一類半環(huán)上的行列式保持問題研究

馬曉峰，孟麗娜，張連忠

（1.黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱150050；2.黑龍江科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱150022）

1 引言與預(yù)備知識

線性保持問題主要是刻畫保持一些不變量的線性算子的形式，行列式是矩陣理論及其應(yīng)用中非常重要的不變量之一[1－5]。然而半環(huán)上矩陣的行列式不能像域和交換環(huán)上那樣去定義，即使是非負交換整半環(huán)也不行，主要原因是半環(huán)中沒有加法逆元，因此，考慮用雙行列式替換行列式。2007年，Beasley等在非負交換整半環(huán)上刻畫了保持雙行列式的線性變換[6]，本文將保持雙行列式的條件減弱，在非負交換整半環(huán)上分別刻畫了保持正行列式、負行列式、積和式的線性變換形式。

一個半環(huán)R稱為非負的，若?a，b∈R，由a＋b＝0可推出a＝b＝0；R稱為交換的，若?a，b∈R均有ab＝ba；R稱為整半環(huán)，若?a，b∈R，由ab＝0可推出a＝0或b＝0；本文中，R都表示非負交換整半環(huán)。

用Mn（R）表示R上所有n×n矩陣組成之集，那么可證明Mn（R）對于通常的矩陣加法與乘法構(gòu)成一個半環(huán)，稱Mn（R）為R上所有n×n矩陣構(gòu)成的矩陣半環(huán)。對于任意的矩陣A∈Mn（R），用aij或Aij表示A中第i行第j列交叉處的元素，At表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，I表示n×n單位矩陣，J表示所有元素都是1的n×n矩陣，Eij表示（i，j）位置是1其余位置是0的n×n矩陣，Eij稱為矩陣單元，αEij（α∈R）稱為加權(quán)矩陣單元。記

定義1.1[7]設(shè) A＝（aij）∈Mn（R），規(guī)定｜A為 A 的 正 行 列 式，為 A 的 負 行 列 式，bidet A＝（｜A｜＋，｜A｜－）為A 的雙行列式，其中Sn表示集合｛1，2，…，n｝上的n階對稱群，An表示n 階交錯群。

顯然，per（A）＝｜A｜＋＋｜A｜－。

定義1.2[6]變換T：Mn（R）→Mn（R）稱為（P，Q，B）算子，如果存在置換矩陣P，Q∈Mn（R）和矩陣B＝（bij）∈Mn（R），其中bij∈R 可逆，?（i，j）∈，使得T（X）＝P（X?B）Q，?X∈Mn（R）或者T（X）＝P（X?B）tQ，?X∈Mn（R）。

定理1.3[6]若 T：Mn（R）→Mn（R）是一個線性變換，則下列條件等價：

1）T雙射；

2）T滿射；

3）存在置換σ∈Sn2，可逆元bij∈R，?（i，j）∈~N，使得T（Eij）＝bijEσ（i，j），?（i，j）∈~N，其中：~N＝｛（i，j）｜1≤i，j≤n｝。

2 正行列式保持

令T是Mn（R）到其自身的線性變換，若T滿足｜T（X）｜＋＝｜X｜＋，?X∈Mn（R），稱T 為Mn（R）上保持正行列式的線性變換。本節(jié)刻畫了n≥4時，Mn（R）上保持正行列式的線性滿射形式。

引理2.1 n≥4時，若T：Mn（R）→Mn（R）是線性變換，T（Eij）＝bijEσ（i，j），?（i，j）∈~N，其中：σ是集合上一置換，bij∈R 可逆，?（i，j）∈~N，｜T（X）｜＋＝｜X｜＋，?X∈Mn（R），那么T是（P，Q，B）算子。

證明：第一步：對任意i（1≤i≤n），存在某一指標(biāo)l（1≤l≤n）和置換τi∈Sn，使得σ（i，j）＝（l，τi（j）），?j（1≤j≤n）成立或者σ（i，j）＝（τi（j），l），?j（1≤j≤n）成立。若不然，則存在指標(biāo)i，j，k，j≠k，使得T（Eij）和T（Eik）的非零元既不在一行，也不在一列。當(dāng)n≥4時，可找到n－2個矩陣單元Ei1，j1，…，Ein－2，jn－2使 得T（Eik）＋Ei1，j1＋…＋Ein－2，jn－2是一置換矩陣，且｜A｜＋＝1，由定理1.3可知T 可逆，于是T－1（A）＝＋＋T－1（Ei1，j1）＋…＋T－1（Ein－2，jn－2），矩陣T－1（A）有非零元和在同一行，T－1（Eil，jl）僅有一個非零元素，?l＝1，2，…，n－2，這樣T－1（A）有一零行，因此，｜T－1（A）｜＋＝0，與T 保持正行列式矛盾。

第二步：根據(jù)第一步的結(jié)論，對任意i（1≤i≤n），存在指標(biāo)li（1≤li≤n）和置換τi∈Sn，使得σ（i，j）＝（li，τi（j））對所有j（j＝1，2，…，n）成立，或者σ（i，j）＝（τi（j），li）對所有j（j＝1，2，…，n）成立。

類似地，對任意j（1≤j≤n），存在指標(biāo)kj（1≤kj≤n）和置換δj∈Sn，使得σ（i，j）＝（δj（i），kj）對所有i（i＝1，2，…，n）成立，或者σ（i，j）＝（kj，δj（i））對所有i（i＝1，2，…，n）成立。

這樣，對于所有i，j＝1，2，…，n存在某指標(biāo)k，l使得T（Ci）和T（Rj）等于Cl?B 或者Rk?B。

由于σ是雙射，故對所有的（i，j）∈~N，有σ（i，j）＝（li，τi（j））＝（δj（i），kj）成立或者對所有的（i，j）∈~N，σ（i，j）＝（τi（j），li）＝（kj，δj（i））成立。

第四步：證明τ1＝…＝τn，δ1＝…＝δn。

不失一般性，假設(shè)σ（i，j）＝（li，τi（j））＝（δj（i），kj）成立（σ（i，j）＝（τi（j），li）＝（kj，δj（i））類似可證）。那么對于任意i1、i2、j，有σ（i1，j）＝ （li1，τi1（j））＝（δj（i1），kj），σ（i2，j）＝ （li2，τi2（j））＝（δj（i2），kj），也就是對于所有i1、i2、j，有τi1（j）＝τi2（j）＝kj，因此，τ1＝…＝τn，記作τ＝τi，1≤i≤n。

類似可證明δ1＝…＝δn，記作δ＝δi，1≤i≤n。

第五步：由上面證明可知對所有的（i，j）∈~N，σ（i，j）＝（δ（i），τ（j））成立或者對所有的（i，j）∈~N，σ（i，j）＝（τ（j），δ（i））成立，這樣存在置換矩陣 P、Q∈Mn（R）使得T（X）＝P（X?B）Q，?X∈Mn（R）或者T（X）＝P（X?B）tQ，?X∈Mn（R），即T 是（P，Q，B）算子。

定理2.2 n≥4時，若T：Mn（R）→Mn（R）是線性滿射，則｜T（X）｜＋＝｜X｜＋，?X∈Mn（R）的充分必要條件是：T是（P，Q，B）算子，這里P，Q同奇偶，矩陣B 滿足b1σ（1）…bnσ（n）＝1，?σ∈An。進一步，P、Q由T唯一確定。

證明：充分性顯然，下面只需證明必要性。

由定理1.3和引理2.1可知T 是（P，Q，B）算子。首先證明置換矩陣P、Q或者都是奇置換矩陣或者都是偶置換矩陣，即同奇偶。因為｜I｜＋＝1，這樣有

因為P、Q都是置換矩陣，所以｜PQ｜＋＝1，故P、Q同奇偶。

又因為｜T（X）｜＋＝｜P（X?B）Q｜＋＝｜X?B｜＋＝｜X｜＋，?X∈Mn（R），所以當(dāng)X 取遍所有的偶置換矩陣時，代入式（1）可得b1σ（1）…bnσ（n）＝1?σ∈An。

下面證P、Q的唯一性，分為三種情況：

1）假設(shè)對任意矩陣X∈Mn（R），存在某置換矩陣P、Q、P′、Q′∈Mn（R）和矩陣B＝（bij）∈Mn（R），其中bij∈R 可逆，?（i，j）∈~N，使得P（X?B）Q＝P′（X?B）Q′，那么（P′）－1P（X?B）＝（X?B）Q′Q－1，?X∈Mn（R），當(dāng)X?B＝I時，（P′）－1P＝Q′Q－1，記作F。那么有F（X?B）＝（X?B）F，?X∈Mn（R），因此，可以得到F是一個具有可逆對角元的數(shù)量矩陣。又由于F＝（P′）－1P＝Q′Q－1，其中P、P′、Q、Q′∈Mn（R）是置換矩陣，所以F＝I，故P＝P′，Q＝Q′，即P、Q是唯一的。

依據(jù)分級考試的結(jié)果,研究對象為河南某高校非英語專業(yè)2016級學(xué)生,他們是同一個院系的同一級別的四個班級A,B,C,D。其中A班和B班為實驗班,C班和D班為控制班(具體人數(shù)見下頁,表1)。根據(jù)《歐洲語言共同參考框架》中對學(xué)習(xí)者英語能力的界定標(biāo)準(zhǔn),所選研究對象符合POA理論對研究對象的要求。

2）對任意矩陣X∈Mn（R），情形P（X?B）tQ＝P′（X?B）tQ′可類似證明。

3）對任意矩陣X∈Mn（R），情形P（X?B）Q＝P′（X?B）tQ′是不可能的。因為不存在非零矩陣F使得F（X?B）＝（X?B）tF，?X∈Mn（R）。

3 負行列式保持

令T是Mn（R）到其自身的線性變換，若T滿足｜T（X）｜－＝｜X｜－，?X∈Mn（R），稱T 為Mn（R）上保持負行列式的線性變換。本節(jié)刻畫了n≥4時，Mn（R）上保持負行列式的線性滿射形式。

引理3.1 n≥4時，若T：Mn（R）→Mn（R）是線性變換，T（Eij）＝bijEσ（i，j），?（i，j）∈~N，其中σ是集合上一置換，bij∈R 可逆，?（i，j）∈~N，｜T（X）｜－＝｜X｜－，?X∈Mn（R），那么T是（P，Q，B）算子。

證明：和引理2.1類似，略。

定理3.2 n≥4時，若T：Mn（R）→Mn（R）是線性滿射，則｜T（X）｜－＝｜X｜－，?X∈Mn（R）的充分必要條件是：T是（P，Q，B）算子，這里P、Q同奇偶，矩陣B 滿足b1σ（1）…bnσ（n）＝1，?σ∈Sn／An。進一步，P，Q由T唯一確定。

證明：和定理2.2類似，略。

4 積和式保持

引理4.1 n≥2時，若T：Mn（R）→Mn（R）是線性變換，T（Eij）＝bijEσ（i，j），?（i，j）∈~N，其中σ是集合上一置換，bij∈R 可逆，?（i，j）∈~N，per（T（X））＝per（X），?X∈Mn（R），那么T 是（P，Q，B）算子。

證明：第一步：證明對任意i（1≤i≤n），存在某一指標(biāo)l（1≤l≤n）和置換τi∈Sn使得σ（i，j）＝（l，τi（j）），?j（1≤j≤n）成立或者σ（i，j）＝（τi（j），l），?j（1≤j≤n）成立。若不然，則存在指標(biāo)i，j，k，j≠k，使得T（Eij）和T（Eik）的非零元既不在一行，也不在一列。當(dāng)n≥2時，可找到n－2個矩陣單元Ei1，j1，…，Ein－2，jn－2使得Ei1，j1＋…＋Ein－2，jn－2是一置換矩陣，那么per（A）＝1，由定理1.3可知T 可逆，于是T－1（A）＝b－1ijEij＋＋T－1（Ei1，j1）＋ … ＋T－1（Ein－2，jn－2），矩 陣T－1（A）有非零元和在同一行，T－1（Eil，jl）僅有一個非零元素，?l＝1，2，…，n－2，這樣T－1（A）有一零行，因此，per（T－1（A））＝0，與T 保持積和式矛盾。

其余的證明和引理2.1類似，可以證得T是（P，Q，B）算子。

定理4.2 n≥2時，若T：Mn（R）→Mn（R）是線性滿射，則per（T（X））＝per（X），?X∈Mn（R）的充分必要條件是：T是（P，Q，B）算子，這里矩陣B滿足b1σ（1）…bnσ（n）＝1，?σ∈Sn。進一步，P，Q 由T唯一確定。

證明：充分性顯然，下面證明必要性。

由定理1.3和引理4.1可知，T 是（P，Q，B）算子。

因為per（T（X））＝per（P（X?B）Q）＝per（X?B）＝per（X），?X∈Mn（R），所以當(dāng)X取遍所有的置換矩陣時，代入上式可得b1σ（1）…bnσ（n）＝1，?σ∈Sn。

P，Q唯一性的證明與定理2.2類似。

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