孤子精確求解方法淺論

新鄉(xiāng)學院物理系 陳澤章

在線性理論日臻完善的今天，非線性科學已經(jīng)成為了各個研究領(lǐng)域的研究焦點[1]。在非線性科學中，孤立子理論有著非常重要的位置。它在量子場論、粒子物理、凝聚態(tài)物理、流體物理、等離子體物理和非線性光學等物理學的各個分支及數(shù)學、生物學、化學，通信等各自然科學領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，也極大地促進了一些相關(guān)數(shù)學理論的發(fā)展，因此引起了科研者對可積系統(tǒng)研究的極大興趣。

1.孤立波和孤立子

1834年，從愛丁堡到格拉斯哥的運河里一只正在行駛的船突然停止了前進，這時英國科學家Russell恰好觀察到運河中被船推動的水并沒有停止，反而以洶涌翻騰的狀態(tài)聚集在船頭，接著便以巨大的速度滾滾向前，且保持著巨大的輪廓分明的光順孤立的峰狀外形。他騎著馬跟蹤了一至兩英里，在運河的拐彎處，這種孤立行進的水峰才終于消失。Russell認識到這種水波現(xiàn)象是具有關(guān)鍵性質(zhì)的新現(xiàn)象、新事物，隨后進行了更加細致的研究，在實驗室作了很多實驗，用多種方法激發(fā)，也觀察到了同樣的現(xiàn)象。他稱這種波為孤立波(Solitary wavc)。然而由于受限于當時的數(shù)學理論和科學水平，Russell未能從流體力學出發(fā)給孤立波以合理的理論解釋。

直到1895年，兩位荷蘭科學家科學家Kortweg與de Vries用一波動方程對孤立波現(xiàn)象進行完整的理論分析后，在長波近似和小振幅的假定下，建立了單向運動淺水波的非線性淺水波方程，即著名的KdV方程:

他們從方程中求出了與Russell描述一致的，即具有形狀不變的脈沖狀的孤立波解，從而在理論上證明了孤立波解的存在，孤立波的形成原因才得到了合理的理論解釋[2]。然而，這種波是否穩(wěn)定，兩個波碰撞后是否變形？這些問題卻長期沒有得到解答。以至于有些人懷疑，既然方程(1)是非線性偏微分方程，解的疊加原理不再成立，碰撞后解的形狀很可能破壞。持這種觀點的人認為這種波不穩(wěn)定，因而研究它沒有什么物理意義，于是關(guān)于孤立波現(xiàn)象的研究與KdV方程又被默默地遺忘了幾十年。

直到1955年，在美國阿爾莫斯國家實驗室，著名物理學家費米(E.Fermi)、帕斯塔(J.Pasta)和烏萊姆（U.Slam）發(fā)現(xiàn)在流體力學以外的其他的物理領(lǐng)域中也存在象Rusell描述的這種孤立波，才又掀起了這一領(lǐng)域研究熱潮。

為了從數(shù)值實驗上驗證統(tǒng)計力學中的能量均分定理，他們數(shù)值計算了用非線性彈簧聯(lián)結(jié)的64個質(zhì)點組成的弦的振動。按照能量均分原理，如果只對少數(shù)質(zhì)點進行激發(fā)，由于弱的非線性相互作用，經(jīng)長時間以后，初始的激發(fā)能量應(yīng)有漲落地均衡的分布到每個質(zhì)點。然而計算結(jié)果卻大大出乎人的意料，長時間以后能量幾乎全部回到了初始集中在少數(shù)質(zhì)點上的狀態(tài)。這個結(jié)果預(yù)示著這個非線性系統(tǒng)可以出現(xiàn)孤立波。這就是著名的FPU問題。隨后1965年，美國數(shù)學家采布斯基(Zabusky)與克魯思卡爾(Kruskal)，從連續(xù)統(tǒng)一體的觀點來考慮把FPU的非線性振子系統(tǒng)的能量不均分問題與KdV方程聯(lián)系了起來。他們還是采用數(shù)值模擬的方法，對KdV方程兩個波速不同的孤波解進行了研究。設(shè)有同向行進的兩個孤立波，波幅較高在后的孤立波，逐漸趕上前面幅度較低的孤立波，令人驚奇的是兩個孤立波相遇后并沒有湮沒，反而很好地分離開來并且仍然保持著各自原來的形狀和速度繼續(xù)前進。這說明孤立波不僅非常的穩(wěn)定而且還具有類似粒子碰撞的不變性質(zhì)。據(jù)此Kruskal和Zabusky便引入了“孤立子(Soliton)”概念來描述一個非線性方程或非線性體系的任意解，著此解滿足：①可表示成一個固定形式的波；②是局部的、衰變的或在無窮大時變?yōu)槌?shù)；③可與其它的孤子進行強烈的相互作用，在相互作用后即使疊加原理成立其形式亦不會改變。此后人們發(fā)現(xiàn)，KdV方程在許多物理體系中都存在，并且除KdV方程外，其它的一些偏微分方程也有孤立波解，進一步說明孤立波是一種普遍存在的物理現(xiàn)象。

2.孤子精確解求解方法

到目前為止，我們可以常見的幾種典型孤波方程包括KdV方程、Sine-Gordon(SG)方程、Nonlinear-SchrSdinger(NLS)方程以及這些方程的各種修正形式。其中，KdV方程主要應(yīng)用于淺水波中的表面波、等離子體中的電磁波與聲波、非簡諧的晶格振動等物理領(lǐng)域。SG方程主要應(yīng)用于晶格位錯的傳播、鐵磁體中疇壁的運動、超導約瑟夫森結(jié)等領(lǐng)域．NLS方程主要應(yīng)用在深水中的非線性波、電介質(zhì)中強激光的自聚焦、超導等領(lǐng)域[3]。

孤立子理論的基礎(chǔ)便是求解上述各種非線性偏微分方程。近年來，非線性數(shù)學物理領(lǐng)域取得了很大的成就，其中之一就是發(fā)展了求非線性方程精確解，特別是精確孤子解的各種有效方法。接下來我們便以KdV方程(1)為例，簡要介紹幾種孤子精確求解的方法。

2.1 逆散射變換(inverse sacttering transformation)方法

這種方法被人們廣泛用來求解各類非線性系統(tǒng)的問題。其主要思路如下：首先對某個非線性偏微分方程引入一對相容的線性方程(又稱Lax方程)

其中方程(2)是L的本征值方程，λ和 Ψ =Ψ ( x, t,λ)分別是L的本征值和本征函數(shù)。如果λ獨立于時間t，相應(yīng)的一對線性算子L和M(Lax對)滿足的相容條件為:

然后求解與Lax方程(2)和(3)相對應(yīng)的逆散射問題，得到含有散射數(shù)據(jù)的逆散射方程。在無反射條件下，由方程的約斯特(Jost)解獲得孤子解．對于KDV方程(1)，Lax對被選為

不同的非線性方程有不同的Lax對，它們滿足的相容性條件是相應(yīng)非線性方程的等價形式。這種方法在數(shù)學上具有很高的嚴性謹。將它用于許多非線性方程，都可得到單孤子、雙孤子和多孤子解，是較經(jīng)典的孤子理論之一。然而，這種方法思路較迂回曲折，且Lax對本身就很難求得，尋找方法并無規(guī)律可循。

2.2 Hirota方法．

Hirota方法的關(guān)鍵在于引進雙線性算子(bilinear operator)，將非線性方程簡化為雙線性形式，然后結(jié)合其它簡單變換就可得到孤子解．例如，對KdV方程(1)引入合適的因變量變換將其帶到方程(1)，就得到相應(yīng)的雙線性方程

其中雙線性算子被定義為

只要將φ按小量ε的冪級數(shù)展開，逐一求解各級方程，得到φ的級數(shù)解后，再代回(2.12)就可獲得孤子解。Hirota方法思路清晰，數(shù)學方法相對簡單，迄今為止，它已用于很多釋非線性方程，獲得各種孤子解，甚至包括一些特殊的孤子解。

這種方法是在尋找更多的非線性方程解的過程中發(fā)展來的．它主要包含兩個方面的變換：不同方程之間的變換和同一方程不同解之間的變換。前者的關(guān)鍵是要找到非線性方程與相應(yīng)的線性方程的backlund˙變換方程，再由已知線性方程的解求非線性方程的解；后者的關(guān)鍵是尋找非線性方程的兩個解之間的backlund˙變換方程，由其中已知的解求未知的解。對于KdV方程(1)，令xvψ=可將KdV方程化為：

若0v和v均是它的解，則可得到相應(yīng)的backlund˙變換為：

[1]王明亮.非線性發(fā)展方程和孤立子[M].蘭州:蘭州大學出版社,1982.

[2]俞慧友.孤子理論及其在玻色愛因斯坦凝聚中的應(yīng)用[D].長沙:湖南師范大學,2009．

[3]李彪.孤立子理論中若干精確求解方法的研究及應(yīng)用[D].大連:大連理工大學,2004．