基于LMI的主動(dòng)懸架混合H2/H∞控制

陳建軍，葛如海，王 斌

(1.江蘇大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013;2.鹽城工學(xué)院優(yōu)集學(xué)院，鹽城 224001)

近年來，線性矩陣不等式方法以其高效的求解而引起控制界的關(guān)注，成為魯棒控制分析與綜合的重要方法.基于LMI方法的混合H2/H∞控制因具有H2控制的優(yōu)良品質(zhì)和H∞控制的魯棒性以及干擾抑制能力，同時(shí)又是一種便于處理的多目標(biāo)控制，被廣泛應(yīng)用于懸架系統(tǒng)多目標(biāo)魯棒控制分析與綜合中[1].

文獻(xiàn)[1-3]中將車身加速度作為H2性能，將輪胎動(dòng)載荷作為H∞性能，H2性能和H∞性能分別賦予不同權(quán)值后構(gòu)成一個(gè)單目標(biāo)函數(shù)，然后最小化目標(biāo)函數(shù)，從而得到最優(yōu)控制律.然而，對(duì)于實(shí)際問題，選擇合適的加權(quán)系數(shù)并不容易，此外，在H∞性能中也沒有考慮主動(dòng)控制力閾值.針對(duì)上述問題，嘗試將車身加速度作為H2魯棒控制性能輸出指標(biāo);將懸架動(dòng)行程、輪胎動(dòng)載荷和控制器作動(dòng)力作為H∞魯棒控制約束輸出指標(biāo);綜合考慮平順性、操縱穩(wěn)定性以及主動(dòng)控制力閾值，將系統(tǒng)的性能輸出歸結(jié)為在給定抑制程度γ∞下的最優(yōu)控制問題，避免加權(quán)系數(shù)的選擇，然后，利用LMI方法進(jìn)行處理.

1 1/4車輛主動(dòng)懸架模型

1/4車輛主動(dòng)懸架模型如圖1所示.它由懸架彈簧和阻尼組成被動(dòng)部分，而主動(dòng)力F由液壓伺服裝置提供，ms為車身質(zhì)量，mu為車輪質(zhì)量，ks為懸架剛度，cs為懸架阻尼，kt為輪胎剛度，zs、zu、zr分別表示車身位移、車輪位移與路面位移.

圖1 1/4車輛主動(dòng)懸架模型

對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)微分方程表示如下

選取狀態(tài)向量

則二自由度模型的狀態(tài)空間可描述為

式中各系數(shù)矩陣

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于LMI的混合H2/H∞控制問題描述

混合狀態(tài)反饋控制模型如圖2所示，其中z∞和z2代表被控輸出信號(hào);y為測量信號(hào)，代表外部干擾信號(hào);P(s)代表廣義受控對(duì)象;K(s)代表所設(shè)計(jì)的控制器.系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下

式中:

圖2 混合H2/H∞控制框圖

由外部輸入w到被控輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為TwZ2和TwZ∞，混合狀態(tài)反饋H2/H∞可表示為設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，并滿足以下要求[4]:

①閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.

②當(dāng)w被看成是一個(gè)有限能量的擾動(dòng)信號(hào)時(shí)，從干擾輸入w到約束輸出z∞的閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定的 γ∞.其中=，σmax表示一個(gè)矩陣的最大奇異值，γ∞代表干擾抑制程度.

根據(jù)文獻(xiàn) [5]，用LMI表示即為:

在上述模型的約束條件中，P1和P2是兩個(gè)不同的對(duì)稱正定矩陣，并且和控制增益K耦合在一起，這是一個(gè)非線性矩陣不等式問題 (雙線性矩陣不等式BMI).為了利用線性矩陣不等式方法進(jìn)行求解，引入約束條件X=P1=P2，因此，得到的結(jié)果具有一定的保守性.保守性的引進(jìn)可以換來計(jì)算上的方便和有效，但如何估計(jì)由約束條件所帶來的保守性大小，目前還缺乏有效的方法.

2.2 混合H2/H∞控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)懸架首先考慮乘坐舒適性的要求，車身加速度¨zs是評(píng)價(jià)舒適性的主要指標(biāo).同時(shí)，兼顧穩(wěn)定性的要求，輪胎與路面的動(dòng)載荷kt(zu-zr)不能超過靜載荷(ms+mu)g;又由于受懸架結(jié)構(gòu)的限制，必須將懸架動(dòng)行程zs-zu限制在一定的范圍，以免撞擊緩沖塊而破壞乘坐舒適性[6-7].此外，考慮發(fā)動(dòng)機(jī)功率的限制，液壓伺服機(jī)構(gòu)只能提供有限的主動(dòng)力.因此，控制器的設(shè)計(jì)原則為在懸架動(dòng)行程、輪胎動(dòng)載荷和控制器作動(dòng)力約束輸出指標(biāo)不超過相應(yīng)范圍的條件下，最小化車身加速度輸出性能指標(biāo).而只要H∞范數(shù)小于預(yù)設(shè)的干擾抑制度γ∞就可以將其限定在一定的范圍[8]，所以將懸架動(dòng)行程、輪胎動(dòng)載荷和控制器作動(dòng)力定義為H∞約束輸出指標(biāo)，在此條件下優(yōu)化車身加速度H2性能輸出指標(biāo).綜上，主動(dòng)懸架的性能輸出和歸一化約束輸出為則狀態(tài)反饋控制律為路面激勵(lì)用白噪聲，其中，G0為路面不平度系數(shù);U代表車速;w(t)代表均值為零的高斯白噪聲.

3 仿真與結(jié)果分析

為了檢驗(yàn)控制效果，在MATLAB/SIMULINK環(huán)境下，參考文獻(xiàn)[9]建立B級(jí)路面模型對(duì)被動(dòng)懸架和主動(dòng)懸架進(jìn)行仿真對(duì)比計(jì)算.系統(tǒng)參數(shù)為:簧載質(zhì)量為ms=372 kg，非簧載質(zhì)量mu=45 kg，懸架剛度為ks=30 kN/m，輪胎剛度為kt=181 kN/m，懸架阻尼為 cs=1600 Ns/m，Smax=0.03 m，F(xiàn)max=1000 N，路面不平度系數(shù)為Gq=64×10-6m2/m-1，車速U=60 km/h，參考空間頻率為n0=0.1 m-1，采樣時(shí)間為0.01 s，仿真時(shí)間為5 s.

3.1 時(shí)域分析

通過對(duì)不同的標(biāo)量γ∞求解相應(yīng)的H2/H∞控制問題，可以分析系統(tǒng)H2性能和H∞性能的關(guān)系:兩者之間相互競爭，犧牲系統(tǒng)的魯棒性可以改進(jìn)系統(tǒng)的性能.通常先求取最小的γ∞(代表系統(tǒng)的最優(yōu)H∞性能指標(biāo))，然后，逐漸增大γ∞的值，求取滿足約束輸出且性能輸出較好的K.這里取γ∞=0.2，然后，利用YALMIP工具箱求解線性矩陣不等式組求得K，再利用狀態(tài)空間法便可以得到各性能參數(shù)的輸出響應(yīng)，圖3～6分別為車身加速度、懸架動(dòng)行程、輪胎動(dòng)載荷和主動(dòng)控制力的時(shí)域響應(yīng)波形對(duì)比圖.

圖6 主動(dòng)控制力時(shí)域響應(yīng)

可以看出主動(dòng)懸架的控制效果明顯，在懸架動(dòng)行程和輪胎動(dòng)載荷均有降低的情況下主動(dòng)懸架的車身加速度明顯小于被動(dòng)懸架的車身加速度，同時(shí)由于在求解時(shí)將作動(dòng)器最大輸出力做了約束，輸出控制力沒有出現(xiàn)超過Fmax的現(xiàn)象，這樣可以節(jié)省能量.各輸出參數(shù)均方根對(duì)比圖見下表1.

表1 時(shí)域均方根值表

主動(dòng)懸架的各項(xiàng)性能指標(biāo)均方根均低于被動(dòng)懸架，其中車身加速度降幅最大，懸架動(dòng)行程次之，輪胎動(dòng)載荷降幅較小.分析可以發(fā)現(xiàn)，被動(dòng)懸架的輪胎動(dòng)載荷為1 425.6 N，大于靜載1/3(1 390 N)，主動(dòng)懸架的輪胎動(dòng)載荷為1 297 N，小于靜載1/3，輪胎有99.7%以上的時(shí)間不離地，根據(jù)3σ理論滿足操縱穩(wěn)定性的要求[1].

3.2 頻域分析

車身加速度作為衡量舒適性的標(biāo)準(zhǔn)，不僅在時(shí)域上要求其幅值盡可能低，而且在頻域內(nèi)要求在人體最敏感的4～8 Hz內(nèi)幅值盡可能低.圖7和圖8分別為車身加速度和輪胎動(dòng)載荷的頻域響應(yīng).

圖7 車身加速度頻域響應(yīng)

圖8 輪胎動(dòng)載荷頻域響

從圖7中可以看出主動(dòng)懸架的平順性在0.4～10.5 Hz的頻率范圍內(nèi)以及第2個(gè)共振峰處均優(yōu)于被動(dòng)懸架;從圖8中可以看出主動(dòng)懸架在0.3～3.4 Hz頻率范圍內(nèi)的操縱穩(wěn)定性明顯優(yōu)于被動(dòng)懸架，在高頻區(qū)稍有惡化.

4 結(jié)論

以獲得較好的平順性和操縱穩(wěn)定性為目標(biāo)，將主動(dòng)懸架的被控輸出分離為性能輸出和約束輸出兩部分，以H2范數(shù)描述性能輸出，以H∞范數(shù)描述歸一化約束輸出.運(yùn)用混合H2/H∞魯棒控制理論結(jié)合線性矩陣不等式算法時(shí)，通常先求取最小的γ∞，然后通過逐漸增大γ∞的取值.即通過在H2性能和H∞性能之間取折衷，這樣避免了加權(quán)系數(shù)的選擇，在滿足H∞約束輸出指標(biāo)的干擾抑制程度γ∞的條件下得到了最小化H2性能輸出指標(biāo)的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制律.仿真和分析結(jié)果表明，采用的控制算法對(duì)車輛懸架的設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

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