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    定積分在高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用探微

    2012-07-19 08:01:10劉益民
    物理教師 2012年3期
    關(guān)鍵詞:點(diǎn)電荷電勢動能

    劉益民

    (江蘇省寶應(yīng)縣中學(xué) 江蘇 寶應(yīng) 225800)

    蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-2教材新增加了定積分內(nèi)容,其中講到了曲邊梯形的面積、變速運(yùn)動路程、變力做功等問題,這為我們學(xué)好高中物理增添了一種新的數(shù)學(xué)方法,筆者也將定積分思想與方法滲透到高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)過程中,做了一些嘗試,以尋求高中數(shù)理新的結(jié)合點(diǎn).

    1 物理概念的滲透

    高中物理教材中有不少物理概念要能真正掌握,不僅僅是字面上去理解,而且需要在概念的內(nèi)涵與外延上挖掘,注意定積分思想的滲透.

    例1.如圖1所示,長為L、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿在水平面內(nèi)以恒定的角速度ω繞通過桿端的豎直軸O轉(zhuǎn)動,試求桿的動能.

    錯(cuò)解:由v=ωr可知桿上各點(diǎn)速度與半徑成正比,桿的中點(diǎn)速度v=ωL/2.因此桿的動能為

    圖1

    解析:桿的動能即桿各部分所有動能之和,因此將桿微元成無數(shù)份.設(shè)桿的線密度為η=m/L,每一份桿的動能為桿的動能為

    小結(jié):本題學(xué)生分析錯(cuò)誤的原因是因?yàn)闂U不是質(zhì)點(diǎn)問題,動能與速度平方成正比,不能簡單用中點(diǎn)速度來代入,而通過本題動能定積分計(jì)算讓學(xué)生體會到積分思想即累加,當(dāng)然也需要先進(jìn)行微元處理,寫出對應(yīng)的微分形式.

    證明:設(shè)流過定值電阻R的電流按正弦規(guī)律變化,即i=Imsinωt,因?yàn)闀r(shí)刻t瞬時(shí)功率P=i2R=I2mRsin2ωt,因?yàn)榇肭蟮脛t1個(gè)周期內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為代入上式得

    小結(jié):交流電的有效值是由電流熱效應(yīng)來定義的,而由于電流變化的原因,正常復(fù)習(xí)教學(xué)大多數(shù)教師仍然對學(xué)生強(qiáng)調(diào)僅正弦式才有但不解釋,更不推導(dǎo),因此學(xué)生仍然不甚理解,應(yīng)用時(shí)容易出錯(cuò).因此,對正弦式電流有效值的證明使用定積分這也是一種復(fù)習(xí)教學(xué)中有益嘗試,畢竟學(xué)生已有定積分的基礎(chǔ),同時(shí)也可作出瞬時(shí)功率P-t圖,如圖2所示,由定積分思想可知圖像面積即焦耳熱,再由“割補(bǔ)法”可知,等效直流電的電流

    圖2

    2 物理規(guī)律的拓展

    在高三物理復(fù)習(xí)過程中,有些物理規(guī)律僅定性或半定量地給出相關(guān)規(guī)律,而沒有定量給出計(jì)算公式,如典型的平方反比規(guī)律延伸出的勢能、電勢等概念,這在實(shí)際解題過程如果適時(shí)利用定積分補(bǔ)充一點(diǎn),這些規(guī)律就會淺顯易懂、我們就會應(yīng)用自如.

    例3.試推導(dǎo)第二宇宙速度v2≈11.2km/s.

    解析:取r為積分變量,r∈[R,+∞)取任一小區(qū)間[r,r+dr].這微小過程中萬有引力做功則當(dāng)將物體由地面移到無窮遠(yuǎn)處過程中萬有引力做的總功為

    要使物體恰好脫離地球引力的束縛,在這過程中,由動能定理得即第二宇宙速度

    小結(jié):此題同時(shí)延伸得到了引力勢能的公式Ep=教師也可進(jìn)一步拓展得到點(diǎn)電荷電勢能的公式這將讓學(xué)生對黑洞問題、點(diǎn)電荷能量等問題不再抽象.

    例4.如圖3所示,真空中有4點(diǎn)A、B、C、D共線等距,只在A點(diǎn)放一電荷量為+Q的點(diǎn)電荷時(shí),B點(diǎn)的場強(qiáng)為E,B、C兩點(diǎn)的電勢分別為8V、4V.若再將等量異號電荷-Q放在D點(diǎn),則

    圖3

    (C)BC線段中點(diǎn)電勢為零.

    (D)B、C兩點(diǎn)的電勢分別為4V和-4V.

    解析:根據(jù)場強(qiáng)疊加原理,B點(diǎn)電場由兩電荷共同產(chǎn)生,易得場強(qiáng)大小為5E/4,方向水平向右,即(B)對;而由已知正電荷在B、C兩點(diǎn)產(chǎn)生的電勢分別為8V、4V,則等量負(fù)電荷在在B、C兩點(diǎn)產(chǎn)生的電勢分別為-4V、-8V,因此最終同時(shí)放置兩電荷時(shí)B、C兩點(diǎn)的電勢分別為4V和-4V,(D)對;又由于對稱性BC線段中點(diǎn)電勢為零,(C)對.

    拓展:點(diǎn)電荷電勢公式及電勢疊加原理,如圖4所示,取r為積分變量,再取一小區(qū)間[r,r+dr],可視為勻強(qiáng)電場,則在一小區(qū)間存在的電勢差以無窮遠(yuǎn)處為0電勢點(diǎn),則P點(diǎn)的電勢即為P點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)電勢差為

    圖4

    小結(jié):本題涉及到電勢疊加問題,如果不引入點(diǎn)電荷電勢公式,需要引入試探電荷,通過做功方法比較高低以及確定電勢多少,這種方法繁而難懂,而由勻強(qiáng)電場U=Ed出發(fā),在一般電場中使用定積分物理意義清晰,分析簡捷,不失為一個(gè)電勢難題的好方法.

    3 物理思維方法的升華

    圖像法是高中物理思維方法中的重要方法之一,而物理圖像中面積的物理意義通常都是需要關(guān)注的,圖像的面積從數(shù)學(xué)角度來講就是一種定積分,因此通過定積分來看圖、甚至于作圖就是一種全新的思維方法.

    例5.如圖5所示,在兩平行金屬板中央有一個(gè)靜止的電子(不計(jì)重力),當(dāng)兩板間加上如圖6所示的交變電壓后,電子始終未打到板,則電子不可能做往返運(yùn)動的電壓是

    圖5

    圖6

    解析:速度-時(shí)間圖像法:可作出4個(gè)選項(xiàng)大致的速度-時(shí)間圖像如圖7所示,進(jìn)而非常容易地判斷出電子是否在做往返運(yùn)動.(A)、(B)、(D)選項(xiàng)中的電壓變化規(guī)律雖不同,但都是在1個(gè)周期內(nèi)先加速再減速,然后反向加速,最后再反向減速即1個(gè)周期內(nèi)又回到原出發(fā)點(diǎn),做往返運(yùn)動.而(C)選項(xiàng)的1周期內(nèi),前內(nèi)做變加速運(yùn)動,后內(nèi)做同向的變減速運(yùn)動,速度變?yōu)?,然后又繼續(xù)向前,不會做往返運(yùn)動,故(C)選項(xiàng)正確.

    圖7

    拓展:定積分法 對于運(yùn)動某一時(shí)刻的速度的獲得是由于電壓作用引起的,因此有而即電壓 -時(shí)間圖像下所圍成的面積.因此只有(C)選項(xiàng)中圖像面積始終非負(fù)值,即不是往返運(yùn)動.

    發(fā)散1:若已知兩平行金屬板M、N相距為d,在板間加一正弦交流電如上題(C)選項(xiàng)所示.在t=0時(shí)刻,質(zhì)量為m、電荷量為e的電子由板中央釋放,經(jīng)過半個(gè)周期,恰好到達(dá)A板,求此時(shí)電子的速度大???

    簡析1:半個(gè)周期中,

    發(fā)散2:若已知兩平行金屬板 M、N相距為d,在板間加電壓如上題(D)選項(xiàng)所示,求經(jīng)過個(gè)周期T時(shí)電子速度大???

    簡析2:由圖像得u=-U0+kt,其中加速度經(jīng)過個(gè)周期T時(shí),解得即線性變化可取算術(shù)平均值.

    發(fā)散3:若已知兩平行金屬板M、N相距為d,在板間加電壓如上題(A)選項(xiàng)所示,求離開出發(fā)點(diǎn)最大的距離?

    簡析3:因?yàn)槲灰萍此俣龋瓡r(shí)間圖像.下圖線所圍成的面積,因此本問就需要作出對應(yīng)的速度-時(shí)間圖像.由電壓圖像可知電子運(yùn)動的加速度規(guī)律為由于t=0,v=0,則C=0.電子運(yùn)動的速度規(guī)律為,如圖8所示.電子離開出發(fā)點(diǎn)的最大距離,即前半周期圖像面積.

    圖8

    小結(jié):在交變電壓作用下帶電粒子的運(yùn)動分析常規(guī)方法即做速度-時(shí)間圖像,但本題為一選擇題,作圖較費(fèi)時(shí)而且較難,因?yàn)樾枰獓?yán)格控制好圖線的斜率,(A)選項(xiàng)速度-時(shí)間圖像為一正弦函數(shù),(D)選項(xiàng)速度時(shí)間圖像應(yīng)為兩段拋物線相連.而使用全新的積分法只需要觀察圖像的面積累加的正負(fù)情況就行.由題目所發(fā)散的3個(gè)問題更是解決了變加速直線運(yùn)動難題,值得學(xué)生思考與總結(jié).

    當(dāng)然,定積分在高中物理中的應(yīng)用有它的局限性,一是江蘇從2010年開始高考數(shù)學(xué)考試中定積分不再做要求,二是在數(shù)理結(jié)合時(shí)學(xué)生關(guān)鍵還不能夠熟練寫出所求量的微元,無法建立合理的數(shù)學(xué)定積分模型.但是在高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)中開展定積分的教學(xué),是將重要數(shù)學(xué)方法在中學(xué)階段的有機(jī)地滲透,它必將加大學(xué)生的思維力度,拓展學(xué)生的思維空間,也為他日進(jìn)入高校學(xué)習(xí)做好方法上的準(zhǔn)備.當(dāng)然,在實(shí)際教學(xué)中要注意在講授定積分時(shí)不應(yīng)過多的注重?cái)?shù)學(xué)上的推理與論證,應(yīng)該突出應(yīng)用定積分的物理思想,同時(shí)讓學(xué)生積極參與進(jìn)來,自主地使用定積分進(jìn)行應(yīng)用分析,逐步內(nèi)化成學(xué)生自身的一種解題方法.

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