非球面透鏡表面特性理論分析

許金凱，丁戧，于化東，王志超

（長春理工大學(xué) 制導(dǎo)與對抗技術(shù)研究所，長春 130022）

非球面透鏡作為一個(gè)重要的光學(xué)元件，在光系統(tǒng)中占有著重要的地位［1-3］。一個(gè)非球面透鏡在光系統(tǒng)中起到的作用要優(yōu)于3-4個(gè)球面透鏡［4］，主要是因?yàn)榍蛎嫱哥R在光系統(tǒng)中存在球差，比如橫向偏差、軸向偏差和角度偏差，從而限制了球面透鏡在光學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用。而非球面透鏡具有消除球差的能力，從而大大的提高了非球面透鏡在光系統(tǒng)中的使用范圍。

對非球面透鏡的研究主要在兩個(gè)方面。1.采用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件（比如CODE V和ZEMAX）對非球面透鏡進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而解決非球面透鏡中的光線傳輸和成像問題［5］；2.采用針對非球面的制備過程進(jìn)行研究［6］。

國外在非球面表面擬合度方面進(jìn)行了比較深入的研究，對非球面擬合方法研究較少。Héctor提出了一個(gè)適合于圓錐非球面曲線算法［7］；ZHANG基于線性最小二乘法提出了非球面參數(shù)計(jì)算算法［8］；Gugsa等通過改變圓錐常數(shù)k的值，利用最小二乘法的最值法來得到標(biāo)準(zhǔn)表面的最佳輪廓［9］。以上方法只考慮單一標(biāo)準(zhǔn)曲面表面，且在測量非球面時(shí)，圓錐常數(shù)k的估算會因?yàn)槎囗?xiàng)式系數(shù)的不同而產(chǎn)生偏差［10］。

在本文中，通過理論分析，建立了非球面表面特性函數(shù)，并且以K9玻璃為例，討論了非球面表面特性函數(shù)，并對其擬合誤差進(jìn)行分析。

1 理論分析

圖1為非球面透鏡的分析示意圖，光線通過一個(gè)非球面透鏡兩次折射后，聚焦到O點(diǎn)。其中Q點(diǎn)和P點(diǎn)分別為非球面透鏡的曲面和平面上的兩點(diǎn)，即光線折射的兩點(diǎn)。假設(shè)非球面透鏡的折射率為n1，透鏡的左邊和右邊的介質(zhì)折射率分別為n0和n2。光線的入射角為φ，經(jīng)過第一次和第二次折射后，折射角分別為 δ和θ。根據(jù)Snell定律，我們可以得到在P點(diǎn)和Q點(diǎn)的折射方程分別為：

圖1 非球面透鏡表面特性計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic diagram of surface profile calculation of a aspherical lens

在柱坐標(biāo)系下，Q點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為Q(X,Z)和P(ρ,z)，由于非球面透鏡的第二個(gè)表面為平面，因此，P點(diǎn)坐標(biāo)可以表示成如下函數(shù)形式：

在非球面透鏡的第一面上的Q點(diǎn)，其坐標(biāo)也可以表示成如下函數(shù)形式：

其中 fB為非球面透鏡的后焦距，L為非球面表面特性函數(shù)。

通過對方程（5）和（6）進(jìn)行求導(dǎo)，我們可以得到以下方程：

利用三角函數(shù)關(guān)系，我們有

由于Z和X是θ的函數(shù)，因此方程（9）可改寫為：

將方程7和8代入到方程（10）中，并且令

其中A，L和B都是θ的函數(shù)。

在方程（11）兩邊乘以未知函數(shù)F（F為θ的函數(shù)），

通過對方程（12）的左邊進(jìn)行積分，并經(jīng)過位置變換后，可以得到

將方程（13）代入帶方程（12）中，則有

因此我們可以非球面表面特性函數(shù)

將方程（1）兩邊同時(shí)對θ求導(dǎo)得

將方程（2）和（16）代入到函數(shù)A、B中，則有：

在方程（1）中，我們將δ表示成為θ的函數(shù)：

因此函數(shù)A和B可以進(jìn)一步表示為

將方程（13）、（17）和（18）代入到方程（15）中，我們最終可以完全得到非球面表面特性函數(shù)。

2 結(jié)果與討論

我們以K9玻璃為例，折射率為n1=1.5163，并且假設(shè)非球面透鏡兩邊的介質(zhì)都為空氣，折射率為n0=n2=1，非球面透鏡的厚度和后焦距都為50mm，最大折射角為θ=450。經(jīng)過分析后，繪制出如圖2所示的非球面透鏡的表面特性曲線。

圖2 非球面透鏡表面透鏡計(jì)算圖Fig.2 Calculating diagram of surface profile calculation of an aspherical lens

式中，R是曲率半徑，k是二次曲面常數(shù)，Ci是非球面形變常數(shù)。設(shè)置了如表1所示的參數(shù)。圖3為非球面透鏡的擬合誤差曲線，從曲線中我們可以看出非球面透鏡表面特性的擬合誤差小于±30nm。

表1 非球面透鏡表面特性公式擬合數(shù)據(jù)Tab.1 Fitting dates of the surface profile to a aspheric lens formula

圖3 非球面透鏡表面特性公式擬合誤差Fig.3 Fitting error of the aspherical surface profile formula

3 結(jié)論

本文通過對非球面透鏡的進(jìn)行設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，建立了非球面透鏡表面特性函數(shù)。以K9玻璃為例，繪制出了非球面透鏡的表面特性曲線。通過對非球面透鏡的表面特性曲線進(jìn)行分析，認(rèn)為其擬合誤差小于±30nm，表明了該非球面透鏡的特性函數(shù)方程具有較高的精確性，在對非球面透鏡的設(shè)計(jì)和制備過程中具有重要的參考價(jià)值。

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