Mathieu方程與束流冷卻對(duì)同步運(yùn)動(dòng)的影響

羅曉華 何為

(1.重慶交通大學(xué) 圖書館，重慶 400074;2.重慶大學(xué) 電氣工程學(xué)院，重慶 400044)

其中e是電子電荷，h是諧波數(shù)，V是加速電壓，E是同步粒子能量，β=v/c是粒子無量綱速度。不失一般性，考慮φs=0的穩(wěn)態(tài) (stationary state)情形。當(dāng)φs=0時(shí)，方程 (1)退化為

1944年，蘇聯(lián)物理學(xué)家維克斯勒 (次年，麥克米蘭)發(fā)現(xiàn)，在高頻電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子具有保持相位穩(wěn)定的能力，并指出適當(dāng)選擇同步相位，即可實(shí)現(xiàn)非同步粒子的能量補(bǔ)償。從此，加速器的能量上限實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的突破，質(zhì)子能量從當(dāng)初的107eV量級(jí)提升到當(dāng)今的1013eV量級(jí)。遺憾的是束流能量和束流強(qiáng)度不能兼得。正是這對(duì)矛盾激勵(lì)著人們不斷對(duì)加速器技術(shù)進(jìn)行探索，并取得了一個(gè)又一個(gè)的突破，儲(chǔ)存環(huán)技術(shù)和束流冷卻技術(shù)便是典型的例子。直到今天，加速器的束流動(dòng)力學(xué)問題依然是人們關(guān)注的重要問題之一［1－14］。本文關(guān)心的正是束流冷卻對(duì)同步運(yùn)動(dòng)的影響。值得注意的是，隨著人們認(rèn)識(shí)能力的不斷提高，先后認(rèn)識(shí)了束流動(dòng)力學(xué)的線性、非線性和復(fù)雜性，而本文就試圖利用Mathieu方程的穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū) (禁帶)來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，在經(jīng)典力學(xué)框架內(nèi)，把周期冷卻的同步運(yùn)動(dòng)方程化為Mathieu方程，系統(tǒng)呈現(xiàn)出一系列穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū);對(duì)可能存在的一階不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)行了討論，用攝動(dòng)法導(dǎo)出了它的邊界曲線和禁帶寬度，并討論了禁帶穿越和同步運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，導(dǎo)出了束流冷卻一次諧波振幅的臨界值。

1 運(yùn)動(dòng)方程

束流冷卻通常是在環(huán)形加速器 (比如同步加速器、儲(chǔ)存環(huán)等)的一個(gè)或幾個(gè)直線段上安裝冷卻器來實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)粒子通過冷卻器時(shí)，用一束冷 (發(fā)射度小)的電子同它一道運(yùn)動(dòng)，并將整個(gè)離子束浸泡其中。如果選擇電子的速度與離子速度相等，離子和電子在運(yùn)動(dòng)方向保持同步，同時(shí)它們之間還將通過“熱”運(yùn)動(dòng)彼交換橫向能量，使得比較熱的離子束逐漸變冷。換句話說，由于束流冷卻，離子的Betatron振蕩將逐漸衰減，而同步振蕩也將逐漸衰減。

在理想情況下，如果選擇相位φ和動(dòng)量分散系數(shù)δ為正則坐標(biāo)，θ為獨(dú)立變數(shù)，粒子同步運(yùn)動(dòng)方程可表示為［7，13－14］

其中e是電子電荷，h是諧波數(shù)，V是加速電壓，E是同步粒子能量，β=v/c是粒子無量綱速度。不失一般性，考慮φs=0的穩(wěn)態(tài) (stationary state)情形。當(dāng)φs=0時(shí)，方程 (1)退化為

設(shè)系統(tǒng)的冷卻系數(shù)為μ(θ)，對(duì)于動(dòng)量分散為δ的粒子束，經(jīng)過“長(zhǎng)度”為Δθ的冷卻后，衰減量Δδ可表示為 Δδ= －μ(θ)δΔθ。于是，正則方程 (2)可化為［7］

或

其中

其中ε是小參數(shù)，僅表示伴隨項(xiàng)是O(ε)級(jí)小量。將μ(θ)按Fourier級(jí)數(shù)展開

其中Δθ是冷卻器“長(zhǎng)度”，而η0=Δθ/2π是冷卻器的相對(duì)長(zhǎng)度。令

方程 (5)可進(jìn)一步化為

其中

式中略去了ε2項(xiàng)。這就是只關(guān)心弱冷卻情況，而μ(θ)由式 (6)給出。將式 (6)和 (9)帶入方程(8)，可得粒子同步運(yùn)動(dòng)方程

其中

是由于周期冷卻產(chǎn)生的n次諧波振幅。方程 (10)是一般的Hill方程，它的系數(shù)包含了所有Fourier分量，這個(gè)系統(tǒng)將存在和共振與差共振。但是由于這些組合共振都比較弱，感興趣的是整數(shù)共振或半整數(shù)共振。由式 (10)可得n次諧波激勵(lì)的同步運(yùn)動(dòng)方程為

2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性

作變數(shù)變換

方程 (12)化為

其中參數(shù)

方程 (14)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Mathieu方程。一次項(xiàng)的系數(shù)`是φ的周期函數(shù)。根據(jù)Flogue定理，方程 (14)的解具有如下性質(zhì)

其中d是加速器格子周期，而T是粒子運(yùn)動(dòng)周期。粒子在周期中場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的能量將分裂成帶。事實(shí)上，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與參數(shù) (q，ε)的分布有關(guān)，在參數(shù) (q，ε)平面上，系統(tǒng)出現(xiàn)了一系列穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)。當(dāng)→0時(shí)，如果q＞0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的;q＜0系統(tǒng)不穩(wěn)定。不過，隨著的增加，即使q＜0，系統(tǒng)也可能是穩(wěn)定的。由于方程 (14)包含振動(dòng)部分cos 2φ，在q＞0的右半平面內(nèi)出現(xiàn)了一系列穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)。當(dāng)→0時(shí)，這些不穩(wěn)定區(qū)退化為一點(diǎn)，且全都落在ε=0的橫軸上，這些點(diǎn)由方程

給出，并分別稱為一階、二階、三階等不穩(wěn)定區(qū)。對(duì)于一次諧波 (n=1)激勵(lì)，由式 (15)，(16)可知，這些不穩(wěn)定區(qū)對(duì)應(yīng)于νs=1/2，1，3/2，…，共振。這就是說，由于束流冷卻將激發(fā)出不同階次的整數(shù)共振或半整數(shù)共振。圖1給出了數(shù)值結(jié)果。一般說來，在參數(shù) (q，ε)平面上，這種穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)有無限多個(gè)。對(duì)于具體情況只有一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)起作用。下面對(duì)一階不穩(wěn)定區(qū)(νs=1/2)做進(jìn)一步分析。

圖1 Mathieu方程的穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū) (陰影區(qū)域)

3 Mathieu方程的一階不穩(wěn)定區(qū)及其禁帶寬度

利用攝動(dòng)法［15－16］求解方程 (14)。注意到方程 (14)中的 (是一個(gè)小參數(shù)，可將x和q按它展開

將式 (17)和 (18)代入方程 (14)，比較 (的同次冪系數(shù)，可得逐次近似方程

方程 (19)的解可表示為

上式表明，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，x0是周期為π的周期函數(shù)，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，x0是周期為2π的周期函數(shù)。我們以k=1為例，求禁帶的邊界方程和相應(yīng)的解。

將式 (22)代入方程 (20)，并令k=1，可得

消去方程中的久期項(xiàng)，要求

于是方程 (23)化為

聯(lián)立求解方程 (24)和 (25)，可得

和

航空發(fā)動(dòng)機(jī)裝配過程數(shù)據(jù)能夠映射為任務(wù)、物料、工藝、質(zhì)量4個(gè)視圖上的對(duì)應(yīng)信息，分別回答了“由誰在何時(shí)來執(zhí)行哪個(gè)任務(wù)”、“對(duì)哪些物料進(jìn)行裝配”、“如何裝配”和“記錄哪些質(zhì)量信息”的問題，4個(gè)視圖之間存在的邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系如圖2所示。

于是，方程 (26)的解可表示為

或

將式 (27)、(29)代入方程 (21)，可得二級(jí)近似方程

消去久期項(xiàng)，可得

精確到二次近似，一階不穩(wěn)定區(qū)的一條邊界曲線和這條邊界曲線上的解可表示為

同樣，將式 (28)、(30)代入方程 (21)，并用類似的方法，可求得一階不穩(wěn)定區(qū)的另一條邊界曲線和這條邊界曲線上的解為

由式 (33)和 (35)，可求得一階不穩(wěn)定區(qū)的禁帶寬度

4 系統(tǒng)的臨界性質(zhì)

注意到當(dāng)諧波數(shù)n=1時(shí)，由式 (15)可知，同步運(yùn)動(dòng)的Betatron頻率可表示為=q/4。微分該式，由式 (37)可將一階不穩(wěn)定區(qū)的禁帶寬度表示為

再注意到粒子穿越禁帶時(shí)振幅呈指數(shù)增長(zhǎng)，設(shè)φ0(因而x0)是粒子進(jìn)入禁帶時(shí)的“初始”振幅，穿越禁帶后的振幅φ(因而x)可表示為

其中θ是粒子在禁帶中轉(zhuǎn)過的角度 (或“停留”的時(shí)間)。當(dāng)φ滿足條件

時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，其中φu和π－φs是同步運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)，φs是系統(tǒng)的同步相位 (在本文中φs=0)。換句話說，當(dāng)離子穿越禁帶，相位呈指數(shù)增長(zhǎng)，如果相位的振幅φ＜φu和φ＜π－φs，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。由式 (15)、(16)和 (38)可得束流冷卻的一次諧波振幅臨界值

或

其中ωs是同步粒子振蕩頻率，Tc是同步粒子穿越禁帶的臨界時(shí)間。當(dāng)δ1＜δ1c系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

5 結(jié)語

由于冷卻效應(yīng)，同步運(yùn)動(dòng)方程化為了參數(shù)激勵(lì)的Matheiu方程，由于參數(shù)激勵(lì)，系統(tǒng)出現(xiàn)了一系列穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)。這就是說，由于束流冷卻，系統(tǒng)的同步運(yùn)動(dòng)將在νs=1/2，1，3/2，…，處出現(xiàn)共振。本文從系統(tǒng)的正則方程出發(fā)，在經(jīng)典力學(xué)框架內(nèi)和弱冷卻近似下，把粒子的同步運(yùn)動(dòng)方程化為Mathieu方程，利用攝動(dòng)法導(dǎo)出了一階不穩(wěn)定區(qū) (νs=1/2)的邊界曲線和禁帶寬度。指出了由于冷卻效應(yīng)，當(dāng)粒子穿越禁帶后的相位φ=φ0+Δφ等于不穩(wěn)定相位時(shí)，粒子處于臨界狀態(tài)，并由此導(dǎo)出了束流冷卻的一次諧波激勵(lì)振幅的臨界值或。當(dāng) δ1＜ δ1c時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

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