勻速直線運(yùn)動模糊圖像復(fù)原的改進(jìn)算法

閆永存，楊燕翔，黃小莉，朱曉虹

（西華大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610039）

運(yùn)動模糊圖像是由于攝像設(shè)備和對象在曝光瞬間存在相對運(yùn)動而形成的，運(yùn)動模糊恢復(fù)就是利用運(yùn)動模糊退化的某種先驗(yàn)知識來重建或恢復(fù)原有圖像，它是圖像恢復(fù)中的重要課題之一，可廣泛應(yīng)用于天文、交通、醫(yī)學(xué)圖像、軍事及公安刑偵等領(lǐng)域。運(yùn)動模糊圖像的復(fù)原是圖像復(fù)原中較常見和較難的一類，也是目前的研究熱點(diǎn)之一。任何變速的、非直線運(yùn)動在某些條件下可以被分解為分段勻速直線運(yùn)動，因此勻速直線運(yùn)動模糊復(fù)原問題具有一般性和普遍性，此類圖像復(fù)原的關(guān)鍵在于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的確定，在實(shí)際中造成圖像模糊的原因往往是未知的，因此運(yùn)動參數(shù)的精確估計是復(fù)原此類圖像的關(guān)鍵和前提，學(xué)者們也提出了一些方法，如：Cannon等[1]利用勻速直線運(yùn)動模糊圖像的方向與其頻域上的零值條紋方向垂直這一特點(diǎn)，估計出運(yùn)動方向和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)尺度；陳前榮等[2]利用方向微分的特點(diǎn)以及雙線性插值的方法自動鑒別運(yùn)動模糊方向；賀衛(wèi)國等[3]從理論上分析了模糊距離的頻譜特點(diǎn)，并對模糊尺度提出了精確估計的方法，但沒有涉及模糊方向的估計。

文中在原有算法基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，并以sadhna圖像為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了該算法可以達(dá)到精確估計點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，改善復(fù)原效果、抑制振鈴效應(yīng)的目的。

1 圖像退化模型及復(fù)原原理

假設(shè) g（x，y）代表一幅退化圖像，f（x，y）為原圖像，h（x，y）為退化的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，n（x，y）為加性噪聲，則f?（x，y）為復(fù)原之后的圖像，退化模型及復(fù)原過程可以用圖1來描述。

圖1 模糊圖像的一般退化模型及復(fù)原處理模型Fig.1 The model of blurred images deterioration and restoration

目前，圖像復(fù)原的方法有逆濾波、維納濾波、有約束最小平方、最小二乘方濾波等，其中維納濾波是一種最早、也很常用的線性圖像復(fù)原方法，由于其復(fù)原效果良好，計算量較低，并且抗噪性能優(yōu)良，在圖像復(fù)原領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用并不斷得到改進(jìn)發(fā)展，故本文選用維納濾波進(jìn)行圖像復(fù)原。該方法的目標(biāo)是尋找一個估計值使得誤差函數(shù) e2=E{（ f-2}最小。該表達(dá)式在頻域表示為：

可見，用維納濾波實(shí)現(xiàn)運(yùn)動模糊圖像的復(fù)原實(shí)質(zhì)上就是求取退化函數(shù)H（u，v）和K值（信噪比）的過程，其取值的準(zhǔn)確性將直接影響復(fù)原效果。通常K值可手工調(diào)節(jié)，因此對于點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)未知的運(yùn)動模糊問題，估計點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)就成為圖像恢復(fù)過程中的重要步驟。

2 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的確定

對于勻速直線運(yùn)動模糊圖像，其點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)可描述為：

其中d為運(yùn)動模糊長度，θ為運(yùn)動模糊方向與水平方向角度。

對于二維的運(yùn)動模糊點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，很顯然存在兩個參數(shù)：運(yùn)動模糊方向和模糊尺度。準(zhǔn)確地估計出運(yùn)動模糊方向，就可以通過圖像旋轉(zhuǎn)，將運(yùn)動模糊方向旋轉(zhuǎn)到水平軸方向，對應(yīng)的運(yùn)動模糊點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)即由二維變?yōu)橐痪S的，運(yùn)動模糊點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的估計及圖像復(fù)原問題將得到簡化。

3 改進(jìn)的模糊圖像復(fù)原方法

3.1 基于方向微分的運(yùn)動模糊方向鑒別

原始圖像可看作是自相關(guān)及其功率譜是各向同性的一階馬爾科夫過程，運(yùn)動模糊就是減小了運(yùn)動方向上圖像的高頻成分，方向偏離越大影響越小，對于垂直于運(yùn)動方向上圖像的高頻成分沒有影響。因此對模糊圖像進(jìn)行方向性的高通濾波（方向微分），得到圖像灰度值（絕對值）之和最小時對應(yīng)的方向即為運(yùn)動模糊方向。方向微分示意圖如圖2所示。

圖2 方向微分示意圖Fig.2 Direction derivation

對運(yùn)動模糊圖像g（i，j）進(jìn)行方向微分（微元大小為 Δr，方向角為α），得到微分圖像為：

3.2 基于微分圖像的自相關(guān)函數(shù)鑒別模糊尺度

模糊帶內(nèi)相近的像素點(diǎn)灰度值形成了低頻區(qū)域，所以模糊像素軌跡內(nèi)部的像素值更加相關(guān)。而求沿運(yùn)動方向微分后圖像的自相關(guān)函數(shù)可以得到一個對稱圖像，圖中有一個中心峰值和對稱分布在峰值兩邊的負(fù)峰，負(fù)峰與中心正峰之間的距離就是模糊尺度[4]。自相關(guān)函數(shù)公式如下：

M為圖像列數(shù)，N為圖像行數(shù)。為了有效抑制噪聲，通常把每行的自相關(guān)函數(shù)在列方向求和取平均，即：

計算流程如下：

2）計算g′（i，j）水平方向自相關(guān)s（i，j），s（i，j）的每行都包含一對共軛相關(guān)峰，對稱分布在零頻尖峰兩側(cè)；

3）將s（i，j）在列方向相加求和，得到一行數(shù)據(jù)Sadd（·），求和可以有效抑制噪聲，突出負(fù)相關(guān)峰；

用上述方法求出圖像的運(yùn)動模糊角度和模糊方向，并將其數(shù)據(jù)代入公式（2），即可得到點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h（x，y）。

3.3 維納濾波與直方圖均衡相結(jié)合的改進(jìn)算法

維納濾波在抗噪性能方面效果較好，但不能完全將噪聲濾除，圖像的復(fù)原效果因此會受到影響，故文中采用維納濾波結(jié)合直方圖均衡法對圖像進(jìn)行復(fù)原。

直方圖均衡的基本思想是對原始圖像中的像素灰度做某種映射變換，使變換后的圖像是灰度級均勻分布的，從而提高圖像的對比度。為了研究方便，用r和s分別表示歸一化了的原始圖像灰度和變換后的圖像灰度。 即：0≤r≤1，0≤s≤1（0代表黑， 1 代表白）。 在[0，1]內(nèi)s=T（t），T（r）為變換函數(shù)，為使其具有實(shí)際意義，T（r）應(yīng)滿足下列條件：

1）在 0≤r≤1 區(qū)間，T（r）為單調(diào)遞增函數(shù)；

2）在 0≤r≤1 區(qū)間，有 0≤T（r）≤1。

由概率論知，若圖像灰度級的概率密度函數(shù)Pr（r）和變換函數(shù)T（r）已知，且T-1（s）是單調(diào)遞增函數(shù)，則變換后圖像灰度級的概率密度函數(shù)Ps（s）如下式所示：

對于連續(xù)圖像，當(dāng)直方圖均衡化（并歸一化）后有Ps（s）=1，即：

式（8）就是所求的變換函數(shù)。

對于離散圖像，假定數(shù)字圖像中的總像素為N，灰度級總數(shù)為L，第k個灰度級的值為rk，圖像中具有灰度級rk的像素數(shù)目為nk，則該圖像中灰度級rk的像素出現(xiàn)的概率為：

對其進(jìn)行均勻化處理的變換函數(shù)為：

利用式（10）對圖像做灰度變換，即可得到直方圖均衡化后的圖像。

該方法可以將濾除高頻噪聲，提高有用信號的幅度，增加對比度，同時縮小疊加噪聲信號的動態(tài)范圍，抑制振鈴效應(yīng)有效的結(jié)合起來，高文碩等[5]證明了這一點(diǎn)。但不能完全去除振鈴效應(yīng)，因此文中在濾波前用最優(yōu)窗法對圖像進(jìn)行處理。

3.4 最優(yōu)窗法

在恢復(fù)圖像過程中，由于圖像邊緣的像素沒有足夠的相鄰像素可以利用，所以會導(dǎo)致恢復(fù)圖像的邊緣變差，并且整幅圖像有明暗相間的條紋，即振鈴效應(yīng)。為了解決這個問題，早期學(xué)者常采用邊界修正法，但效果不夠令人滿意。Aghdasi[6]在1996年提出循環(huán)邊界法，其缺點(diǎn)是圖像尺寸變?yōu)樵瓉淼?倍，運(yùn)算量增加很多?；谘h(huán)邊界法的缺點(diǎn)，Limetal提出了對二維模糊圖像[7]進(jìn)行恢復(fù)的最優(yōu)窗法。其具體實(shí)施過程為：恢復(fù)窗將圖像平面分成9個區(qū)域，每個區(qū)域編號如圖3所示。 標(biāo)號為 9 的中央?yún)^(qū)域

區(qū)域 1、8、7 的縱坐標(biāo)取值范圍為[0，PSFV-2]，區(qū)域 2、6、9的縱坐標(biāo)取值范圍為[PSFV-1，VL-PSFV]，區(qū)域 3、4、5 的縱坐標(biāo)取值范圍為[VL-PSFV+1，VL-1]；在水平方向上，區(qū)域 l、2、3 的橫坐標(biāo)取值范圍 [0，PSFV-2]，區(qū)域4、8、9的橫坐標(biāo)取值范圍為[PSFH-1，VL-PSFH]，區(qū)域 5、6、7 的橫坐標(biāo)取值范圍為[VL-PSFV+1，VL-1]。在圖3中，每一個區(qū)域都有各自獨(dú)立的邊界，即各個子窗區(qū)域的尺寸不一定相同。

最優(yōu)窗計算公式為：

圖3 最優(yōu)窗法區(qū)域分布圖Fig.3 Areal distribution of optimal window method

最優(yōu)窗對模糊圖像的邊界進(jìn)行加權(quán)處理，以致像素值向外逐步過渡到零，其目的是待處理圖像的邊界結(jié)合處不會出現(xiàn)灰度值的跳變，振鈴效應(yīng)因此得到抑制。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

文中通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)算法的可行性和有效性，以sadhna模糊圖像的復(fù)原為例，圖4（a）是原始圖像，對其進(jìn)行模糊加噪運(yùn)算，模糊角度為53°，模糊長度為45，高斯噪聲為0.01。圖4（b）是降質(zhì)后的模糊圖像，采用本文算法估計出的模糊方向?yàn)?1°，模糊長度為 46，圖4（c）是普通維納濾波復(fù)原圖像，圖4（d）是人工調(diào)整參數(shù)為真實(shí)值的復(fù)原結(jié)果。利用本文的改進(jìn)算法得到的復(fù)原結(jié)果如圖4（e）所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 運(yùn)動模糊圖像及復(fù)原結(jié)果Fig.4 Motion blurred images and results of restoration

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，方向微分法可以很大程度地提高模糊角度的估計準(zhǔn)確性，利用自相關(guān)函數(shù)負(fù)尖峰值可以較準(zhǔn)確地鑒別出模糊長度，從而可以提高圖像還原質(zhì)量。最優(yōu)窗法對振鈴效應(yīng)可以有較好的抑制作用，最后得到了復(fù)原效果較為理想的圖像。

5 結(jié)束語

文中對運(yùn)動模糊圖像的退化模型、維納濾波復(fù)原原理、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的求取過程進(jìn)行了詳細(xì)闡述，提出了一種改進(jìn)的模糊圖像復(fù)原算法，并對振鈴效應(yīng)進(jìn)行處理，以sadhna圖像的復(fù)原為例進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明，文中方法可以較準(zhǔn)確地估計出運(yùn)動模糊參數(shù)，并且提高了運(yùn)算速度，振鈴效應(yīng)得到有效抑制。

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