推廣的()展開法與Zhiber-Shabat方程的精確解

陳曉艷,吉飛宇,魚翔

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

陳曉艷,吉飛宇,魚翔

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127)

利用推廣的()展開法,研究了Zhiber-Shabat方程的行波解,獲得了其各種孤子解和周期波解,并且給出了由它得來的著名方程Liouville方程的精確解,豐富了解的范圍.

推廣的()展開法；Zhiber-Shabat方程；Liouville方程；周期波解

1 引言

非線性演化方程Zhiber-Shabat方程在許多科學(xué)領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用.由它演化得來的一些著名方程包括:當(dāng)q=r=0時,方程(1)化為著名的Liouville方程；當(dāng)q/=0,r=0時,方程(1)成為著名的Sinh-Gordon方程；當(dāng)q=0,r/=0時,方程(1)變?yōu)橹腄odd-Bullough-Mikhailov方程.這些方程在固體物理學(xué),流體力學(xué),生物數(shù)學(xué)和等離子物理學(xué)等學(xué)科中出現(xiàn)[12],例如Liouville方程是描述由系統(tǒng)的定態(tài)所構(gòu)成的混合態(tài)隨時間演化的規(guī)律,包括光線量子和相對論費密子等[34].Sinh-Gordon方程是在正常曲率曲面的研究中引出的,若知道它的一個非平凡解,就可以得出R2,1中類時的正常曲率曲面[5].因此這些方程得到了充分研究及應(yīng)用.

到目前為止,已有很多種方法用來求解Zhiber-Shabat方程.1992年,文獻[6]通過使方程(1)滿足投影Riccati方程組求出方程(1)的兩種精確解,后來,文獻[7]用tanh函數(shù)法與推廣的tanh函數(shù)法得到了方程(1)的多種行波解,文獻[8-10]又分別用指數(shù)函數(shù)法,sinh-cosh函數(shù)法,F展開法對方程(1)的解的情況進行了研究.最近由文獻[11]首次提出的()展開法,在研究非線性演化方程的孤子解方面,是一種方便快捷的方法,已用于求解了很多方程.

2 推廣的()展開法

步驟一:對于含有兩個獨立變量x,t的非線性演化方程:

其中αi是待定系數(shù),N是由平衡(3)式中最高階導(dǎo)數(shù)項和非線性項得來的,G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程:

步驟四:將得到的αi的值代入(4)式,利用(5)式的通解,經(jīng)過分析即可以得到(2)式的精確解.

3 Zhiber-Shabat方程的行波解

令u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ωt,ω為波速,將其代入(1)式,對(1)式進行行波約化得:

類似地,利用以上步驟還可得到著名方程Dodd-Bullough-Mikhailov方程和Sinh-Gordon方程的精確解[15].)

參考文獻

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Chen Xiaoyan,Ji Feiyu,Yu Xiang
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

extended()-expansion method,Zhiber-Shabat equation,Liouville equation, periodic wave solutions

O175

A

1008-5513(2012)04-0546-07

2011-12-22.

國家自然科學(xué)基金(10671156).

陳曉艷(1987-),碩士生,研究方向：非線性偏微分方程.

2010 MSC:35Q58,37K50