單位線的發(fā)展及啟示

芮孝芳,劉寧寧,凌 哲,梁 霄

(河海大學(xué)水文水資源學(xué)院,江蘇南京 210098)

1 單位線的起源

在經(jīng)濟(jì)社會不發(fā)達(dá)的古代,人類在防治洪水災(zāi)害時,首先直覺關(guān)注的是河道某斷面出現(xiàn)的洪峰水位和洪峰流量。因此,早在19世紀(jì)人們就有了如何由暴雨確定所形成的洪峰流量的愿望。Mulvany于1850年提出了水文學(xué)歷史上第一個由暴雨計算所形成的洪峰流量的公式[1],后人稱之為合理化公式。隨著經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展,人們對防治洪水災(zāi)害的要求也不斷提高,逐步認(rèn)識到了解一場暴雨所形成的流域出口斷面洪水過程比僅了解洪峰水位和洪峰流量更為重要、更為全面。但流域由坡面和水系組成,坡面上的水流現(xiàn)象要比河道中水流現(xiàn)象復(fù)雜得多,以致于適用于河道水流的理論和計算方法,一般并不能直接用于坡面水流計算。因此,盡管早在1871年就有了圣維南根據(jù)牛頓力學(xué)定律導(dǎo)出的描寫河道洪水波運(yùn)動的明渠緩變不穩(wěn)定偏微分方程組,但如何由暴雨過程計算流域洪水過程的問題仍沒有得到解決。

直到20世紀(jì)二三十年代,情況才有了轉(zhuǎn)機(jī)。這一時期是水文學(xué)蓬勃發(fā)展時期,新的水文學(xué)理論和方法不斷涌現(xiàn),僅為了解決流域上一場暴雨形成的洪水過程的計算問題就提出了兩種方法:一是Ross于1921年提出的時間-面積曲線概念,據(jù)此建立的方法稱為等流時線法;二是Sherman于1932年提出的單位線概念,據(jù)此建立的方法稱為Sherman單位線法。等流時線法設(shè)想在流域上存在等流時線,降落在同一條等流時線上的雨滴經(jīng)過相同的匯流時間將同時刻到達(dá)流域出口斷面。這樣,只要找出了流域的等流時線,就可完成由流域上一場暴雨過程推求其形成的流域出口斷面洪水過程的計算任務(wù)。單位線法是先定義一條流域單位線。所謂單位線就是指流域上分布均勻的單位時段內(nèi)強(qiáng)度不變的1個單位的凈雨量所形成的流域出口斷面流量過程。應(yīng)用這條單位線處理流域出口斷面洪水過程計算的基本思路是:如果單位時段內(nèi)強(qiáng)度不變的凈雨量不是1個單位,而是n個單位,那么其所形成的流域出口斷面的洪水過程為單位線的 n倍,這叫做倍比性假設(shè)。如果一場暴雨的歷時不只是1個單位時段,而是有m個單位時段,那么其所形成的流域出口斷面洪水過程就是各個單位時段凈雨形成的流域出口斷面洪水過程之同時刻流量之和,這叫做疊加性假設(shè)。因此,只要找到了流域單位線,就可以根據(jù)倍比性和疊加性假設(shè),完成推求流域上一場暴雨所形成的流域出口斷面洪水過程的計算任務(wù)。

與Sherman直接針對實(shí)際應(yīng)用提出單位線不同,美國Boston土木工程協(xié)會早于Sherman兩年即1930年,提出了“瞬時暴雨產(chǎn)生的過程能表征流域特征”的概念[2],這種所謂“瞬時暴雨產(chǎn)生的過程”就是后人命名的“瞬時單位線”。但它并沒有立即得到應(yīng)用,直到1945年,Clark才據(jù)此概念求得單位線用于流域匯流計算[3]。對瞬時單位線的解釋最初只是認(rèn)為:“時段長為零的單位線就是瞬時單位線”,直到20世紀(jì)70年代才將瞬時單位線正式定義為:流域上分布均勻,歷時極短(→0),強(qiáng)度極大(→∞),但總量為1個單位的凈雨所形成的出口斷面流量過程。

在不斷發(fā)展的近代科學(xué)技術(shù)支撐下,水文學(xué)家現(xiàn)在終于搞清楚了Sherman單位線的3個基本假設(shè)實(shí)質(zhì)上就是認(rèn)為流域匯流遵循倍比性和疊加性[1,4]?，F(xiàn)在已經(jīng)證明,自然界一切可以用線性微分方程或線性系統(tǒng)描寫的物理過程都滿足倍比性和疊加性,而且,一旦滿足了倍比性和疊加性這一前提,時段長為0時的單位線就成為瞬時單位線;反之,瞬時單位線對時段的積分就成為單位線[5-6]。現(xiàn)在,瞬時單位線已成為單位線法的核心問題,而且在洪水演算中也得到了應(yīng)用。

由于在許多情況下Sherman提出的單位線和Clark首次使用的瞬時單位線都能獲得令人滿意的計算效果,且既簡單又方便,因此,在世界各國得到了廣泛的應(yīng)用。單位線法并非來自直接的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),而是來自科學(xué)家對降雨形成流域出口洪水過程的一種理性思維。為什么在實(shí)用中對多數(shù)情況都能取得令人滿意的效果呢?這種先有“方法”后有“理論”的發(fā)展過程很耐人尋味,引起了水文學(xué)家的重視和極大的興趣,單位線方法從此走上了一條蓬勃發(fā)展之路。

2 單位線的系統(tǒng)論解釋

曾經(jīng)對水文科學(xué)作出重大貢獻(xiàn)的Chow早在20世紀(jì)60年代就認(rèn)為流域匯流可作為一個用下列線性動力系統(tǒng)微分方程來描述的系統(tǒng)[7]:

式中:Q(t)為出口斷面流量過程;h(t)為相應(yīng)于出口斷面流量過程的凈雨過程;a0,a1,…,am,b0,b1,…,bn均為常數(shù)或者僅是時間t的函數(shù)。

根據(jù)瞬時單位線的定義,如果凈雨輸入為 δ函數(shù),那么所形成的流域出口斷面流量過程就是流域瞬時單位線u(t)了。這時式(1)將變成

對式(2)的兩邊進(jìn)行Laplace變換,得式中:p為Laplace變換的參量。

考慮到L[δ(t)]=1,并對式(3)求逆 Laplace變換,得

式(4)就是流域瞬時單位線的系統(tǒng)論釋義。由此可見,流域瞬時單位線反映了系統(tǒng)的作用,因而與流域的地形地貌特性有關(guān)。

如果直接對式(1)進(jìn)行求解,那么根據(jù)運(yùn)算微積分中的有關(guān)定理,可得

表達(dá)Q(t),u(t)和h(t)之間關(guān)系的式(5)稱為卷積分,因?yàn)樗紫扔蒁uhmanmel得到,所以又稱Duhmanmel積分[5],其中被積函數(shù)為兩個函數(shù)的乘積,體現(xiàn)了線性系統(tǒng)的倍比性,而從0到t的積分體現(xiàn)了線性系統(tǒng)的疊加性。

3 單位線的物理學(xué)解釋

如果凈雨是在 τ時刻呈空間分布均勻狀態(tài)瞬時注入流域的,且由 n個水滴組成,那么均勻分布在流域上的n個水滴都是從τ時刻開始從流域上不同位置向流域出口斷面匯集的。由于每個水滴的流域匯流時間不一樣,所以,τ時刻注入的n個水滴必將在不同時刻到達(dá)流域出口斷面,顯然,只有那些流域匯流時間正好等于 t-τ的水滴能在t時刻到達(dá)出口斷面,從而組成了 t時刻的流域出口斷面流量[6]。如果把滿足這個條件的水滴所占據(jù)的面積計算出來,并用表示,那么這個面積與 τ時刻降雨強(qiáng)度i(τ)的乘積,就是 τ時刻凈雨對t時刻流域出口斷面流量的貢獻(xiàn),即

一場降雨由連續(xù)時刻的降雨組成,把一場降雨中每一個時刻凈雨對 t時刻出口斷面流量的貢獻(xiàn)都計算出來,就可得到t時刻出口斷面的流量

如果入流和出流均采用m3/s作單位,那么式(7)又可寫成:

式(8)稱為徑流成因公式。將式(8)與式(5)進(jìn)行比較,不難得知式(8)中的即為流域匯流的瞬時單位線,這就把流域瞬時單位線的物理意義揭示出來了。

4 單位線的概率論解釋

筆者[8]認(rèn)為,大氣中凝結(jié)成的水滴何時以降雨的形式降落到流域表面,可視為一隨機(jī)事件,即雨滴降落的時間S就是隨機(jī)變量。因此,將凈雨強(qiáng)度過程h(t)作歸一化處理,就成為雨滴降落時間S這一隨機(jī)變量的分布密度,用fh(s)表示:

降落在流域表面的凈雨滴,經(jīng)由坡地匯流和河網(wǎng)匯流將成為流域出口斷面的流量過程。降落在流域表面的凈雨滴何時到達(dá)流域出口斷面也可視作一隨機(jī)事件,即雨滴到達(dá)流域出口斷面的時間T也是隨機(jī)變量。因此,將流域出口斷面流量過程Q(t)作歸一化處理,就成為隨機(jī)變量凈雨滴在流域出口斷面出現(xiàn)時間T這一隨機(jī)變量的分布密度,用 fQ(t)表示:

因?yàn)閮粲甑谓德涞搅饔虮砻娴臅r間為S,所以,如果凈雨滴從其在流域上的注入點(diǎn)流達(dá)流域出口斷面的匯流時間為 Σ,那么凈雨滴從降落至流域表面開始,最終在流域出口斷面出現(xiàn)的時間T應(yīng)為

前已分別給出隨機(jī)變量S和T的分布密度為fh(s)和fQ(t),如果用fB(t)表示凈雨滴流域匯流時間 Σ的分布密度,并假設(shè)S與Σ相互獨(dú)立,那么根據(jù)概率論中隨機(jī)變數(shù)函數(shù)的分布理論[9],由式(11)可導(dǎo)得:

或

將式(9)和式(10)代入式(12),并考慮流域匯流階段的水量平衡關(guān)系,得

或

比較式(13)和式(5),可見式(13)不僅是式(5)的概率論詮釋,而且流域瞬時單位線u(t)就是凈雨滴流域匯流時間的分布密度fB(t),即

式(14)與 Rodriguez-Iturbe等[10]于 1979年基于粒子弱相互作用下隨機(jī)運(yùn)動理論和流域水量平衡原理導(dǎo)得的結(jié)果完全一致。

5 綜合單位線

1938年,Snyder在研究美國Appalachian山地的暴雨徑流時,為解決缺乏水文資料情況下Sherman單位線的確定問題,通過分析Sherman單位線的特征值,如單位線峰值、單位線洪峰滯時、單位線總歷時等與地形地貌參數(shù),如流域面積、主河道長度、流域中心至流域出口斷面距離LC等之間的關(guān)系,建立了相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式[11]。1960年,Nash為了將其創(chuàng)建的Nash瞬時單位線應(yīng)用于缺乏水文資料流域的流域匯流計算,針對英國資料,建立了其中參數(shù) n和k與地形地貌之間的經(jīng)驗(yàn)公式[12]。此后,Rosso又從另外的角度得到了Nash模型參數(shù)與Horton地貌參數(shù)之間的經(jīng)驗(yàn)性關(guān)系[13]。1978年,Body在尋求概念性模型參數(shù)與地形地貌參數(shù)定量關(guān)系的研究中也做出了一些富有啟發(fā)性的工作[14]。這種由經(jīng)驗(yàn)公式求得的單位線就稱為綜合單位線。

無論是Snyder還是Nash以及其他后來者,在建立綜合單位線時都是采用統(tǒng)計綜合途徑。統(tǒng)計綜合途徑的基本思想是[15]:通過對水文過程和地貌過程相互作用的觀測和分析,尋找出影響水文過程特征的地形地貌參數(shù),利用積累的觀測或?qū)嶒?yàn)資料建立兩者的定量關(guān)系,或者通過對水文過程進(jìn)行宏觀考量,構(gòu)建能模擬水文過程的概念性水文模型,進(jìn)而建立這類模型參數(shù)與地形地貌參數(shù)的定量關(guān)系。這種建立水文過程與地形地貌參數(shù)定量關(guān)系的途徑,通常有兩種具體實(shí)施方法:一是先給定兩者之間的函數(shù)形式,然后確定其中的參數(shù);二是采用某種模擬仿真計算,以隱式方式直接擬合兩者關(guān)系,而無須事先給定它們之間的函數(shù)形式。屬于前者的主要有統(tǒng)計回歸分析和最優(yōu)化方法;屬于后者的主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等。

由于統(tǒng)計綜合途徑只是從影響因素分析上,而不是從物理機(jī)制上探討水文過程與地貌過程的定量關(guān)系,因此其對水文氣象資料觀測的依賴性較大,沒有足夠數(shù)量的水文氣象觀測資料是難以得出有價值的分析成果的。在應(yīng)用中,對其外延和移用也應(yīng)十分慎重。

6 地貌瞬時單位線

6.1 R-V地貌瞬時單位線

1979年,Rodriguez-Iturbe等[10]基于式(14),應(yīng)用概率論、水系地貌結(jié)構(gòu)理論和水文學(xué)原理由Rodriguez-Iturbe等導(dǎo)出了如下流域瞬時單位線的表達(dá)式:式中:s為“水滴”到達(dá)出口斷面的狀態(tài)路徑;x1,x2,…,xk為組成該s的狀態(tài),分別在各級河流狀態(tài)和各級坡地狀態(tài)中選擇;fx1(t),fx2(t),…,fxk(t)為“水滴”在狀態(tài) x1,x2,…,xk中持留時間的概率密度;p(s)為“水滴”選擇s的概率;S為s的集合。

式(15)中之p(s)可由Horton地貌參數(shù)確定,fxk(t)(k=1,2,…)可由“水滴”通過狀態(tài) xk(k=1,2,…)的動力因子確定。

由于在式(15)的具體表達(dá)式中包含有地形地貌參數(shù),故稱所得到的瞬時單位線為地貌瞬時單位線。

6.2 概率組合地貌瞬時單位線

呈均勻分布并瞬時降落在流域上的無窮多雨滴中的任一個,總是要以一定的運(yùn)動速度V通過L長的路徑到達(dá)流域出口斷面的,因此,其流域匯流時間T必為由于任一雨滴什么時間降落到流域可視為隨機(jī)的,因此其運(yùn)動速度V和所取的路徑長度L均為隨機(jī)變量,而且L和V是相對獨(dú)立的。根據(jù)概率論中隨機(jī)變量函數(shù)的分布的理論,式(16)中3個隨機(jī)變量的分布密度應(yīng)有如下關(guān)系[16]:式中:g(l)和 φ(v)分別為隨機(jī)變量的分布密度;vmax為流域中凈雨滴的最大運(yùn)動速度。

式(17)表明,只要能得到 g(l)和 φ(v),就可按此式推求流域瞬時單位線了。文獻(xiàn)[16]認(rèn)為,g(l)可由寬度函數(shù)給出,φ(v)可通過坡度的分布密度求得。因?yàn)閷挾群瘮?shù)和坡度分布密度表達(dá)的均為流域地形地貌特征,所以由式(17)求得的瞬時單位線也屬于地貌瞬時單位線。

國外發(fā)表類似的研究成果比筆者的工作晚了3年[17]。

7 一些啟示

單位線來自水文學(xué)家急切解決流域降雨形成出口斷面流量過程問題的強(qiáng)烈愿望,也是水文學(xué)家處理復(fù)雜的、特殊的流域匯流現(xiàn)象的一種靈感,而倍比性和疊加性假設(shè)則起到了“橋”的關(guān)鍵作用。單位線的成功應(yīng)用及較好的普適性,說明了用倍比性和疊加性架起的“橋”雖系“假設(shè)”,但已不自覺地切中了流域匯流現(xiàn)象的本質(zhì),符合了在許多情況下,凈雨水滴從流域各處向出口斷面匯集遵循倍比性和疊加性的客觀事實(shí)。

在線性條件下,流域單位線或瞬時單位線的唯一性就意味著凈雨空間分布必須均勻。如果凈雨空間分布不均勻,那么流域單位線或瞬時單位線就不可能唯一。事實(shí)上,暴雨中心在上游和下游,所得出的流域單位線或瞬時單位線必然會有較大差別。因此,在給出流域單位線或瞬時單位線的定義時,絕對不可以漏掉“凈雨空間分布均勻”這一重要前提。而在實(shí)際應(yīng)用中,原則上也必須要求凈雨在流域上呈均勻分布。以往曾經(jīng)有人提出應(yīng)按暴雨中心位置率定單位線和使用單位線的問題,這實(shí)際上并不妥當(dāng),理論上也不可取。因?yàn)橄嗤涤炅康谋┯?空間分布是不盡相同的,再者暴雨中心位置的量化也是一件十分困難的事。為了滿足使用單位線的條件,筆者認(rèn)為不應(yīng)是按暴雨中心位置給出單位線,而是應(yīng)對使用單位線的流域面積大小進(jìn)行限制,采用劃分單元流域或子流域的方法,使凈雨在單元流域或子流域上的空間分布盡可能均勻。

瞬時單位線概念的建立是單位線在理論上的重大提升。由于瞬時單位線不受時段長短的影響,它必然綜合反映了流域匯流特性,主要考慮了下墊面條件及其空間分布對流域匯流的影響。從物理學(xué)和概率論所作的揭示表明,流域瞬時單位線實(shí)質(zhì)上就是均勻分布降落在流域上的無窮個凈雨水滴匯集至流域出口斷面所形成的時間-面積曲線或匯流時間概率密度,首先對此作出貢獻(xiàn)的水文學(xué)家是Rodriguez-Iturbe[10],他原本學(xué)習(xí)理論物理,在攻讀博士學(xué)位時毅然選擇了水文學(xué)。所以,單位線理論的提升是水文學(xué)中通過學(xué)科交叉獲得成功的范例之一。

單位線法與等流時線法是差不多同時代展現(xiàn)在世人面前、可用于處理流域匯流的兩個方法。表面上看它們似存在差別,但深究起來卻發(fā)現(xiàn)兩者本質(zhì)上是一致的。如果在單位線的物理學(xué)解釋上,假設(shè)水滴的運(yùn)動速度為常數(shù),那么等流時面積分配曲線就是單位線了。如果將單位線的物理學(xué)解釋植入單位線的系統(tǒng)論解釋,那么單位線的縱坐標(biāo)值就是凈雨空間分布均勻條件下匯流時間處于該時段內(nèi)的水滴占全部水滴的比重,也即水滴運(yùn)動速度相同情況下與該時段相應(yīng)的等流時面積占全流域面積之比重。可見,在一定條件下,單位線法與等流時線法是可以互相轉(zhuǎn)換的。這就不難發(fā)現(xiàn)人們早先對這兩個方法優(yōu)缺點(diǎn)評論的物理本質(zhì)了。之所以單位線法的優(yōu)點(diǎn)是考慮了流域調(diào)蓄作用,而缺點(diǎn)是只適用于降雨空間分布均勻的情況,就是因?yàn)樗轻槍α饔蛘w,而不必限定水滴運(yùn)動速度相同。之所以等流時線法的優(yōu)點(diǎn)是能適應(yīng)降雨空間分布不均勻的情況,而缺點(diǎn)是不能考慮由于水滴運(yùn)動速度不同而導(dǎo)致的流域調(diào)蓄作用,就是因?yàn)樗笏芜\(yùn)動速度相同,但不必將流域作為一個整體。筆者提出的“基于網(wǎng)格水滴流域匯流計算方法”[18]就是一種吸取單位線法和等流時線法之優(yōu)點(diǎn),同時又能排除兩者之缺點(diǎn)的匯流計算方法。

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