一類具正負(fù)系數(shù)的二階中立型方程的振動(dòng)性

楊甲山， 王 瑀

（1.邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系，湖南 邵陽(yáng) 422004；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

一類具正負(fù)系數(shù)的二階中立型方程的振動(dòng)性

楊甲山1， 王 瑀2

（1.邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系，湖南 邵陽(yáng) 422004；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

文章研究了一類具有正負(fù)系數(shù)和變時(shí)滯的二階非線性中立型泛函微分方程的振動(dòng)性，通過(guò)引入?yún)?shù)函數(shù)和Riccati變換，結(jié)合Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)原理，獲得了該類方程振動(dòng)及非振動(dòng)的判別準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則改善了對(duì)方程的條件限制，所得結(jié)果推廣并改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一系列結(jié)論。

正負(fù)系數(shù)；變時(shí)滯；振動(dòng)和非振動(dòng)；Riccati變換

關(guān)于中立型時(shí)滯微分方程的定性理論的研究［1－10］，在理論和實(shí)際應(yīng)用中均有著非常重要的意義。近年來(lái)，在計(jì)算機(jī)科學(xué)研究中出現(xiàn)了一些同時(shí)具有正負(fù)系數(shù)的中立型方程的模型，使得這類方程的研究日益受到重視［1－9］。但具有正負(fù)系數(shù)的一階方程或線性方程的研究成果較多［1－6］，而具有正負(fù)系數(shù)和變時(shí)滯的高階非線性方程的振動(dòng)定理尚不多見［7－9］。本文考慮了一類非常廣泛的具有正負(fù)系數(shù)和變時(shí)滯的二階泛函微分方程，即

存在非振動(dòng)解的判別準(zhǔn)則，文獻(xiàn)［5］在R（t）最終為負(fù)的條件下，給出了該方程振動(dòng)的一個(gè)充分條件。

本文改善了對(duì)方程的條件限制，建立方程（1）振動(dòng)的若干新的準(zhǔn)則，所得定理推廣并改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一系列結(jié)論。本文只討論方程（1）的非平凡解，如果方程（1）的解x（t）既不最終為正也不最終為負(fù)，則稱為振動(dòng)的，否則稱其為非振動(dòng)的；如果它的所有解都是振動(dòng)的，則方程（1）稱為振動(dòng)的。

1 條件和引理

條件1 存在αi＞0，βj＞0，使得fi（u）／u≥αi（u≠0），gj（u）／u≤βj（u≠0）。

條件5fi（0）＝0，gj（0）＝0，且存在常數(shù)α＞0和Lfi＞0，Lgj＞0，使得對(duì)? 0≤x≤α，0≤y≤α，有

引理1 設(shè)條件1、條件2成立，0≤P（t）≤1，x（t）為方程（1）的一個(gè)最終正解，則存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，有

證明 由于x（t）為方程（1）的一個(gè)最終正解，即存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，有x（t）＞0，x（t－τ（t））＞0，x（t－σi（t））＝x（t－σ（t））＞0，x（t－δj）＞0，從而y（t）＞0，進(jìn)而z（t）＞0（t≥t1）。由方程（1）、（2）式、（3）式及條件1和條件2，可得：

事實(shí)上，若存在t2≥t1，使得z′（t2）＜0，則當(dāng)t≥t2時(shí)，由（5）式有：

A（t）z′（t）≤A（t2）z′（t2）＜0，t≥t2，兩邊積分，得：

由0≤P（t）≤1及（2）式知，y（t）≥x（t）（t≥t1），于是y（t）≤x（t）＋P（t）y（t－τ（t））≤x（t）＋P（t）y（t），從而有x（t）≥［1－P（t）］y（t）≥0。引理證畢。

2 主要結(jié)果和證明

則方程（1）是振動(dòng)的。

證明 不妨設(shè)x（t）為方程（1）的一個(gè)最終正解（最終負(fù)解的情形類似可證），即存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，有x（t）＞0，x（t－τ（t））＞0，x（tσi（t））＞0，x（t－δj）＞0。于是由引理1及（4）式知，y′（t）＞0（t≥t1），即y（t）為單調(diào)遞增函數(shù)。由0≤P（t）≤1及（2）式知，y（t）≥x（t）（t≥t1）。于是y（t）≤x（t）＋P（t）y（t－τ（t））≤x（t）＋P（t）y（t），從而x（t）≥［1－P（t）］y（t）≥0，代入（5）式，由（6）式得：

［A（t）z′（t）］′≤－Ψ（t）y（t－σ（t））≤0 （7）

由y（t）＞0，y′（t）＞0（t≥t1）知，存在常數(shù)λ＞0及t2≥t1，使得y（t－σ（t））≥λ＞0（t≥t2），于是由（7）式得：

對(duì)（8）式兩邊從t2到t（t≥t2）積分，則有：

令t→＋∞，并由定理的條件可得：A（t）z′（t）→－∞，這與z′（t）≥0矛盾！定理證畢。

定理2 設(shè)條件1、條件2成立，0≤P（t）≤1，1－σ′（t）＞0，若存在φ（t）∈C1（［t0，＋∞），（0，＋∞））及常數(shù)ω≥1，使得（9）式成立，則方程（1）是振動(dòng)的。

其中，t1≥t0為常數(shù)；Ψ（s）的定義如（6）式。

由（4）式知，y′（t）≥z′（t）≥0，又z″（t）≤0，于是由（10）式、（7）式可得：

此式兩邊同乘以（t－s）ω并從t1到t積分，可得：

兩邊同除以tω，并取上極限可知，與（9）式矛盾！定理證畢。

例1 考慮具正負(fù)系數(shù)和變時(shí)滯的泛函微分方程：

若取A（t）＝t，P（t）＝1／2－1／t，Q（t）＝（1＋cos2t）／2，R（t）＝ （1＋2sin2（3t））／2，τ（t）＝t／2，σ（t）＝t／3，δ（t）＝π，f（x）＝x，g（x）＝x，則此時(shí)方程（11）滿足定理1的條件，這是因?yàn)椋?/p>

其余條件顯然滿足，于是由定理1知，方程（11）是振動(dòng)的。

定理2將二階線性微分方程的Kamenev型振動(dòng)準(zhǔn)則推廣到了具有正負(fù)系數(shù)和變時(shí)滯的二階非線性泛函微分方程（1）。文獻(xiàn)［5］在R（t）最終為負(fù)的條件下，給出了相應(yīng)方程振動(dòng)的一個(gè)充分條件，但本文定理1、定理2卻不需要該條件。

證明 設(shè)x（t）為方程（1）的無(wú)界非振動(dòng)解，不妨設(shè)x（t）＞0（當(dāng)x（t）＜0時(shí)類似可證），則存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，有x（t）＞0，x（t－τ（t））＞0，x（t－σi（t））＞0，x（t－δj（t））＞0。

由－1≤p（t）≤0得y（t）≤x（t）（t≥t1），且可推得y（t）≥0（t≥t1）。事實(shí)上，倘若不然，即y（t）＜0，則x（t）＝y(tǒng)（t）－p（t）x（t－τ（t））＜－p（t）x（t－τ（t））≤x（t－τ（t）），而這與x（t）無(wú)界矛盾！所以y（t）≥0。

由方程（1）及條件1、3、4得：

且｛A（t）y′（t）｝′最終不恒為0，從而A（t）y′（t）單調(diào)減少且能斷言y′（t）≥0（t≥t1）。事實(shí)上，倘若不然，則存在T≥t1，使得y′（T）＜0。從而當(dāng)t≥T時(shí)，有A（t）y′（t）≤A（T）y′（T），兩邊積分，可得：

其中，t→＋∞，這與y（t）≥0（t≥t1）矛盾！所以y′（t）≥0（t≥t1）。

由于y（t）不能為0，所以由y（t）≥0，y′（t）≥0（t≥t1）知存在常數(shù)M＞0及t2≥t1，當(dāng)t≥t2時(shí)，y（t－γ（t））≥M。當(dāng)y（t）≤x（t），由（12）式有：該式兩邊積分，得

這與A（t）y′（t）≥0（t≥t1）矛盾！定理證畢。

定理4 設(shè)條件5、條件6成立，且存在常數(shù)p1、p2，使得1＜p1≤P（t）≤p2＜＋∞，則方程（1）一定存在一個(gè)最終正解。

顯然T是連續(xù)的。由定理的條件和（13）式，對(duì)?x∈B1及t≥t1，有

另一方面，由定理的條件及（14）式，類似可得：

例3 考慮如下具正負(fù)系數(shù)和變時(shí)滯的中立型泛函微分方程：

若取A（t）＝1，P（t）＝2－1／t，Q（t）＝1／t3，R（t）＝3（57t3－60t2＋48t＋64）／［4（8＋3t）t5］，τ（t）＝t／3，σ（t）＝t／2，δ（t）＝t／4，f（u）＝u3，g（u）＝u，則易知此時(shí)方程滿足定理4的條件，故所給方程一定存在一個(gè)最終正解。

文獻(xiàn)［2－6］在條件5、條件6及對(duì)任意t≥t0和任意常數(shù)α＞0均有αQ（t）－R（t）≥0條件下，給出了相應(yīng)方程存在非振動(dòng)解的判別準(zhǔn)則，但本文定理4卻不需該強(qiáng)條件，因此本文定理推廣并改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)果。

［1］Tang X H，Yu J S.Positive solution for a kind of neutral e－quations with positive and negative coefficients［J］.Acta Mathematica Sinica，1999，42（5）：795－802.

［2］Kulenovic M R S，Hadziomerspahic S.Existence of nonoscillatory solution of second order linear neutral delay equation［J］.J math Anal Appl，1998，228：436－448.

［3］Gai Mingjiu，Shi Bao，Zhang Decun.Oscillation criteria for second order nonlinear differential equations of neutral type［J］.Appl Math J Chin Univ：Ser B，2001，16（2）：122－126.

［4］Cheng Jinfa，Zhang Annie.Oscillation criteria for the order neutral functional difference equations［J］.Acta math Sinica，2002，45（6）：1207－1212.

［5］仉志余，王曉霞，林詩(shī)仲.非線性二階中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)和非振動(dòng)準(zhǔn)則［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2006，26（3）：325－334.

［6］Manojlovic J，Shoukaku Y，Tanigawa T，et al.Oscillation criteria for second order differential equations with positive and negative coefficients［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，181（2）：853－863.

［7］楊甲山.具有正負(fù)系數(shù)的二階中立型方程的振動(dòng)性定理［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，52（2）：10－16.

［8］李瑞紅，王幼斌.二階變系數(shù)中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（14）：238－243.

［9］楊甲山，張曉建.具正負(fù)系數(shù)的二階阻尼微分方程的振動(dòng)性［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)：A輯，2011，26（4）：399－406.

［10］蔡江濤，羅李平，肖 娟.一類二階阻尼時(shí)偏微分方程解的振動(dòng)性［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，32（3）：440－441，445.

Oscillation of a class of second order neutral differential equations with positive and negative coefficients

YANG Jia－shan1， WANG Yu2

（1.Dept.of Science and Information，Shaoyang University，Shaoyang 422004，China；2.School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230039，China）

The oscillation of a class of second order nonlinear neutral functional differential equations with positive and negative coefficients and variable delay is discussed in this paper.By introducing the parameter function and the generalized Riccati transformation，and using the fixed point theorem in Banach space，some sufficient conditions for oscillation and nonoscillation of the equations are proposed.These criteria can improve the restriction of the conditions for the equations.These results improve and generalize some corresponding results given in literature.

positive and negative coefficient；variable delay；oscillation and nonoscillation；Riccati transformation

O175.7

A

1003－5060（2012）04－0552－05

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.04.027

2011－07－06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11071222）；湖南省教育廳科研基金資助項(xiàng)目（10C1189）

楊甲山（1963－），男，湖南步城人，邵陽(yáng)學(xué)院副教授.

（責(zé)任編輯 閆杏麗）