基于測地距離的圖像濾波方法

王愛齊

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

由于受到設(shè)備和環(huán)境等噪聲的干擾，圖像在獲取和傳輸?shù)倪^程中，不可避免的會受到噪聲的污染，從而影響圖像的質(zhì)量，給圖像分割、目標(biāo)識別和分類等后續(xù)處理帶來困難.因此，盡可能的減弱噪聲的干擾，使圖像更有利于后續(xù)工作是圖像處理的基本任務(wù).

一般來說，圖像去噪可分為兩大類:線性方法和非線性方法.線性(卷積)濾波，如平均濾波［1］、高斯濾波［2］等，方法簡單，速度快，但濾除噪聲的同時，也會造成過光滑現(xiàn)象，使得圖像的邊緣模糊.因此，為了避免產(chǎn)生過光滑效果，研究者提出了許多非線性濾波方法，其中，雙邊濾波(Bilateral Filter，BF)是當(dāng)前流行的一種邊緣保持濾波方法.

雙邊濾波器最初由Aurich和Weule［3］提出，被稱為“非線性高斯濾波器”.后來 Tomasi和Manduchi［4］重新討論了該方法，并稱之為雙邊濾波器.類似于高斯濾波器，雙邊率濾波器也定義為像素的局部鄰域的加權(quán)平均，只是雙邊濾波器的權(quán)重不僅考慮了鄰域像素間的幾何距離，而且也結(jié)合了像素之間灰度(色彩)的相似性.在均勻的平滑區(qū)域，由于像素的灰度值變化較小，彼此接近，因此，權(quán)重主要由空間距離決定，這時，可以看作是空間域的高斯平滑;而在變化較大的非均勻區(qū)域，權(quán)重主要由像素間的相似程度決定，這樣，在邊緣處，同一側(cè)的像素有更大的權(quán)重，而另一側(cè)的像素的權(quán)重則較小.正是這種雙重異性加權(quán)機制保證了雙邊濾波器具有良好的保持邊緣的濾波效果，并被應(yīng)用于圖像處理的各個方面［5-7］.盡管雙邊濾波具有較好的保持邊緣的濾波特性，但在紋理致密的強邊緣附近，噪聲殘留較多，濾波效果不能令人滿意.

本文從圖像曲面的內(nèi)蘊幾何出發(fā)，提出了一種新的保持邊緣的非線性濾波方法.其主要思想是對輸入圖像的每一個像素的輸出結(jié)果是其鄰域的加權(quán)平均，不同于雙邊濾波只考慮歐式距離，該方法是采用圖像所構(gòu)成的曲面空間的測地距離來衡量像素之間的相似性，能夠更好的反映圖像的結(jié)構(gòu)特征，因此，在濾除噪聲的同時，能夠較好的保留圖像的細(xì)節(jié)信息.

1 測地距離

設(shè)I(x):Ω→Rd是一幅圖像(d=1為灰度圖像，d=3為彩色圖像)，Ω?R2是空間坐標(biāo)域.兩個像素位置x和y之間的測地距離Dx(y)定義為［9］其中，Px，y連接x和y兩點的所有路徑的集合，Γ是這樣一條路徑的弧長參數(shù)化表示，2I和Γ'(s)分別為圖像梯度和路徑關(guān)于弧長的導(dǎo)數(shù).測地因子γ平衡圖像梯度和空間距離的權(quán)重(在第4節(jié)的所有實驗中，γ取值均為25).對于數(shù)字圖像來說，Γ是連接x和y兩點的8—連通的空間鄰域的像素構(gòu)成的離散序列 {p0=x，p1，…，pn－1，pn=y} ，因此

式中，‖·‖2為L2范數(shù).

簡單來說，x和y兩點之間的測地距離就是曲面I上從x到y(tǒng)的最短距離.其直觀解釋為，若圖像I上某兩點的測地距離較小，則在這兩點之間必然存在一條顏色變化較小的路徑，小的測地距離表明這兩點應(yīng)該有更強的相似性.

2 基于測地距離的濾波方法

與雙邊濾波相似，基于測地距離的濾波方法在每一個像素的輸出結(jié)果也是它鄰域像素的加權(quán)平均，只是這里的權(quán)重是由測地距離構(gòu)成的.

設(shè)I(x):Ω→Rd輸入圖像，對每個點x∈Ω，首先構(gòu)造一個以x為中心的鄰域窗口wx，然后，按照式(1)和(2)，計算x到窗口中其它位置的測地距離D(x，y)，最后，以其加權(quán)和為最終的濾波輸出，即

綜上所述，測地濾波算法總結(jié)如下:

設(shè)I(x)為輸入圖像.

(1)以每一點x為中心，取大小n×n(Nw=n×n)的窗口wx;

(2)對每一個窗口wx，由式(2)計算出中心點x到其它點的測地距離;

(3)由公式(3)計算最終的濾波輸出結(jié)果.

3 測地濾波的快速算法

3.1 基于DTOCS的直接計算(算法1)

測地濾波算法的主要工作量在于計算中心點x到它到鄰域窗口wx中每一點的測地距離，因此，如何能夠快速計算測地距離是該算法的關(guān)鍵.關(guān)于測地距離計算的快速方法主要有兩類:光柵掃描算法和波動傳播方法.本文中采用文獻(xiàn)［10］中提到的具有線性復(fù)雜度的快速光柵掃描算法—DTOCS(Distance Transform on Curved Space)，主要過程如下:

圖1 DTOCS算法中使用的模板及掃描方式示意圖

3.2 基于梅花形采樣的快速計算(算法2)

由于測地距離具有對稱性，在計算出點x到點y的測地距離的同時，也得到了點y到點x的測地距離，因此，可以利用對稱性減少計算量，加快運行時間.但是，當(dāng)利用對稱性時，要用到較大的內(nèi)存來記錄所有計算過的測地距離.為了減小內(nèi)存的消耗，本文采用如圖2的梅花形下采樣，來減小要處理的數(shù)據(jù)量.當(dāng)計算出采樣點到其鄰域各點的測地距離時，由測地距離的對稱性可知，非采樣點到采樣點的測地距離也同時得到.盡管，非采樣點之間的測地距離并沒有計算，但從實驗結(jié)果可以看出，算法2與算法1的去噪效果十分接近，但運行時間卻減少為原來的1/2.

圖2 梅花形采樣示意圖

4 實驗結(jié)果

去噪是圖像處理中基礎(chǔ)而重要的工作.在實驗中，針對各種不同的圖像和噪聲水平，比較了本文提出的兩種算法和雙邊濾波(BF)方法的去噪效果.為了客觀比較去噪效果，采用峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio，PSNR)作為評價標(biāo)準(zhǔn).

式中，N為圖像像素的總個數(shù);u為原始的清晰圖像;u*為濾波后的圖像.

實驗中，所加的噪聲是均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ=10，15，20的加性高斯噪聲.圖3列舉了實驗中的一幅圖像及兩種方法的濾波結(jié)果，從中可以看出，兩種方法在濾除噪聲的同時，均很好的保持了圖像邊緣的細(xì)節(jié)信息，但與本文的算法相比，雙邊濾波的結(jié)果過于平滑，也濾除了弱的細(xì)節(jié).由本文算法1和算法2的結(jié)果比較，可以看出，采用梅花形采樣的算法2的去噪結(jié)果接近算法1，但運行時間卻減小為原來的1/2.

圖3 濾波方法性能比較

各種不同圖像(噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=15)的具體濾波效果的PSNR值(dB)見附表.從附表中可以看出，本文提出的測地濾波方法的濾波結(jié)果要優(yōu)于雙邊濾波方法的濾波結(jié)果.

5 結(jié)論

本文從圖像曲面的內(nèi)蘊幾何出發(fā)，通過測地距離來衡量像素之間的相似性，提出了一種新穎的邊緣保持濾波方法—基于測地距離的濾波方法，與流行的雙邊濾波方法比較，該方法具有更高的精度，更好的去噪效果.

附表 兩種濾波方法對不同圖像的濾波結(jié)果比較 dB

［1］胡浩，王明照.自適應(yīng)模糊加權(quán)均值濾波器［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2002，24(2):15-17.

［2］靳明，宋建中.一種自適應(yīng)的圖像雙邊濾波方法［J］.光電工程，2004，31(7):65-68.

［3］AURICH V，WEULE J.Non-linear gaussian filters performing edge preserving diffusion［C］.In Proceedings of the DAGM Symposium，1995:538-595.

［4］TOMASIC，MANDUCHI R.Bilateral filtering for gray and color images［C］.Proceedings of the 6th International Conference on Computer Vision，1998:839-846.

［5］LIU C，F(xiàn)REEMAN W T，SZELISKI R，et al.Noise estimation from a single image［C］.IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition(CVPR)，2006:901-908.

［6］EISEMANN ELMAR，DURAND Frédo.Flash Photography Enhancement via Intrinsic Relighting［J］.ACM Trans.Graph.，2004，23(3):673-678.

［7］CHEN J，PARIS S F，DURAND.Real-time Edge-Aware Image Processing with the Bilateral Grid［C］.Proceedings of the ACM SIGGRAPH 2007，2007.

［8］LEONID I，RUDIN，STANLEY OSHER，et al.Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］.Physica D，1992，60(1):259-268.

［9］AMTONIO CRIMINISI， TOBY SHARP， CARSTEN ROTHER，PATRICK P'erez.Geodesic Image and Video Editing［J］.ACM Transactions on Graphics(TOG)，2010，29(5):1-5.

［10］TOIVANEN P J.New geodesic distance transforms for gray-scale images［J］.Pattern Recognition Letters，1996 17(5):437-450.