微小擾動(dòng)下中等長(zhǎng)高比腔體內(nèi)行進(jìn)波對(duì)流的高精度數(shù)值模擬

王 濤， 葛永斌

（1.北方民族大學(xué) 預(yù)科教育學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

微小擾動(dòng)下中等長(zhǎng)高比腔體內(nèi)行進(jìn)波對(duì)流的高精度數(shù)值模擬

王 濤1， 葛永斌2

（1.北方民族大學(xué) 預(yù)科教育學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

文章采用高階緊致有限差分格式，通過(guò)二維流體力學(xué)擾動(dòng)方程組的數(shù)值模擬，研究了具有較弱Soret效應(yīng)下，附加一個(gè)微小的溫度擾動(dòng)作為擾動(dòng)源的中等長(zhǎng)高比腔體內(nèi)混合流體對(duì)流系統(tǒng)中時(shí)空結(jié)構(gòu)的發(fā)展；它在經(jīng)歷了瞬態(tài)的對(duì)傳波、調(diào)制對(duì)傳波，最終演變?yōu)榉€(wěn)定的定常行進(jìn)波狀態(tài)；并進(jìn)一步研究了在中等長(zhǎng)高比腔體內(nèi)混合流體對(duì)流中從調(diào)制對(duì)傳波向定常行進(jìn)波的時(shí)空演化及其隨瑞利數(shù)的變化規(guī)律。

Soret效應(yīng)；對(duì)傳波；調(diào)制對(duì)傳波；定常行進(jìn)波；高階緊致格式

各種非平衡線性系統(tǒng)中的時(shí)空演化現(xiàn)象，是近年來(lái)科學(xué)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。其中混合流體（如水和酒精，He3與 He4）Rayleigh－Benard對(duì)流為良好穩(wěn)定性、分岔、復(fù)雜時(shí)空形態(tài)和湍流的非平衡非線性系統(tǒng)，該系統(tǒng)試驗(yàn)簡(jiǎn)單、易于控制，且描述系統(tǒng)的精確方程是已知的，便于理論分析。Rayleigh－Benard對(duì)流是當(dāng)作用在上下平板間的溫度差超過(guò)一個(gè)臨界值（臨界瑞利數(shù)）時(shí)系統(tǒng)就會(huì)失穩(wěn)，流體將從運(yùn)動(dòng)無(wú)結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楦褡訝畹撵o止的對(duì)流渦卷。如果2種液體混合，就會(huì)形成混合流體對(duì)流系統(tǒng)，溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)的耦合效應(yīng)會(huì)改變系統(tǒng)的穩(wěn)定及分岔特性。垂直方向的溫度梯度可以誘導(dǎo)一個(gè)濃度梯度產(chǎn)生的現(xiàn)象，被稱作Soret效應(yīng)，可用分離比φ來(lái)表示，φ的大小直接影響著分叉的形態(tài)與非線性特性。

就研究方法而言，早期主要以實(shí)驗(yàn)研究和理論分析為主，實(shí)驗(yàn)揭示了許多行進(jìn)波對(duì)流斑圖［1－2］，近年來(lái)，數(shù)值模擬已成為重要的研究手段。文獻(xiàn)［3－6］對(duì)封閉腔體內(nèi)的混合流體對(duì)流進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了對(duì)傳波（CPW）、雙局部行進(jìn)波（DLTW）、具缺陷的混合流體行進(jìn)波對(duì)流斑圖，探討了具有強(qiáng)Soret效應(yīng)的混合流體Undulation行進(jìn)波對(duì)流斑圖的動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)［7］對(duì)混合流體Rayleigh－Benard對(duì)流的線性穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)［8］給出了雙流體流動(dòng)中脈沖擾動(dòng)的時(shí)空演化。文獻(xiàn)［9］給出了水平流作用下的混合流體行進(jìn)波對(duì)流的時(shí)空演化。

對(duì)于微小擾動(dòng)的混合流體，文獻(xiàn)［10］討論了微小擾動(dòng)下的線性階段到非線性階段的成長(zhǎng)。另外，在數(shù)值模擬中均采用低精度格式進(jìn)行計(jì)算，但要對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)成功地進(jìn)行模擬，并得到較高精度的求解結(jié)果，對(duì)計(jì)算格式的求解效率及精度提出更高的要求。因此，采用高精度緊致格式來(lái)研究混合流體系統(tǒng)，探討混合流體對(duì)流運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性及參數(shù)依賴性等是必要的。文獻(xiàn)［11－12］采用高精度格式數(shù)值模擬了長(zhǎng)腔體（長(zhǎng)高比Γ＝46）的矩形腔體內(nèi)混合流體對(duì)流，確定出存在局部行進(jìn)波和雙局部行進(jìn)波的瑞利數(shù)的范圍。但目前采用高精度差分格式數(shù)值模擬長(zhǎng)高比Γ＝12（即中等長(zhǎng)高比）的矩形腔體內(nèi)具較弱強(qiáng)度的Soret效應(yīng)（即φ＝－0.11的對(duì)流系統(tǒng)）的報(bào)道不多。因此，本文基于對(duì)流系統(tǒng)的流體力學(xué)擾動(dòng)方程組的高精度數(shù)值模擬，研究φ＝－0.11的具有較弱強(qiáng)度的Soret效應(yīng)的對(duì)流系統(tǒng)中的中等長(zhǎng)高比Γ＝12腔體內(nèi)的混合流體對(duì)流情況，揭示了在腔體內(nèi)混合流體對(duì)流中從調(diào)制對(duì)傳波向定常行進(jìn)波的時(shí)空演化及其隨瑞利數(shù)R的變化規(guī)律。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基本方程組

考慮一個(gè)底部加熱的四周為固壁的方腔內(nèi)充滿混合流體的物理模型。如果上部平板的溫度保持不變，當(dāng)下部平板的溫度升高到某個(gè)臨界數(shù)值時(shí)，在2個(gè)平板之間對(duì)流運(yùn)動(dòng)發(fā)生，如圖1所示，水平放置的矩形腔體，記Γ＝Lx／d，一薄層雙流體混合物封入矩形腔體之中，例如酒精與水的混合物的水平層，使流體處于一個(gè)均勻的重力場(chǎng)中，g＝－gez，g為重力加速度，方向向下，ez表示z方向的單位矢量。上下板之間存在一個(gè)正的溫度差ΔT＝Thot－Tcold，由瑞利數(shù)來(lái)表征。當(dāng)R引發(fā)的浮力項(xiàng)超過(guò)極限時(shí)對(duì)流運(yùn)動(dòng)就開(kāi)始發(fā)生。

本文認(rèn)為對(duì)流以整齊的平行滾動(dòng)形式出現(xiàn)，對(duì)流運(yùn)動(dòng)的斑圖隨上下板間的溫度差的變化而變化。在正交的x、z軸所在的平面上描述二維對(duì)流運(yùn)動(dòng)。

圖1 對(duì)流模型示意圖

對(duì)于該流動(dòng)問(wèn)題，可用二維流體動(dòng)力學(xué)方程組來(lái)描述。假設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為底板與左側(cè)壁的交匯處，x軸向右為正，z軸向上為正。所有的幾何尺寸用流體層厚度d表示，時(shí)間t為d2／ν，擾動(dòng)速度u，w為ν／d，擾動(dòng)溫度θ為kν／（agd3），擾動(dòng)濃度流束η為kνγ2D／（agd3），壓力p為ν2／d2無(wú)因次化，考慮了Soret效應(yīng)的流體力學(xué)擾動(dòng)方程組為：

在Boussinesq近似假設(shè)下，下標(biāo)0表示相應(yīng)物理量的平均值，T和C為溫度和濃度偏離參考值T0和C0小的偏差，質(zhì)量密度的狀態(tài)方程為：

其中熱引起的體積膨脹系數(shù)α及濃度變化引起的體積膨脹系數(shù)β分別定義為：

α的作用是單調(diào)的，因?yàn)椴徽撘后w或氣體，溫度升高時(shí)密度都會(huì)減小，α始終大于0；而β的作用卻不同，當(dāng)β＜0時(shí)，對(duì)流系統(tǒng)類似于純流體的情況為定常流動(dòng)；當(dāng)β＞0時(shí)，對(duì)流系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)行進(jìn)波狀態(tài)、局部行進(jìn)波及定常流動(dòng)。

1.2 渦量－流函數(shù)形式的擾動(dòng)方程組

流函數(shù)φ和渦量ω的定義為：

對(duì)（1）～（3）式進(jìn)行化簡(jiǎn)得：

其中，（6）式為渦量輸運(yùn)方程，（7）式為流函數(shù)Poisson方程。方程（4）～（7）組成了在 Boussinesq假設(shè)下，二維非定常不可壓縮二成分混合流體的渦量－流函數(shù)形式的基本控制方程組。

1.3 邊界條件

為了求解方程組必須給出合理的邊界條件。所有壁面都是固定的，速度在壁面上為0，濃度流束在壁面上是不可穿透的，故

由于在上下邊界上溫度是固定的，溫度的擾動(dòng)量可表示為：當(dāng)z＝0，1時(shí)，θ＝0。

對(duì)于限定在矩形容器中的混合流體，容器是絕熱的，故側(cè)向邊界條件可表示為：

2 高精度格式

本文給出溫度方程、濃度方程和渦量方程的統(tǒng)一表達(dá)式為：

其中，f可表示ω、θ、η；q表示源項(xiàng)。

對(duì)于（8）式的求解，本文對(duì)時(shí)間方向采用三階R－K公式［13］離散，在空間方向采用四階精度的迎風(fēng)格式［14］離散。

對(duì)流函數(shù)Poisson方程（7）的求解，采用四階緊致差分格式［15］，該格式為：

邊界的具體三階計(jì)算格式如下。

擾動(dòng)溫度上下邊界為：

擾動(dòng)溫度左右邊界為：

擾動(dòng)濃度上下邊界為：

擾動(dòng)濃度左右邊界為：

計(jì)算渦邊界值時(shí)需要渦邊界本身的值，故本文采用迭代求解法。

渦左邊界為：

同理可構(gòu)造出其他3個(gè)邊界的迭代格式。

3 數(shù)值模擬及討論

給定初始擾動(dòng)微小擾動(dòng)波的波長(zhǎng)為2倍的流體層厚度的平行滾動(dòng)，其滾動(dòng)的微小振幅包絡(luò)線為稍微偏離腔體中心的高斯分布函數(shù)，本文所模擬的是長(zhǎng)高比Γ＝12的空腔，給定初始擾動(dòng)波的振幅在x＝8處達(dá)到最大值。本文給出初始擾動(dòng)波的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

計(jì)算采用均勻網(wǎng)格h＝Δx＝Δz＝1／10，時(shí)間步長(zhǎng)Δt＝5×10－4，計(jì)算中采用的其他流體參數(shù)［4］分別取φ＝－0.11，Pr＝18，L＝0.015。為了研究方便，采用相對(duì)瑞利數(shù)r，即r＝R／Rco，其中，Rco為純流體對(duì)流時(shí)的臨界值（Rco＝1 708），R為混合流體對(duì)流時(shí)的瑞利數(shù)。

在求解描述二成分混合流體對(duì)流系統(tǒng)的渦量－流函數(shù)形式的擾動(dòng)方程組時(shí)，采用內(nèi)外兩重循環(huán)，在每個(gè)時(shí)間層上對(duì)渦量、擾動(dòng)溫度、擾動(dòng)濃度及擾動(dòng)速度采用內(nèi)循環(huán)步進(jìn)求解。當(dāng)前后2次迭代值之差小于給定的控制收斂準(zhǔn)則，則內(nèi)循環(huán)結(jié)束。在時(shí)間方向采用外循環(huán)，當(dāng)推進(jìn)到需要計(jì)算的時(shí)刻程序終止。

本文以對(duì)流臨界值r＝1.20處開(kāi)始計(jì)算，在給定的微小振幅的初值下，將計(jì)算結(jié)果可視化，觀測(cè)到對(duì)傳波（Counter Propagating Wave，簡(jiǎn)稱CPW）狀態(tài)圖。取腔體1／2處的溫度沿水平方向的分布形狀。當(dāng)r＝1.20時(shí)，腔體1／2高度處擾動(dòng)溫度場(chǎng)隨時(shí)間的演化如圖2所示，其中橫軸表示空腔長(zhǎng)度，為12倍的空腔高度，縱軸表示時(shí)間的變化，各條曲線的時(shí)間間隔為dt＝1.25。

由圖2a可看出，存在一個(gè)瞬態(tài)的CPW狀態(tài)，在CPW中心部的駐波在改變振動(dòng)相位180°時(shí)，其兩側(cè)各產(chǎn)生一個(gè)與原駐波同相位的行進(jìn)波。文獻(xiàn)［2］在φ＝－0.12條件下的實(shí)驗(yàn)也說(shuō)明在CPW狀態(tài)，對(duì)流振幅在不斷成長(zhǎng)，始終沒(méi)有達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)。

對(duì)流系統(tǒng)進(jìn)入CPW狀態(tài)后，出現(xiàn)了左行進(jìn)波和右行進(jìn)波競(jìng)爭(zhēng)的現(xiàn)象，在該參數(shù)條件下，這種CPW狀態(tài)是瞬態(tài)的，是極其不穩(wěn)定的，在競(jìng)爭(zhēng)階段的開(kāi)始，由于駐波到左右壁面的距離不等，造成了左右行進(jìn)波到達(dá)左右壁面的時(shí)間不同，在左右行進(jìn)波到達(dá)左右壁面后，反射回來(lái)的時(shí)間也不同，這樣隨著時(shí)間的推進(jìn)，兩列波進(jìn)行疊合，因而左右行進(jìn)波的振幅隨時(shí)間交替增長(zhǎng)，導(dǎo)致了CPW駐波中心位置的移動(dòng)。CPWS（Counterpropagating Wave Source）包括一個(gè)反傳播波和一個(gè)駐波，開(kāi)始向一邊移動(dòng)，向右傳播，CPWS的運(yùn)動(dòng)引起了CPW振幅的調(diào)制。

t＝37.5～57.5時(shí)刻腔體1／2處的溫度場(chǎng)的時(shí)間演化圖如圖2b所示。圖2b表明，左行進(jìn)波的振幅明顯大于向右傳播的行進(jìn)波的振幅，并且CPWS向右移動(dòng)，從虛線的位置可以看出駐波已移至x＝9處。

t＝137.5～157.5時(shí)刻腔體1／2處的溫度場(chǎng)的時(shí)間演化圖如圖2c所示。圖2c表明，右行進(jìn)波的振幅明顯大于向左傳播的行進(jìn)波的振幅，并且CPWS向左移動(dòng)，從虛線的位置可以看出駐波已移至x＝3處。圖2b和圖2c為2種類型的調(diào)制對(duì)傳行進(jìn)波（Modulated Counterpropagating Wave，簡(jiǎn)稱 MCPW）。

在圖2c的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算后取值，其溫度場(chǎng)的變化如圖2d所示。由圖2d可以看出，擾動(dòng)溫度場(chǎng)不向左或向右傳播了，而是在原有的位置連續(xù)地滾動(dòng)，隨時(shí)間不再變化。在這種狀態(tài)下，對(duì)流的渦卷不再向某個(gè)方向移動(dòng)，在固定的位置上不斷地旋轉(zhuǎn)，行進(jìn)波向左或向右的傳播速度為0。總之，獲得了很好的定常狀態(tài)。

圖2 r＝1.20時(shí)腔體1／2高度處擾動(dòng)溫度場(chǎng)隨時(shí)間演化

本文對(duì)φ＝－0.11，Pr＝18，L＝0.015下，Γ＝12的腔體內(nèi)酒精與水的混合流體在實(shí)驗(yàn)可控制的溫度下，進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，得到與實(shí)驗(yàn)結(jié)果［4］相吻合的結(jié)論。

通過(guò)數(shù)值模擬的研究發(fā)現(xiàn)，瑞利數(shù)對(duì)腔體內(nèi)流體的對(duì)流影響非常大。通過(guò)計(jì)算得出，只有R＝1.20×1 708時(shí)出現(xiàn)CPW 狀態(tài)，系統(tǒng)發(fā)展并穩(wěn)定在SOC（stationary overturning convection）狀態(tài)。當(dāng)R≥1.20×1 708時(shí)，計(jì)算了多個(gè)R值的對(duì)流情況，發(fā)現(xiàn)在這些瑞利數(shù)下，系統(tǒng)的對(duì)流振幅增大到其SOC狀態(tài)時(shí)的水平，直接進(jìn)入SOC狀態(tài)，即R＝1.20×1 708為臨界值時(shí)，當(dāng)R超過(guò)該臨界值時(shí)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算取值，行進(jìn)波過(guò)渡成定常行進(jìn)波對(duì)流狀態(tài)。并且R越大，進(jìn)入SOC狀態(tài)的時(shí)間越早。

為了表征行進(jìn)波對(duì)流特征，本文采用垂直擾動(dòng)流速最大值這個(gè)特性數(shù)，該特性數(shù)｜w｜max可直接表示對(duì)流振幅的大小。R＝1 708×1.50和R＝1 708×5.0下對(duì)流振幅隨時(shí)間的發(fā)展情況如圖3所示。

不同瑞利數(shù)下MCPW狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)镾OC狀態(tài)時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間見(jiàn)表1所列。

從圖3可看出，隨著時(shí)間的推進(jìn)，對(duì)流振幅穩(wěn)定在0.497和1.379左右，即均穩(wěn)定在一個(gè)固定的值，對(duì)流達(dá)到SOC狀態(tài)。

圖3 垂直流速最大值隨時(shí)間的變化

表1 不同瑞利數(shù)時(shí)MCPW轉(zhuǎn)變?yōu)镾OC狀態(tài)時(shí)的時(shí)間

在R≥1.20×1 708時(shí)，本文計(jì)算了多個(gè)R值的對(duì)流情況，發(fā)現(xiàn)在瑞利數(shù)下，系統(tǒng)的對(duì)流振幅增大到其SOC狀態(tài)時(shí)的水平，且R越大，對(duì)流振幅隨著瑞利數(shù)R的增大而增大。不同瑞利數(shù)下到達(dá)SOC狀態(tài)時(shí)相對(duì)應(yīng)的對(duì)流振幅見(jiàn)表2所列。

表2 不同瑞利數(shù)時(shí)達(dá)到SOC狀態(tài)時(shí)對(duì)應(yīng)的對(duì)流振幅

4 結(jié)束語(yǔ)

本文數(shù)值模擬了具有分離比為－0.11時(shí)混合流體對(duì)流系統(tǒng)的行進(jìn)波對(duì)流情形，討論了附加一個(gè)微小的溫度擾動(dòng)作為擾動(dòng)源，小擾動(dòng)成長(zhǎng)發(fā)展，它在經(jīng)歷了瞬態(tài)的對(duì)傳波，調(diào)制對(duì)傳波，最終演變成為穩(wěn)定的定常行進(jìn)波狀態(tài)，在與文獻(xiàn)相同的參數(shù)下，模擬得到的結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果吻合得很好，表明本文所采用的方法適用于復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題的計(jì)算。另外，在本文參數(shù)下，隨著瑞利數(shù)R的增大，系統(tǒng)進(jìn)入定常行進(jìn)波的時(shí)間隨著瑞利數(shù)R的增大而減小，在該參數(shù)下，對(duì)流振幅整體上隨著瑞利數(shù)R的增大而增大。

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High accuracy numerical simulation of traveling wave convection in an intermediate－aspect－ratio rectangular cell with small perturbation

WANG Tao1， GE Yong－bin2
（1.College of Preparatory Education，Beifang University of Nationalities，Yinchuan 750021，China；2.College of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan 750021，China）

By using the high order compact finite difference scheme，and through the numerical simulations of two－dimensional hydrodynamic perturbation equations，the evolution of spatio－temporal patterns of the traveling wave convection in fluid mixtures in an intermediated－aspect－ratio rectangular cell with small temperature perturbation under the weakly Soret effect is performed.The result shows that counterpropagating waves are generated and modulated until the system evolves to spatially modulated counterpropagating and finally to a stable stationary overturning convection.Based on this，the Rayleigh effect on the course of spatio－temporal evolution from modulated counterpropagating wave to stationary overturning convection is discussed.

Soret effect；counterpropagating wave；modulated counterpropagating wave；stationary traveling wave；high order compact scheme

O357.1

A

1003－5060（2012）11－1569－05

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.11.030

2012－04－10；

2012－07－28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11061025）；教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目（210239）和北方民族大學(xué)科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（2010Y038）

王 濤（1978－），女，寧夏銀川人，北方民族大學(xué)講師；

葛永斌（1975－），男，寧夏青銅峽人，博士，寧夏大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 閆杏麗）