)致小能量信號的削弱。因而,相關(guān)函數(shù)法模態(tài)參數(shù)識別適合于大能量信號的模態(tài)特征辨識,對弱響應(yīng)模態(tài)的辨識難以奏效。
(2)響應(yīng)信號間的傳遞率計算導(dǎo)致大能量信號相互抵消,同時使小能量信號更加突出。因而,傳遞率法模態(tài)參數(shù)識別無法辨識大能量信號的模態(tài)特征,但對密頻、噪聲淹沒情況下的弱響應(yīng)模態(tài)的辨識具有很大的優(yōu)勢。
(3)小波模態(tài)參數(shù)識別方法對短樣本、大噪聲、密頻數(shù)據(jù)的模態(tài)識別效果良好。
(4)基于傳遞率和相關(guān)函數(shù)的小波模態(tài)參數(shù)識別方法即聯(lián)合方法,僅通過輸出的響應(yīng)信號就可完整準(zhǔn)確地辨識出大噪聲下具有弱響應(yīng)、密集模態(tài)特征系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。
[1]Pintelon R,Guillaume P,Rolain Y.Parametric Identification of Transfer Functions in the Frequency Domain-a Survey[J].IEEE Transacttons on Automatic Control,1994,39(11):2245-2260.
[2]劉馥清,安宏偉.多參考最小二乘復(fù)頻域(PolyMax)法在汽車輪胎及車身模態(tài)參數(shù)識別中的應(yīng)用[C]//2006年LMS首屆用戶大會論文集.蘇州:LMS國際公司,2006:1-7.
[3]Lardies J,Ta M N,Berthiller M.Modal Parameter Estimation Based on the Wavelet Transform of Output Data[J].Archive of Applied Mechanic,2004,73(9/10):718-733.
[4]徐亞蘭,陳建軍,胡太彬,等.系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識的小波變換方法[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2004,31(2):281-285.
[5]黃天立,樓夢麟.小波變換在密集模態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)識別中的應(yīng)用[J].振動與沖擊,2006,25(5):149-152.
[6]柳小勤,岳林,朱如鵬.連續(xù)小波變換應(yīng)用于密集模態(tài)參數(shù)識別[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報,2007,39(4):496-499.
[7]James G H,Carne T G,Lauffer J P.The Natural Excitation Technique(NExT)for Modal Parameter Extraction from Operating Structures[J].The International Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis,1995,10(4):260-277.
[8]孫曉蘭,王太勇.基于相關(guān)函數(shù)的振動結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識別方法[J].天津大學(xué)學(xué)報,2007,40(4):503-506.
[9]樊江玲.基于輸出響應(yīng)的模態(tài)參數(shù)辨識方法研究[D].上海:上海交通大學(xué),2007.
[10]毛寬民,李斌.基于響應(yīng)信號的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)提取方法[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,36(7):77-80.
[11]Yan B F,Miyamoto A,Brühwiler E.Wavelet Transform-based Modal Parameter Identification Considering Uncertainty[J].Journal of Sound and Vibration,2006,291(1/2):285-301.
[12]Balmes E.GARTEUR Group on Ground Vibration Testing-results from the Test of a Single Structure by 12Laboratories in Europe[C]//Proceedings of 15th IMAC.California:SEM,1997:1346-1352.
[13]De Roeck G,Peeter B.MACEC2.0-modal Analysis on Civil Engineering Constructions[R].Belgium:Catholic University of Leuven,1999.