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    矢量場環(huán)量強(qiáng)度方向特性的一種證明過程

    2012-06-27 04:18:48徐慧婷焦重慶
    電氣電子教學(xué)學(xué)報 2012年6期
    關(guān)鍵詞:環(huán)量法向電磁場

    徐慧婷,焦重慶

    (華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院,北京102206)

    0 引言

    旋度是“電磁場”課程中一個非常重要的基本概念[1]。由于定義比較抽象且數(shù)學(xué)描述復(fù)雜,旋度這一知識點(diǎn)屬于“電磁場”課程中的難點(diǎn)內(nèi)容之一。通常,《電磁場》教材引入旋度的邏輯順序為:矢量場的環(huán)量(閉合曲線積分)—環(huán)量強(qiáng)度(或環(huán)量面密度)—環(huán)量強(qiáng)度的方向特性—旋度—斯托克斯定理。其中,比較關(guān)鍵的就是環(huán)量強(qiáng)度的方向特性:環(huán)量強(qiáng)度可以表示成某一待定矢量(即后來的旋度)與環(huán)路法向單位矢量的點(diǎn)積。環(huán)量強(qiáng)度與旋度的關(guān)系類似于方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系。

    在環(huán)量強(qiáng)度的方向特性上,《電磁場》教材上主要有兩種論述方式:①直接陳述,不加以證明;②以斯托克斯定理為基礎(chǔ)。

    具體來說,方式①并沒有證明方向特性,而是以方向特性為已知來引出旋度并求解旋度的表達(dá)式:在直角坐標(biāo)系下,分別考慮與三個坐標(biāo)軸相垂直的三個微小矩形回路,依據(jù)環(huán)量強(qiáng)度的定義分別求出上述三個特殊矩形回路下的環(huán)量強(qiáng)度。這三個環(huán)量強(qiáng)度可以分別看成旋度在三個坐標(biāo)方向的三個分量,或者說,將這三個分量組合成的矢量便是旋度[2-5]。方式②以“高等數(shù)學(xué)”課程中已證明的斯托克斯定理為基礎(chǔ)(該定理的證明不需要借助旋度的概念),通過該定理將環(huán)量強(qiáng)度定義式中的環(huán)路積分轉(zhuǎn)換成面積分,進(jìn)而可直接得出環(huán)量強(qiáng)度的表達(dá)式和方向特性[6-7]。

    從理解上來說,方式②是一種不錯的選擇,只不過它與電磁場教材中更偏好的“環(huán)量—環(huán)量強(qiáng)度—旋度—斯托克斯定理”邏輯順序,即把斯托克斯定理當(dāng)作旋度的后續(xù)導(dǎo)出內(nèi)容的邏輯順序相背而已。

    筆者認(rèn)為,從環(huán)量強(qiáng)度的定義式中難以直接看出環(huán)量強(qiáng)度具有上述方向特性。因此,如果仍要在形式上堅持從旋度到斯托克斯定理的邏輯順序,就有必要給出一種關(guān)于環(huán)量強(qiáng)度方向特性的解釋或證明過程,能從環(huán)量強(qiáng)度的定義出發(fā)導(dǎo)出任意法向方向下環(huán)量強(qiáng)度的表達(dá)式。一旦得出了該表達(dá)式,方向特性也就不言而喻。這類似于從標(biāo)量場方向?qū)?shù)的定義式出發(fā),導(dǎo)出任意方向的方向?qū)?shù),從而發(fā)現(xiàn)方向?qū)?shù)的方向特性并進(jìn)而引出梯度的概念。

    本文直接從環(huán)量強(qiáng)度的定義式出發(fā),針對任意給定的法向方向,通過構(gòu)造正方形回路詳細(xì)推導(dǎo)了環(huán)量強(qiáng)度的表達(dá)式,從而得出環(huán)量強(qiáng)度的方向特性和旋度的概念。本文可當(dāng)作一道綜合性較強(qiáng)的矢量分析和場論習(xí)題。

    1 幾何模型e

    如圖1所示,ABCD四點(diǎn)連成一個正方形。點(diǎn)P為正方形的中心點(diǎn),點(diǎn)P1,P2,P3及P4分別為正方向的四條邊的中心點(diǎn)。en為一單位矢量,其方向滿足與正方形所在的平面垂直,并與有向閉合路徑ABCDA成右手螺旋關(guān)系。et1為點(diǎn)P到點(diǎn)P1的連線方向的單位矢量,e12為點(diǎn)P到點(diǎn)P2的連線方向的單位矢量。此外,我們假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),正方形的邊長為a。

    按照環(huán)量強(qiáng)度的定義,矢量場F在點(diǎn)P處沿法向方向en的環(huán)量強(qiáng)度可表示成

    圖1 環(huán)量強(qiáng)度推導(dǎo)示意圖

    式中,Γ為矢量場F沿閉合路徑ABCDA的環(huán)量。

    由于環(huán)量強(qiáng)度是在閉合路徑不斷向點(diǎn)P收縮的情況下環(huán)量對路徑包圍面積的比值的極限值,因此在后續(xù)的推導(dǎo)中,可以假設(shè)邊長a是一個很小的量,從而可以認(rèn)為各條邊上的矢量場值分別近似與其中心點(diǎn)處的矢量場值相等。進(jìn)而,式(1)中的環(huán)量Γ可變形成

    式中,“*”代表矢量的點(diǎn)積運(yùn)算(下同)。

    2 矢量函數(shù)的一階近似展開

    下面,我們通過一階泰勒展開方法獲得矢量場F在點(diǎn)P1,P2,P3及P4處的近似值。

    矢量場F在點(diǎn)P1處的值的分量表達(dá)式為

    假設(shè) et1=cosαt1ex+cosβt1ey+cosγt1ez

    由此可見,點(diǎn)P1的坐標(biāo)可以寫成

    從而F(P1)的x分量可通過多元函數(shù)的一階泰勒展開為

    同理,可將F(P1)的y和z分量分別展開為

    將式(4)-(6)代入式(3)中,便得到了F(P1)相對于F(P)的展開式:

    同理,可得矢量場F在點(diǎn)P2,P3及P4處的值分別為

    3 環(huán)量強(qiáng)度的計算公式

    正方形ABCD的四條邊矢量可以分別寫成

    將式(7)-(11)代入式(2)整理后得到

    運(yùn)用矢量恒等式B(A*C)-C(A*B)=A×(B×C),可將上式中大括號內(nèi)的內(nèi)容變形成

    其中,還用到了數(shù)學(xué)關(guān)系et2×et1=-en和矢量恒等式A×B=-B×A。

    將式(13)代入式(12)后可得

    運(yùn)用恒等式A*(B×C)=B*(C×A),可以將上式等號右邊的三個混合積分別變成

    將上式代入式(14)化簡后可得

    可以將上式括號內(nèi)的部分定義成矢量場F的旋度,并記成

    我們從上式不難得出旋度在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式:

    將式(16)代入到式(1)中,得出如下環(huán)量強(qiáng)度與旋度的關(guān)系:

    上式表明,矢量場在空間一點(diǎn)處沿某一法向方向的環(huán)量強(qiáng)度實(shí)際上是矢量場在該點(diǎn)處的旋度在該法向方向上的分量,也就是所謂的環(huán)量強(qiáng)度的方向特性。

    4 結(jié)語

    本文直接從矢量場環(huán)量強(qiáng)度的定義出發(fā),選用對稱性好的正方形回路,給出了任意法向方向下環(huán)量強(qiáng)度表達(dá)式的推導(dǎo)過程?;谶@一表達(dá)式,可以清晰地看出環(huán)量強(qiáng)度的方向特性,為環(huán)量強(qiáng)度—旋度關(guān)系的講解和旋度概念的引入提供了一條較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)途徑。該推導(dǎo)過程運(yùn)用到了矢量場的一階近似展開及混合積公式等矢量恒等式,是一道不錯的綜合性矢量分析和場論練習(xí)題,可作為討論課的教學(xué)素材。

    [1] 黃輝,張小青.“電磁場”課程的三度和旋度研究型教學(xué)例析[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報,2011,33(3):99-102

    [1] 王澤忠等著.工程電磁場[M].北京:清華大學(xué)出版社,2011

    [3] 倪光正.工程電磁場原理[M].北京:高等教育出版社,2009

    [4] 古恩(Guru.B.S.)等著.電磁場與電磁波(英文版)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2002

    [5] 楊儒貴.電磁場與波[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1989

    [6] 雷銀照.電磁場[M].北京:高等教育出版社,2008

    [7] 謝樹藝.矢量分析與場論[M].北京:高等教育出版社,1978

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