從一道電磁感應(yīng)問題的幾種解法談平均值

王麗軍

（北京師大良鄉(xiāng)附中，北京 102488）

電磁感應(yīng)的問題中有一道比較常見的題.如圖1（甲）所示，光滑且足夠長的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在同一水平面上，兩導(dǎo)軌間距L＝0.5m，電阻R＝0.4Ω，導(dǎo)軌上停放一質(zhì)量m＝0.1kg，電阻r＝0.1Ω的金屬桿，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.5T的勻強(qiáng)磁場中，方向豎直向下，現(xiàn)用一外力F沿水平方向拉桿，使之由靜止開始做勻加速運(yùn)動，若理想電壓表示數(shù)u隨時(shí)間關(guān)系如圖1（乙）所示.

（1）求金屬桿運(yùn)動的加速度大??；

（2）求第3秒末拉力的功率；

（3）若在第4秒末撤去外力F，則金屬桿還能運(yùn)動多遠(yuǎn)？

圖1

前兩問的比較簡單在此不再贅述，只分析第三問.

過程分析1：根據(jù)前兩問可以求出4s末金屬桿的速度是v0＝10m／s，在撤去外力后，金屬桿只受方向向左的安培力，金屬桿將向右做減速運(yùn)動直到靜止.

在這個(gè)過程中，金屬桿由于切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為E＝BLv，回路中的感應(yīng)電流為金屬桿受到的安培力為F＝BIL，

可見隨著金屬桿速度的減小，安培力變小，加速度變小，速度隨時(shí)間的變化不是均勻的（速度時(shí)間圖像如圖2所示），安培力隨時(shí)間的變化也不是均勻的，所以這個(gè)過程中安培力對時(shí)間的平均值，其中F0是撤去外力瞬間的安培力.

圖2

金屬桿運(yùn)動的距離x＝ˉv·t，代入數(shù)據(jù)得x＝8m.

解法2：根據(jù)動量定理有ˉF·t＝mv0，其中

注意：上述兩種解法中的平均值均為對時(shí)間的平均值.安培力對時(shí)間的平均值

過程分析2：通過上面的分析可知，由于速度隨時(shí)間不是均勻變化所以導(dǎo)致感應(yīng)電動勢、感應(yīng)電流、安培力隨時(shí)間都不是均勻變化，那么速度隨位移的變化是否是均勻的呢？

假設(shè)經(jīng)過一段時(shí)間金屬桿的速度從v0減速到v，金屬桿的位移為x.

根據(jù)類似解法1和解法2的推導(dǎo)過程可知

可以看出速度隨位移的變化是線性變化，變化關(guān)系如圖3.

即感應(yīng)電動勢、感應(yīng)電流、安培力隨位移均勻變化，此過程中安培力對位移的平均值

圖3

注意：上述三種解法中有兩個(gè)平均值，這兩個(gè)平均值的平均的意義是不同的.

小結(jié)：關(guān)于兩個(gè)平均值，一般說來，一個(gè)隨時(shí)間變化的作用力F（t）作用在質(zhì)量為m的物體上，經(jīng)過一段時(shí)間t，物體速度從v1變化為v2.根據(jù)動量定理，有，則

同時(shí)，這個(gè)作用力也是隨位移s而變化的，可記作F（s），在速度從v1變化為v2的過程中，發(fā)生位移s.根據(jù)動能定理，有

前者稱為作用力對時(shí)間的平均值，后者稱為作用力對空間的平均值，一般情況下，二者并不相等在特殊情況下，滿足一定條件，二者可以相等.

所謂“當(dāng)作恒力處理”，就是把一個(gè)變力作用的過程等效為大小等于它的平均力的恒力作用的過程，這里涉及到是哪個(gè)平均力的問題.應(yīng)用動量定理應(yīng)該是指對時(shí)間的平均力，應(yīng)用動能定理應(yīng)是指對位移的平均力，而同一個(gè)變力對時(shí)間的平均與對空間位移的平均一般不相等，一定要區(qū)分清楚.

除了上面的3種解法外還可以用積分的辦法.

解法4：設(shè)某時(shí)刻金屬桿的速度為v，經(jīng)過很短的時(shí)間dt，金屬桿的位移為dx，有

設(shè)初速度方向?yàn)檎?，?/p>

代入數(shù)據(jù)得x＝8m.

一般情況下，當(dāng)我們說某個(gè)量的平均值，而沒有說明是對什么的平均時(shí)，我們就默認(rèn)為是對時(shí)間的平均值，例如我們說的“平均速度”、“平均功率”等等，都是指的對時(shí)間的平均值，也就是說，當(dāng)我們說某個(gè)物理量對時(shí)間的平均值時(shí)，可以省略“對時(shí)間”這三個(gè)字.

同樣，當(dāng)我們要求某個(gè)過程中的平均作用力時(shí)，我們要理解為是對時(shí)間的平均，即而不能理解為后者必須稱為“求這個(gè)過程中對空間位移的平均作用力”.當(dāng)我們運(yùn)用動量定理而求得的平均作用力是對時(shí)間的平均力，而我們運(yùn)用動能定理求得的平均作用力則是對空間位移的平均力.