基于最小二乘法的電力變壓器參數(shù)辨識(shí)算法

楊啟平，鄧正文，董 輝，徐丹鳳

(上海電力學(xué)院電力與自動(dòng)化工程學(xué)院，上海 200090)

長(zhǎng)期以來(lái)，電力變壓器差動(dòng)保護(hù)主要依靠故障電流或者電壓的波形特征來(lái)判斷內(nèi)部故障是否存在，其中二次諧波制動(dòng)得到了最廣泛的應(yīng)用，且積累了豐富的運(yùn)行經(jīng)驗(yàn).但是由于變壓器鐵芯的非線性而產(chǎn)生的勵(lì)磁涌流現(xiàn)象，經(jīng)常導(dǎo)致差動(dòng)保護(hù)誤動(dòng)作，嚴(yán)重制約變壓器保護(hù)的正確動(dòng)作率，使得變壓器的保護(hù)水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于系統(tǒng)中的其他元件［1-4］.隨著變壓器容量的增大和制造工藝的改進(jìn)、超高壓輸電線路長(zhǎng)度的增加，以及系統(tǒng)中容性設(shè)備的增多，使得二次諧波制動(dòng)的可靠性問(wèn)題日益突出［5，6］.為解決這一問(wèn)題，廣大專家進(jìn)行了大量的研究，提出了一些解決方法，也取得了一定的進(jìn)展.郝治國(guó)等人提出的基于變壓器回路平衡方程的變壓器保護(hù)新原理［7］，跳出了傳統(tǒng)差動(dòng)保護(hù)原理的思路，規(guī)避了勵(lì)磁涌流和故障電流的判別，開(kāi)辟了變壓器保護(hù)的新思路，具有很好的應(yīng)用前景.但是此方法對(duì)變壓器電阻、電感參數(shù)的精度要求比較高，參數(shù)的精度直接影響保護(hù)算法的靈敏度.針對(duì)這一問(wèn)題，索南加樂(lè)等人提出使用最小二乘法來(lái)識(shí)別變壓器的漏電感參數(shù)，但是忽略了變壓器繞組的電阻參數(shù)，辨識(shí)參數(shù)的精度受到一定的影響［8］.曾鑫等人提出使用有約束的最小二乘法，解決了Y/△接線方式下三相變壓器的漏感計(jì)算問(wèn)題，但也同樣忽略了電阻的影響，且存在數(shù)據(jù)飽和的問(wèn)題［9］.

本文從Y/△接線變壓器的回路方程出發(fā)，提出了一種帶遺忘因子的最小二乘法識(shí)別變壓器電阻、電感參數(shù)的方法，無(wú)需已知三角形側(cè)的相電流，基于三角形側(cè)三相環(huán)流相等的特點(diǎn)，消去環(huán)流，同時(shí)消去回路方程中的非線性項(xiàng)，使用帶動(dòng)態(tài)遺忘因子的最小二乘法快速便捷地實(shí)現(xiàn)變壓器參數(shù)辨識(shí)，為基于回路平衡方程的變壓器保護(hù)的推廣應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1 基本原理

基于回路平衡方程的變壓器保護(hù)新原理如下［7］:在正常運(yùn)行狀態(tài)及勵(lì)磁涌流狀態(tài)下，原副邊繞組回路方程得到的回路平衡方程為零，而在內(nèi)部故障狀態(tài)下回路平衡方程值不再為零，即:

式中:u1，i1，u2，i2——原副邊的電壓和電流;

r1，L1，r2，L2——原副邊的電阻和電感;

nB——匝比.

在新原理中，電壓和電流均可通過(guò)互感器得到，所以兩側(cè)電阻和電感值的精確獲得可以直接影響新原理的保護(hù)精度.

在電力系統(tǒng)中，變壓器多采用Y/△聯(lián)結(jié)方式，本文以雙繞組Y/△聯(lián)結(jié)的變壓器為例，如圖1所示.為方便分析，設(shè)變壓器的變比為1，不計(jì)及電壓互感器和電流互感器的變比和誤差.

圖1 Y/△變壓器接線示意

Y側(cè)和△側(cè)繞組電阻值分別為:

漏感值分別為:

則Y側(cè)回路方程為:

式中: ΨAa，ΨBb，ΨCc——A/a，B/b，C/c 相繞組的公共磁鏈.

△側(cè)回路方程為:

對(duì)式(1)和式(2)兩兩相減，然后進(jìn)行聯(lián)立，消去含 ip，ΨAa，ΨBb，ΨCc的項(xiàng)，得到:

同時(shí)，iab，ibc，ica可以通過(guò)△側(cè)線電流獲得［10］:

將式(4)代入式(3)，則有:

式中:

這樣，通過(guò)可量測(cè)的Y側(cè)和△側(cè)的電壓和電流即可得到變壓器的電阻和電感值［11］.

2 參數(shù)辨識(shí)

本文選用帶遺忘因子的最小二乘法實(shí)現(xiàn)變壓器參數(shù)辨識(shí).最小二乘法是以誤差平方和最小為準(zhǔn)則，得出符合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最優(yōu)參數(shù)估計(jì)的數(shù)學(xué)方法.

理想電力系統(tǒng)的電壓、電流是工作頻率為50 Hz的正弦信號(hào)，如果已知t0和t1時(shí)刻的采樣值分別為y0和y1，則t2時(shí)刻的采樣值y2可以用y0和y1表示，即y0，y1，y2線性相關(guān)，推廣到 n個(gè)采樣數(shù)據(jù) yk，yk+1，…，yk+n線性相關(guān)，則則(ATA)－1不存在，無(wú)法通過(guò)最小二乘法進(jìn)行漏感參數(shù)的識(shí)別，參數(shù)具有不可辨識(shí)性.但在實(shí)際的電力系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，電壓、電流中包含有豐富的2次、3次、5次等諧波和非周期分量，此時(shí)，參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)辨識(shí).

2.1 帶遺忘因子的遞推最小二乘法

根據(jù)式(5)第1式，可建立利用最小二乘法識(shí)別變壓器兩側(cè)電阻、電感值參數(shù)的矩陣:

式中:

隨著數(shù)據(jù)的增加，最小二乘法會(huì)出現(xiàn)所謂的“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，即采集到的新數(shù)據(jù)所提供的信息被淹沒(méi)在舊數(shù)據(jù)中.為了克服“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法對(duì)X4×1進(jìn)行估計(jì)，其基本思想是:舊數(shù)據(jù)乘以遺忘因子，以降低舊數(shù)據(jù)所提供的信息量，增加新數(shù)據(jù)的信息量，從而不間斷地實(shí)現(xiàn)修正，以得到最優(yōu)的參數(shù)值.

式中:μ——遺忘因子.

2.2 遺忘因子的確定

遺忘因子μ通常不小于0.9，如果過(guò)程是線性的，應(yīng)選0.95≤μ≤1.遺忘因子如果選得太大將會(huì)降低算法的跟蹤性能，太小則容易受噪音的影響.對(duì)于慢時(shí)變參數(shù)A，應(yīng)選取較大的遺忘因子;對(duì)于快時(shí)變參數(shù)A，應(yīng)選取較小的遺忘因子.文獻(xiàn)［12］中遺忘因子μ=0.997.

在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，變壓器存在飽和問(wèn)題，不同的磁滯曲線對(duì)應(yīng)的飽和程度不同，飽和電流大小也不一樣.因此，不能固定遺忘因子μ的大小，而應(yīng)該根據(jù)實(shí)測(cè)的在線數(shù)據(jù)來(lái)確定.同時(shí)，由于電力系統(tǒng)的暫態(tài)特性，在參數(shù)辨識(shí)的過(guò)程中，暫態(tài)過(guò)程中的遺忘因子應(yīng)較小，而穩(wěn)態(tài)中的遺忘因子接近于1.換句話說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)待辨識(shí)的參數(shù)，遺忘因子應(yīng)該是一組動(dòng)態(tài)變化的數(shù)據(jù)，其特點(diǎn)是逐漸逼近于 1［13］.

定義一個(gè)誤差矢量 ε =(ε1，ε2，…，εn)T并且令:

最小二乘法的原理是使誤差的平方和最小，即使指標(biāo)函數(shù)取得最小:

加入遺忘因子后，

令加權(quán)最小二乘估計(jì)誤差的方差為:

只要求出使式(11)達(dá)到最小的即可.引入“矩陣型”許瓦茲不等式，解不等式，可以得到:

式中:P——n×n的可逆矩陣.

3 算法仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證算法的正確性，本文采用實(shí)際算例對(duì)算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證.誤差為:

變壓器的電壓電流量由電磁暫態(tài)仿真程序EMTP產(chǎn)生，三相Y/△變壓器由3個(gè)單相變壓器聯(lián)接而成.設(shè)定變壓器參數(shù)為:額定電壓UN=330 kV/110 kV，電源電壓相移為30°，Y和△繞組的電阻和漏感參數(shù)分別為 R1=0.94 Ω，R2=0.285 Ω，L1=1 540 mH，L2=51 mH.每周波采樣點(diǎn) 400個(gè)，辨識(shí)結(jié)果如表1所示.

由表1可以看出，利用帶動(dòng)態(tài)遺忘因子的最小二乘法進(jìn)行變壓器參數(shù)辨識(shí)，所得結(jié)果的誤差在0.25%以內(nèi)，可以精確實(shí)現(xiàn)變壓器電阻和電感參數(shù)的辨識(shí)，這為新型回路平衡方程法變壓器保護(hù)的實(shí)際應(yīng)用提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

表1 變壓器參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

表2為不同時(shí)刻的μ值.由表2可以看出，μ值在不停地變化之中，并且逐漸趨近于1，與理論分析的結(jié)果吻合.

表2 不同時(shí)刻的μ值

表3給出了負(fù)載功率因數(shù)為0.9，負(fù)荷率在30%～100%波動(dòng)時(shí)的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果.表4給出了負(fù)荷率為90%，功率因數(shù)從1.0～0.5變化時(shí)的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果.從表3和表4中可以看出，負(fù)荷變化率及功率因數(shù)的變化對(duì)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果基本上沒(méi)有影響，算法的辨識(shí)結(jié)果真實(shí)可靠.

表3 負(fù)荷變化率對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響

表4 功率因素變化對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響

4 動(dòng)模試驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提算法的可行性及有效性，本文進(jìn)行了相關(guān)的動(dòng)模試驗(yàn)，動(dòng)模試驗(yàn)系統(tǒng)接線如圖2所示.在圖2中，試驗(yàn)變壓器采用Y/△聯(lián)結(jié)方式，變壓器的參數(shù)為:額定容量2 kW，額定電壓U1/U2=1 000 V/220 V，空載電流是額定電流的1.32%，空載損耗為20 W，電流互感器變比10 A/5 A，電壓互感器變比500 V/100 V，試驗(yàn)中變壓器變比設(shè)置為1∶1.進(jìn)行數(shù)據(jù)錄波時(shí)，每個(gè)采樣周期采樣點(diǎn)400個(gè).誤差=(估算值－真值)/真值×100%，真值由某制造企業(yè)提供.

圖2 動(dòng)模試驗(yàn)系統(tǒng)

表5給出了動(dòng)模試驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果.由表5可以看出，所有估計(jì)值的誤差均在0.3%以內(nèi)，表明辨識(shí)結(jié)果精度較高，應(yīng)用前景良好.

表5 動(dòng)模試驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果

5 結(jié)論

(1)提出了一種變壓器電阻、電感參數(shù)的在線辨識(shí)方法.該方法針對(duì)三角形側(cè)繞組配置TA困難的特點(diǎn)，不改變TA配置，直接利用三角形側(cè)線電流和帶動(dòng)態(tài)遺忘因子的最小二乘法，解決了Y/△接線方式下三相變壓器的電阻和電感計(jì)算問(wèn)題，能在線得到變壓器的動(dòng)態(tài)電阻和電感值.

(2)帶動(dòng)態(tài)遺忘因子的最小二乘法解決了普通最小二乘法數(shù)據(jù)飽和的問(wèn)題，加快了辨識(shí)算法的收斂性.同時(shí)，動(dòng)態(tài)遺忘因子的應(yīng)用，保證了算法的跟蹤性能，能實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地偵測(cè)到變壓器的電阻和電感參數(shù)，為回路平衡方程法的推廣應(yīng)用掃清了障礙.

(3)參數(shù)辨識(shí)算法穩(wěn)定可靠，變壓器運(yùn)行工況(包括負(fù)荷大小和功率因數(shù)大小)不會(huì)對(duì)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果產(chǎn)生影響.

(4)參數(shù)辨識(shí)誤差主要由辨識(shí)算法存在的勵(lì)磁電流、三角形繞組的環(huán)流補(bǔ)償相誤差，以及實(shí)時(shí)讀取數(shù)據(jù)時(shí)存在的互感器及數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)的測(cè)量誤差組成.當(dāng)辨識(shí)參數(shù)應(yīng)用在精度要求較高的場(chǎng)合時(shí)，可以對(duì)誤差項(xiàng)進(jìn)行一定的補(bǔ)償.

［1］周玉蘭.1999～2003年全國(guó)電網(wǎng)元件保護(hù)運(yùn)行情況分析［J］.中國(guó)電力，2005，38(5):13-19.

［2］周玉蘭.2004年全國(guó)電網(wǎng)元件保護(hù)運(yùn)行情況分析［J］.中國(guó)電力，2006，39(5):23-26.

［3］沈曉凡，程逍，章激揚(yáng).2005年全國(guó)電網(wǎng)繼電保護(hù)裝置運(yùn)行情況分析［J］.電力設(shè)備，2007，8(2):26-29.

［4］沈曉凡，舒治淮，呂鵬飛，等.2006年國(guó)家電網(wǎng)公司繼電保護(hù)裝置運(yùn)行情況［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2008，32(3):18-21.

［5］GUZMAN A，ZOCHOLL S，BENMOUYAL G，et al.A current based solution for transformer differential protection:part I problem statement［J］.IEEE Trans.on Power Delivery，2001，16(4):485-491.

［6］GUZMAN A，ZOCHOLL S，BENMOUYAL G，et al.A current based solution for transformer differential protection:part II relay description and evaluation［J］.IEEE Trans.on power Delivery，2001，17(4):886-896.

［7］郝治國(guó)，張保會(huì)，褚云龍，等.基于等值回路平衡方程的變壓器保護(hù)原理的研究［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2006，26(5):67-72.

［8］索南加樂(lè)，焦在濱，康小寧，等.Y/△接線變壓器漏感參數(shù)的識(shí)別方法［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28(13):84-90.

［9］曾鑫，楊浩，羅建.基于最小二乘法的變壓器三相漏感參數(shù)的辨識(shí)算法［J］.變壓器，2010，47(10):22-25.

［10］索南加樂(lè)，焦在濱，康小寧，等.一種適用于Y/△接線變壓器的勵(lì)磁電感計(jì)算方法［J］.電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2007，31(9):32-36.

［11］王增平，馬靜.基于等效瞬時(shí)電感與回路方程的變壓器保護(hù)原理［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，27(19):39-44.

［12］高晶，王建華，張保會(huì)，等.變壓器漏電感參數(shù)在線辨識(shí)方法研究［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，42(2):199-203.

［13］張志強(qiáng)，哈恒旭，譚雨珍.基于磁鏈平衡方程的變壓器保護(hù)的關(guān)鍵問(wèn)題的研究［J］.電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2009，37(14):1-5.